考研数三真题及解析.docx
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考研数三真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题
项符合题目要求,
（1〜8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.）
（1）
已知当
XT0时，f（x）=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则（）
（A）
k=1,^=4.
（B）
k=1,c=—4.
（C）
k=3,c=4.
（D）
k=3,c=—4.
已知函数f（x）在x=0处可导，且f（0）=0
，则lim
x__屮
23
xfefxL（）
x3
（A）
-2r（o）•
（B）
-f'（0）.
（C）
（D）
0.
设｛山｝是数列，则下列命题正确的是（
（A）
若无Un收敛,
ni
Z（U2n」+U2n）收敛.
n吕
（B）
若无（U2njL+U2n）收敛,n=1
则2un收敛.
n占
nind
n=1
（4）设1=f4Insinxdx,
J=rIncotxdx,K=f4Incosxdx
%
・0
・0
系疋（）
（A）1vjcK.
（B）
1cKcJ.
（C）Jc1cK.
（D）
KcJcl.
（5）设A为3阶矩阵，将
A的第2列加到第
1列得矩阵B，再交换
『1003
（100*
单位矩阵，记P=]110
F2=1。
01
j
，则A=（）
1
1001丿
1010丿
则
（C）
（D）
（B）P花-
（A）PP.
B的第2行与第3行得
□C
Z（U2n」—U2n）收敛.
若无Un收敛,
（C）P2R.
oC
若无（U2n」—U2n）收敛，
□C
则£Un收敛.
n=a
（D）
⑹设A为4咒3矩阵，3：
213是非齐次线性方程组Ax=P的3个线性无关的解，k1,k2为
任意常数，贝yAx=P的通解为（）
（A）
（C）
k1d—*1）•（B）十2—nj•
22
+n3m_n3
^2^伙"2」1）卄2（口3八）•（D）^y^+kf2-5*2（5」1）•
设F1（x），F2（x）为两个分布函数，其相应的概率密度f1（x），f2（x）是连续函数，则必
为概率密度的是（）
（A）fi（X）f2（X）•
（B）2f2（x）Fi（x）•
（C）fi（x）F2（x）•
（D）fi（x）F2（x）+f2（x）Fi（x）•
（8）设总体X服从参数为几仏：
>0）的泊松分布，X1,X2」l（,Xn（n>2）为来自总体X的简
单随机样本，则对应的统计量t,=1t.Xi,
n7
（A）
E（Ti）>E（T2）,D（Ti）>D（T2）•
（C）
E（Ti）cE（T2）,D（Ti）填空题（9〜14小题，每小题4分,
1n」1
T2=
—ZXi+—Xn（
）
n-17n
（B）
E（T1）>E仃2）,
D（T1）>D（T2）•
（D）
E（T1）€E（T2）,
D（T1）cD（T2）•
24分，请将答案写在答题纸
指定位置上.
共
）
（9）
（10）
X
设f（X）=1叮x（1+3ty，则f'（X）=
X
（xy
设函数z=H+仝［，则dz
Iy丿
（11）
曲线tan"x+y+-〕=ey在点（0,0）处的切线方程为I4J
（12）
曲线y=Jx2-1，直线X=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体
积为
（13）设二次型f（xj,X2,X3）=xTAx的秩为1,A的各行元素之和为3,贝Uf在正交变换
X=Qy下的标准形为
（14）设二维随机变量（X,Y）服从正态分布N（巴巴cr2,cr2;0），则E（XY2）=
三、解答题（15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸.指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（
本题满分10分）
求极限
xin（1+x）
J1+2sinX-x-1lim期x_0
（16）（
本题满分10分）
已知函数f（uV具
有连续的二阶偏导数，
f（1,1）=2是f（u,v）的极值，
C2z
z=f［x+y,f（x,川，求歸
（17）（本题满分10分）
1,1v
求严sin密fXdx.
vx
（18）（本题满分10分）
、4jT■
证明4arctanx-x+—-丁3=0恰有2实根.
3
（19）（本题满分10分）
设函数f（x）在［0,1］有连续导数，f（0>1
且JJf'（X+y）dxdy=JJf（dxdy,
DtDt
Dt={（x,y）0（20）（本题满分11分）
设向量组a^（1,0,1）T/x^（0,1,1）Ta^（1,3,5）T,不能由向量组S,
P2=（123）T，p3=（3,4,a）T线性表示.
（I）求a的值;
（II）将叫，02,^3由务,％,%线性表示.
