大一高数期末考试试题.docx
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大一高数期末考试试题
2011学年第一学期
《高等数学（2-1）》期末模拟试卷
专业班级
页
号
一
二
三
四
五
六
总分
得
分
注意事项
1.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；
2.答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；
3.本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.
;
（A）连续点;（B）可去间断点;
（C）跳跃间断点;（D）无穷间断点.
三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）
处的切线的方程.
4.设
F（x）
xcos（x20
t）dt
，求
F（x）.
本页满分15分本
页
得
n（n
xn
1）（n
2）（n3）
（2n）
limxn
分5．设n
，求n.
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）
1.求由曲线y
x
2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.
本页满分18分本
页
得
22
2.
Dxy
设平面图形由
2x与yx所确定，试求D绕直线x2
分旋转一周所生成的旋转体的体积.
3.
t
设a
最小值.
1,f（t）
aat在（,）内的驻点为
t（a）.
问a为何值时
t（a）
最小?
并求
本页满分7分本
页
得
五．证明题（7分）
分设函数
f（x）
在[0,1]上连续，在（0,1）内可导且
f（0）f=
1
（1）f
2
0，,（）1
试证明至少存在一点（0,1）,使得f
（）=1.
一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1
1
2
lim（exx）x
1．x0
1
x1
2．1
x2005
e2.
ex
exdx4e.
xyt2dy
3.设函数
y
y（x）由方程1
x
edtx
x0
确定，则dx
e1.
12
4.
2x
设f
x可导，且1
tf（t）dtf
（x）
，
f（0）
1，则fx
x
e2.
5.微分方程y
4y4y
0的通解为y
（C1
C2x）e.
二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
1.设常数k
0，则函数
f（x）
lnx
xk
e在（0,
）内零点的个数为（B）.
（A）3个;（B）2个;（C）1个;（D）0个.
2.微分方程y
4y3cos2x的特解形式为（C）
*
（A）
yAcos2x；（B）
yAxcos2x；
（C）
yAxcos2xBxsin2x；（D）y
Asin2x
3.下列结论不一定成立的是（A）
（A）
（B）（A）若
（C）
c,d
a,b
则必有
d
fxdx
c
b
fxdx
a;
（D）（B）若
f（x）
0在a,b
上可积,则
b
fxdx0
a;
（E）（C）若fx
是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有
aT
fxdx
T
fxdx
a0;
（F）（D）若可积函数
x
fx为奇函数,则0
tftdt
也为奇函数.
fx
4.设
1
1ex1
23ex
则x
0是f
（x）
的（C）.
（A）连续点;（B）可去间断点;
（C）跳跃间断点;（D）无穷间断点.
三．计算题（每小题6分，5题共30分）：
1.计算定积分
2
2x3e
0
2
xdx
.
23x2
21t
12t
设xt,则
解：
0
1tet220
xedx
2etdt
0
tedt
02
-------2
tde
20
-------2
e21et21
202
3e2
2
--------2
2.计算不定积分
xsinxcos5xdx.
xsin
xdx
1xd
（1）1xdx
解：
cos5x
4cos4x
4cos4x
cos4x
--------3
x
4cos4x
1（tan2x4
1）
d
tanx
x
4cos4x
1tan3x
12
1tanxC4
-----------3
3.求摆线
x
a（t
ya（1
sint）,cost）,在t
2处的切线的方程.
解：
切点为
（a（
2
1）,a）
-------2
kdy
asint
dxt
2
a（1
cost）t
2
1-------2
切线方程为
yaxa
（1）y
2即
x（2
）a
2.-------2
x2
4.设
F（x）
cos（x
0
t）
）dt
，则
F（x）
2
2xcosx
（2x
2
1）cos（x
x）.
n（n
xn
1）（n
2）（n3）
（2n）
limxn
5.设n
，求n.
lnxn
解：
1
n
ni1
ln1（i）n
n
i11
---------2
lim
n
lnxn
lim
n
ln
（1）
i1nn
ln（1
0
x）dx
0
--------------2
xln（1
=
x）1
1x1dx
01x
2
ln21
------------2
limx
e2ln214
故nn=e
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1.求由曲线y
x2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.
解：
设切点为（x0,y0），则过原点的切线方程为
y1x
2x02，
由于点（x0,y0）在切线上，带入切线方程，解得切点为
x04,y0
2.-----3
过原点和点
2
（4,
2
y
2）的切线方程为
22
x
22-----------------------------3
s（y
面积0
222y）dy
3
=
-------------------3
21
s
或022
xdx
41
（x
222
x2）dx22
3
Dx
2
2.设平面图形由旋转体的体积.
y22x与yx所确定，试求D绕直线x
2旋转一周所生成的
解：
法一：
V
1
V1V2
21
2（1
0
1y2）dy
（2y）2dy
0
1
21y2
0
（y1）2dy
-------6
21（y
43
1
1）31
0
2
（1）
43
2
--------3
2
法二：
V=
（2x）（2xx
0
x）dx
1
2（2
0
x）2x
x2dx2
1
（2x
0
x2）dx
------------------5
1
（22x）2xx2
0
22x
x2dx4
3
3
3
0
4
3
2
1
2
4
1
2
2
3
2
3
2
3
2（2xx2）212114
-------------4
3.设a
1,f
（t）at
at在（,）内的驻点为
t（a）.
问a为何值时
t（a）最小?
并求最
小值.
由f（t）
解:
atlnaa
lnlna1
0得t（a）1
lnlna.lna
e
---------------3
又由t
（a）
a（lna）2
0得唯一驻点a
e
------------3
e
当ae时,t
（a）
0;当a
e
e时,t
（a）
0,于是a
e
e为t（a）的极小值点
.-----2
aee为t（a）的最小值点
故
最小值为
t（ee）1
lnee
11.
e
--------------1
五．证明题（7分）
1
设函数
f（x）
在[0,1]上连续，在（0,1）内可导且
f（0）=f
（1）0,
f（）1，2
试证明至少存在一点（0,1）,使得f
（）=1.
证明：
设
F（x）
f（x）
x，F（x）在[0,1]上连续在（0,1）可导，因
f（0）=f
（1）=0,
有F（0）
f（0）00,F
（1）
f
（1）11,2
1111111，
f（）=1
又由2，知
F（）=f2
（）-2
=1-
2
=，[
22在2
1]上F（x）用零点定理，
11
F
（1）F（）=-0
根据22
，---------------2
可知在
（1，1）2
内至少存在一点，使得
F（）=0，
1
（,1）
2
（0,1）
F（0）=F（）=0
由ROLLE中值定理得至少存在一点（0,）（0,1）使得
F（）=0即f
（）1=0，证毕3
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