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全等三角形提高练习
1.
如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度数。
2.
如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO的度数为多少？
3.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是多少？
4.
如图所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A=
5.已知，如图所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD是多少？
6.
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE=
7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，AD与EF垂直吗？
证明你的结论。
8.
如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。
9.
已知，如图：
AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：
AF⊥CD
10.如图，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？
为什么？
11.
如图所示，已知，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：
BE⊥AC
12.△DAC、△EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：
（1）AE=BD
（2）CM=CN（3）△CMN为等边三角形（4）MN∥BC
13.已知：
如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F
（1）求证：
AN=BM
（2）求证：
△CEF为等边三角形
14.
如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：
①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（）
A．3个B.4个C.5个D.6个
15.
已知：
BD、CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，求证：
AG⊥AF
16.
如图：
在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG
求证：
（1）AD=AG
（2）AD与AG的位置关系如何
17．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE
求证：
AF=AD-CF
18．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：
AC=BE+BC
19．如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：
BE=CF
20．已知如图：
AB=DE，直线AE、BD相交于C，∠B+∠D=180°，AF∥DE，交BD于F，求证：
CF=CD
21．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上一点，连接DF和EF，求证：
DF=EF
22．已知：
如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：
（1）△BDE≌△CDF
（2）点D在∠A的平分线上
23．如图，已知AB∥CD，O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离是多少？
24．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：
画∠MAB、∠NBA的平分线交于E
（1）∠AEB是什么角？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？
并说明理由。
25．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：
S△BCO：
S△CAO等于？
26．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF=90°，已知AE=3，CF=4，则S△BEF为多少？
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H，交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：
BC垂直且平分DE
28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：
DE=AD+BE
（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：
DE=AD-BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？
请直接写出这个等量关系。
1解：
∵△ABC≌△AED
∴∠D=∠B=50°
∵∠ACB=105°
∴∠ACE=75°
∵∠CAD=10°∠ACE=75°
∴∠EFA=∠CAD+∠ACE=85°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°
2根据旋转变换的性质可得∠B′=∠B，因为△AOB绕点O顺时针旋转52°，所以∠BOB′=52°，而∠A'CO是△B′OC的外角，所以∠A′CO=∠B′+∠BOB′，然后代入数据进行计算即可得解．
解答：
解：
∵△A′OB′是由△AOB绕点O顺时针旋转得到，∠B=30°，
∴∠B′=∠B=30°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转52°，
∴∠BOB′=52°，
∵∠A′CO是△B′OC的外角，
∴∠A′CO=∠B′+∠BOB′=30°+52°=82°．
故选D．
3全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理．
分析：
根据全等三角形的性质得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，根据邻补角定义求出∠DEC、∠EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
解答：
解：
∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，
∵∠DEB+∠DEC=180°，∠ADB+∠BDE+EDC=180°，
∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，
∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，
=180°-90°-60°=30°．
4分析：
根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，即可求出∠A的度数．
解答：
解：
∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°；
故答案为：
55°．
点评：
此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角．
5因为AB=AC三角形ABC是等腰三角形
所以AB+AC+BC=2AB+BC=50
BC=50-2AB=2（25-AB）
又因为AD垂直于BC于D，所以BC=2BD
BD=25-AB
AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40
AD=40-25=15cm
6解：
∵BD⊥DE，CE⊥DE
∴∠D=∠E
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
∵在△ABD与△CAE中
{∠ABD=∠CAE
∠D=∠E
AB=AC
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AD+AE
∴DE=BD+CE
∵BD=3，CE=2
∴DE=5
7证明：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD＝∠FAD
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED＝∠AFD＝90°
边AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）
∴AE＝AF
即△AEF为等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线
∴AD⊥底边EF
（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
8AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠DFA=90度，AD=AD
所以△AED≌△AFD
DE=DF
S△ABC=S△AED+S△AFD
28=1/2（AB*DE+AC*DF）=1/2（20*DE+8*DE）
DE=2
9AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD
则△ABC≌△AED
AC=AD
△ACD是等腰三角形
∠CAF=∠DAF
AF平分∠CAD
则AF⊥CD
10解：
∵AD⊥BC
∴∠ADB＝∠ADC＝90
∴∠CAD+∠C＝90
∵BE⊥AC
∴∠BEC＝∠ADB＝90
∴∠CBE+∠C＝90
∴∠CAD＝∠CBE
∵AD＝BD
∴△BDH≌△ADC（ASA）
∴BH＝AC
11解：
（1）证明：
∵AD⊥BC（已知），∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），
∴∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.
