大一高数期末考试试题.docx

1、大一高数期末考试试题2011 学年第一学期高等数学（ 2-1 ）期末模拟试卷专业班级页号一二三四五六总分得分注 意 事 项1. 请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2. 答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3. 本试卷共五道大题，满分 100 分；试卷本请勿撕开，否则作废 .;(A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ;(C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 .三计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）处的切线的方程 .4. 设F ( x)x cos(x2 0t )dt，求F ( x) .本页满分 15 分本页得n (nxn1)( n2)( n 3)( 2n)lim xn分

2、 5设 n，求 n .四应用题（共 3 小题，每小题 9 分，共计 27 分）1. 求由曲线 yx 2 与该曲线过坐标原点的切线及 x 轴所围图形的面积 .本页满分 18 分本页得2 22. D x y设平面图形 由2 x 与 y x 所确定， 试求 D 绕直线 x 2分 旋转一周所生成的旋转体的体积 .3. t设 a最小值 .1, f (t)a at 在 ( , ) 内的驻点为t (a).问 a 为何值时t(a)最小 ? 并求本页满分 7 分本页得五证明题（ 7 分）分 设 函 数f (x)在 0,1 上 连 续 ， 在 (0,1) 内 可 导 且f ( 0 ) f =1( 1 )f20，,

3、 ( ) 1试证明至少存在一点 (0,1) , 使得 f( )=1.一填空题（每小题 4 分， 5 题共 20 分）：112lim( ex x) x1 x 01x 12 1x2005e 2 .exe x dx 4 e .x y t2 dy3. 设函数y y( x) 由方程 1xe dt xx 0确定，则 dxe 1.1 24. 2 x设 fx 可导，且 1tf (t) dt f( x)，f (0)1 ，则 f xxe 2 .5. 微分方程 y4 y 4 y0 的通解为 y(C1C2 x)e .二选择题（每小题 4 分， 4 题共 16 分）：1. 设常数 k0 ，则函数f ( x)ln xx

4、ke 在 ( 0,) 内零点的个数为（ B ） .(A) 3 个; (B) 2 个; (C) 1 个; (D) 0 个.2. 微分方程 y4 y 3 cos 2 x 的特解形式为 （ C ）*（ A ）y Acos2x ； （ B）y Axcos2 x ；（ C）y Axcos2 x Bx sin 2x ； （ D ） yA sin 2 x3. 下列结论不一定成立的是 （ A ）(A)(B) (A) 若(C)c,da,b, 则必有df x dxcbf x dxa ;(D) (B) 若f ( x)0 在 a, b上可积 , 则bf x dx 0a ;(E) (C) 若 f x是 周 期 为 T

5、的 连 续 函 数 , 则 对 任 意 常 数 a 都 有a Tf x dxTf x dxa 0 ;(F) (D) 若可积函数xf x 为奇函数 , 则 0t f t dt也为奇函数 .f x4. 设11 e x 12 3e x, 则 x0 是 f( x)的（ C ） .(A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ;(C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 .三 计算题 （每小题 6 分， 5 题共 30 分）：1. 计算定积分22 x 3 e02x dx.2 3 x 22 1 t1 2 t设 x t , 则解： 01 te t 2 2 0x e dx2 e t dt0te dt0 2-2tde

6、2 0-2e 2 1 e t 2 12 0 23 e 22-22. 计算不定积分x sin x cos5 xdx .x sinx dx1 xd( 1 ) 1 x dx解： cos5 x4 cos4 x4 cos4 xcos4 x-3x4 cos4 x1 (tan 2 x 41) dtan xx4 cos4 x1 tan3 x121 tan x C 4-33. 求摆线x a(ty a(1sin t ), cost ), 在 t2 处的切线的方程 .解：切点为(a(21), a)-2k dyas i ntdx t2a(1c o st) t21 -2切线方程为y a x a( 1) y2 即x (

7、2)a2 . -2x 24. 设F (x)cos(x0t) )dt，则F ( x)22 x cos x(2x21) cos( xx) .n (nxn1)( n2)( n 3)( 2n)lim xn5. 设 n，求 n .ln xn解：1 nn i 1l n 1( i ) nni 1 1-2limnln xnlimnln(1 )i 1 n nln( 10x)dx0-2x ln(1=x) 11 x 1 dx0 1 x2 ln 2 1-2lim xe2 ln 2 1 4故 n n = e四应用题（每小题 9 分， 3 题共 27 分）1. 求由曲线 yx 2 与该曲线过坐标原点的切线及 x 轴所围图

8、形的面积 .解：设切点为（ x0 , y0 ) ，则过原点的切线方程为y 1 x2 x0 2 ，由于点（ x0 , y0 ) 在切线上，带入切线方程，解得切点为x0 4, y02 .-3过原点和点2(4,2y2) 的切线方程为2 2x2 2 -3s ( y面积 02 2 2 y) dy3=-32 1s或 0 2 2xdx4 1( x2 2 2x 2) dx 2 23D x22. 设平面图形 由旋转体的体积 .y2 2 x 与 y x 所确定，试求 D 绕直线 x2 旋转一周所生成的解： 法一： V1V1 V22 12 (101 y 2 ) dy(2 y )2 dy012 1 y 20( y 1

9、) 2 dy-62 1 ( y4 311) 3 102 ( 1)4 32-32法二： V=( 2 x)( 2x x0x)dx12 (20x) 2xx2 dx 21(2x0x2 )dx- 51(2 2 x) 2 x x 202 2 xx2 dx 43330432124122323232 ( 2 x x2 ) 2 1 2 1 1 4- 43. 设 a1, f(t ) atat 在 ( , ) 内的驻点为t( a).问 a 为何值时t(a) 最小 ? 并求最小值 .由f (t)解:at ln a aln ln a 10得t( a) 1ln ln a . ln ae- 3又由 t(a)a( l na)

10、 20得唯一驻点 ae-3e当a e 时, t(a)0;当aee 时, t(a)0,于是 aee 为t (a )的极小值点. -2a ee为t (a )的最小值点故,最小值为t (ee ) 1ln e e1 1 .e-1五证明题（ 7 分）1设函数f ( x)在0,1 上连续，在 (0,1) 内可导且f (0)= f(1) 0,f ( ) 1， 2试证明至少存在一点 (0,1) , 使得 f( )=1.证明：设F (x)f (x)x ， F ( x) 在0,1 上连续在 (0,1) 可导，因f (0)= f(1)=0 ,有 F (0)f (0) 0 0, F (1)f (1) 1 1 , 21 1 1 1 1 1 1 ，f ( )=1又由 2 ，知F ( )= f 2( )- 2=1-2= ， 2 2 在 21 上F ( x) 用零点定理，1 1F (1)F ( )=- 0根据 2 2， - 2可知在( 1 ，1) 2内至少存在一点 ，使得F ( )=0 ，1( ,1)2(0,1),F (0)= F ( )=0由 ROLLE 中值定理得 至少存在一点 (0, ) (0,1) 使得F ( )=0 即 f( ) 1=0 ，证毕 3