（21）（本题满分11分）
f1
A为三阶实对称矩阵，A的秩为2,即r（A）=2，且A0冷
00
1
1丿
（I）求A的特征值与特征向量；
（II）求矩阵A.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X与丫的概率分布分别为
1/32/3
y
-1
0
1
P
1/3
1/3
1/3
且P{x2=Y2}=1•
（I）求二维随机变量（X,Y）的概率分布;
（II）求Z=XY的概率分布;
（III）求X与Y的相关系数PxY.
（23）（本题满分11分）
设二维随机变量（X,Y）服从区域G上的均匀分布，其中G是由x-y=0,x+y=2与y=0
所围成的区域.
（I）求边缘概率密度fx（X）;
（II）求条件密度函数fxY（x|y）.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案
一、选择题（1〜8小题，每小题4分，共32分•下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.）
（1）【答案】（C）•
.丽出、m、/3sinX—sin3x3sinx—sinxcos2x—cosxsin2x
【解析】因为limrlim
Tcxk7
所以c=4,k=3，故答案选（C）.
（2）【答案】（B）•
f（X）-f（0）cf（X3）-f（0）
一23
X
（B）错误;
选项（C）错误;
=1，这时S（U2nJ—U2n）=S0收敛，但送Un=S1发散，故选项（D）错误.故nzi心nzin#
正确答案为（A）.
（4）【答案】（B）•
兀
【解析】因为0ccotx,
4
又因Inx是单调递增的函数，所以Insinx⑸【答案】（D）•
【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故
0）
（1
即AR=B,A=BR」.
由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵,
10I
10
B=E,
⑹【答案】（C）•
【解析】由于厲仆^:
儿是Ax=P的3个线性无关的解，所以
个线性无关的解，即Ax=o的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除（A）、（B）选项.n_nn_n„
又因为A———=0,所以———3是Ax=0的解，不是Ax=P的解，故排除（D）选项，
22
因此选（C）•
事实上，由于^巴巴是Ax=P的三个线性无关的解，所以*2-口1儿—n是Ax=0的两
个线性无关的解，即Ax=0的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3-r（A）>2，故r（A）<1•由于AH0，所以r（A）>1，故r（A）=1•这样，Ax=0的基础解系中正好有2个
线性无关的解，由此知巧-"仆匕是Ax=0的一个基础解系.
因为是Ax=P的解，所以AS=P,A3=P,因此A——=P，所以一3
22
是Ax=P的一个特解.
由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax=P的通解为
T|+T|
23*（“2—3）卅2（5—3）•
⑺【答案】（D）.
【解析】选项（D）
J：
［f1（x）F2（x）+f2（x）F1（x）中X=J；［F2（x）dF1（x）+F1（x）dF2（x）］
=Od[F1（x）F2（x）]=F1（x）F2（x）|签=1•
所以fiF2（x）+f2Fi（x）为概率密度.
（8）【答案】（D）.
【解析】因为Xi,X2/-',Xn」P（A）
从而有
所以E（Xi）=A,D（Xi）=A,
=E{X}+1E{X^\1nV
1
因为1<1+—，所以E（T1）vE（T2）•n
111
又因为D（TJ=D^XiH—n”D（X）=—D（X}=-nyn
由于当n>2时,
1
+—，所以dCTj）、填空题（9〜14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）
（9）【答案】e3x（l+3x）.
3t（
t3x
I=xe
【解析】因为f（X）=1迪x（1+3t卩=xltim[（1+3t严J
所以，f'（X）=e3x（1+3x）•
（10）【答案】（1+21n2）（dx-dy）.
【解析】
x乎=（1异/dxy
x
乎=（1+与dyy
2
-x2ln（1+»「yx
yyy
[
y.
[
y.
「
1
x
从而dz
=（1+2ln2）dx—（1+21n2）dy或dz（“）=（1+2In2）（dx-dy）.
（11）【答案】y=—2x.
f兀\
I解析】方程怡屮+厂彳7的两端对X求导，有
sec2[x+y+4}（n,
故切线方程为：
y=-2x.
4
（12）【答案】-H
3
【解析】如图2所示:
V=兀fy2dx
'1J
I
【解析】因为A的各行元素之和为3，所以A
1
=311
1
，故3为矩阵A的特征值
I1丿
由r（A）=1知矩阵A有两个特征值为零，从而
>1
=3,^2
=為=0•
（13）【答案】Syf.
由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值,
所以二次型在
正交变换下的标准形为3y2•
（14）【答案】4（42+CT2）.
【解析】根据题意，二维随机变量（X,Y）服从N（巴巴cr2,cr2；0）.因为Pxy=O,所以由
2
二维正态分布的性质知随机变量X,丫独立，所以X,Y•从而有
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