∴∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.
∵∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.
∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC（垂直定义）；
12证明：
（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
AC=DC∠ACE=∠DCBEC=BC
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AE=BD
（2）由
（1）可知：
△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN．
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°．
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°．
∴∠ACM=∠DCN．
在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDNAC=DC∠ACM=∠DCN
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
∴CM=CN．
（3）由
（2）可知CM=CN,∠DCN=60°
∴△CMN为等边三角形
（4）由（3）知∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°
∴∠CMN+∠MCB=180°
∴MN//BC
13分析：
（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△CAN≌△MCB，结论得证；
（2）由
（1）中的全等可得∠CAN=∠CMB，进而得出∠MCF=∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE=CF，又ECF=60°，所以△CEF为等边三角形．
解答：
证明：
（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，
在△CAN和△MCB中，
AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，
∴△CAN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠MCF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形．
点评：
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．
14考点：
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析：
由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
解答：
解：
∵△ABC与△BDE为等边三角形，∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG∥AD，
∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，
∴△ABF≌△CGB，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，
∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°，
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴题中①②③④⑤⑥都正确．
故选D．
点评：
本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
15考点：
全等三角形的判定与性质．分析：
仔细分析题意，若能证明△ABF≌△GCA，则可得AG=AF．在△ABF和△GCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是∠ABD和∠ACG，从已知条件中可推出∠ABD=∠ACG．在Rt△AGE中，
∠G+∠GAE=90°，而∠G=∠BAF，则可得出∠GAF=90°，即AG⊥AF．
解答：
解：
AG=AF，AG⊥AF．
∵BD、CE分别是△ABC的边AC，AB上的高．
∴∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ABD=90°-∠BAD，∠ACG=90°-∠DAB，
∴∠ABD=∠ACG
在△ABF和△GCA中BF=AC∠ABD=∠ACGAB=CG．
∴△ABF≌△GCA（SAS）
∴AG=AF
∠G=∠BAF
又∠G+∠GAE=90度．
∴∠BAF+∠GAE=90度．
∴∠GAF=90°
∴AG⊥AF．
点评：
本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广．
161、证明：
∵BE⊥AC
∴∠AEB＝90
∴∠ABE+∠BAC＝90
∵CF⊥AB
∴∠AFC＝∠AFG＝90
∴∠ACF+∠BAC＝90，∠G+∠BAG＝90
∴∠ABE＝∠ACF
∵BD＝AC，CG＝AB
∴△ABD≌△GCA（SAS）
∴AG＝AD
2、AG⊥AD
证明
∵△ABD≌△GCA
∴∠BAD＝∠G
∴∠GAD＝∠BAD+∠BAG＝∠G+∠BAG＝90
∴AG⊥AD
17过E做EG⊥AF于G，连接EF
∵ABCD是正方形
∴∠D=∠C=90°
AD=DC
∵∠DAE=∠FAE，ED⊥AD，EG⊥AF
∴DE=EG
AD=AG
∵E是DC的中点
∴DE=EC=EG
∵EF=EF
∴Rt△EFG≌Rt△ECF
∴GF=CF
∴AF=AG+GF=AD+CF
18因为：
角EDB=60°DE=DB
所以：
△EDB是等边三角形，DE=DB=EB
过A作BC的垂线交BC于F
因为：
△ABC是等腰三角形
所以：
BF=CF，2BF=BC
又：
角DAF=30°
所以：
AD=2DF
又：
DF=DB+BF
所以：
AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】
（AE+ED）=2DB+BC，其中ED=DB
所以：
AE=DB+BC，AE=BE+BC
19补充：
B是FD延长线上一点；
ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）；
BD=CD；
角EDB=FDC（对顶角）；
则三角形EDB全等CDF；则BE=CF；
或者补充：
B在AE边上；
ED=DF（角平分线到两边上的距离相等）；
DB=DC
则两直角三角形EDB全等CDF（HL）
即BE=CF
20解：
∵AF//DE
∴∠D=∠AFC
∵∠B＋∠D=180°,，∠AFC＋∠AFB=180°
∴∠B=∠AFB
∴AB=AF=DE
△AFC和△EDC中：
∠B=∠AFB,∠ACF=∠ECD（对顶角）,AF=DE
∴△AFC≌△EDC
∴CF=CD
21证明：
∵点P在∠AOB的角平分线OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴∠DPF=∠EPF，
在△DPF和△EPF中
PD=PE
∠DPF=∠EPF
PF=PF（SAS），
∴△DPF≌△EPF
∴DF=EF．
22考点：
全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△BED≌△CFD；
（2）连接AD．利用
（1）中的△BED≌△CFD，推知全等三角形的对应边ED=FD．因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在∠A的平分线上．
解答：
证明：
（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
∴∠B=∠C（等角的余角相等）；
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∠B=∠C
BD=CD（已知）
∠BDE=∠CDF
，
∴△BED≌△CFD（ASA）；
（2）连接AD．
由
（1）知，△BED≌△CFD，
∴ED=FD（全等三角形的对应边相等），
∴AD是∠EAF的角平分线，即点D在∠A的平分线上．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质．常用的判定方法有：
ASA，AAS，SAS，SSS，HL等，做题时需灵活运用．
23考点：
角平分线的性质．
分析：
要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点O作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．
解答：
解：
过点O作FG⊥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BFG+∠FGD=180°，
∵∠BFG=90°，
∴∠FGD=90°，
∴FG⊥CD，
∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG（角平分线上的点，到角两边距离相等），
∴AB与CD之间的距离等于2•OE=4．
故答案为：
4．
点评：
本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．
24考点：
梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
专题：
作图题；探究型．
分析：
（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出∠1+∠3=90°，再由三角形内角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的结论；
（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系；
（3）由
（2）中得出的结论可知EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值总为一定值．
解答：
解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠1+∠3=
1
2
（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠AEB为直角；
（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF∥AD∥BC，
∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，
∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，
∴AF=FE=FB，
∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，
∴ED=EC；
（3）由
（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，
总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．
点评：
本题是计算与作图相结合的探索．对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．
25
如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：
S△BCO：
S△CAO等于（ ）
A．1：
1：
1
B．1：
2：
3
C．2：
3：
4
D．3：
4：
5
考点：
角平分线的性质．
专题：
数形结合．
分析：
利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：
3：
4．
解答：
解：
利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．
故选C．
点评：
本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．
26解：
正方形ABCD
∵AB＝BC，AO＝BO＝CO，∠ABC＝∠AOB＝∠COB＝90，∠ABO＝∠BCO＝45
∴∠BOF+∠COF＝90
∵∠EOF＝90
∴∠BOF+∠BOE＝90
∴∠COF＝∠BOE
∴△BOE≌△COF（ASA）
∴BE＝CF
∵CF＝4
∴BE＝4
∵AE＝3
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7
∴BF＝BC-CF＝7-4＝3
∴S△BEF＝BE×BF/2＝4×3/2＝6
27考点：
线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
证明出△DBP≌△EBP，即可证明BC垂直且平分DE．
解答：
证明：
在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，
∴∠DAH=∠DCA，
∵∠BAC=90°，BE∥AC，
∴∠CAD=∠ABE=90°．
又∵AB=CA，
∴在△ABE与△CAD中，
∠DAH=∠DCA
∠CAD=∠ABE
AB=AC
∴△ABE≌△CAD（ASA），
∴AD=BE，
又∵AD=BD，
∴BD=BE，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，
故∠ABC=45°．
∵BE∥AC，
∴∠EBD=90°，∠EBF=90°-45°=45°，
∴△DBP≌△EBP（SAS），
∴DP=EP，
即可得出BC垂直且平分DE．
点评：
此题关键在于转化为证明出△DBP≌△EBP．通过利用图中所给信息，证明出两三角形相似，
而证明相似可以通过证明角相等和线段相等来实现．
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