华东师大版八年级数学上册《等腰三角形》教案教学设计doc.docx
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华东师大版八年级数学上册《等腰三角形》教案教学设计doc
《等腰三角形》教案
教学目的
1.经历操作、发现、猜想、证明的过程,培养学生的逻辑思维能力;
2.掌握等腰三角形的性质及其两个推论;
3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算;
4.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;
5.掌握等腰三角形判定定理的运用;
6.通过例题的学习,提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力.
教学重点
等腰三角形的性质定理及其证明;
等腰三角形的判定定理.
教学难点
“三线合一”的理解;
对等腰三角形性质的应用;
性质与判定的区别.
教学方法
直观教学发现法和启发诱导教学法,与学生实践操作、合作探究.
教学过程
【一】
一、创设情景,引入新知
活动1:
请同学们把一张长方形的纸片对折,剪去(或用刀子裁)一个角,再把它展开,得到的是什么样三角形?
教师示范操作,然后学生跟着动手操作,观察得出结论:
“剪刀剪过的两条边是相等的;剪出的图形是等腰三角形”,根据学生回答,板书:
等腰三角形.
师生共同回顾:
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
教师提问:
剪出的三角形是轴对称图形吗?
你能发现这个三角形有哪些特点吗?
说一说你的猜想.
学生思考并发表自已的看法,教师提出本节课所要解决的问题.
师生归纳:
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线是它的对称轴(板书).
教师说明:
对称轴是一条直线,而三角形的中线是线段,因此不能说等腰三角形底边上的中线是它的对称轴.
二、交流,探索新知
活动2:
教师出示刚才剪下的等腰三角形纸片,标上字母如图所示:
把边AB叠合到边AC上,这时点B与C重合,并出现折痕AD,观察图图形,△ADB与△ADC有什么关系?
图中哪些线段或角相等?
AD与BC垂直吗?
为什么?
学生回答:
△ADB与△ADC重合,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠CDA,BD=CD
活动3:
由上面的性质我们可以得到等腰三角形如下性质:
性质1:
等腰三角形的两个底角相等,简称:
等边对等角(板书).
教师提问:
这个命题的题设是什么?
结论是什么?
学生可结合图形回答.
(板书)已知:
在△ABC中,AB=AC
求证:
∠B=∠C
说明:
将等腰三角形写成已知时,通常写成“在△ABC中,AB=AC”而不写成“等腰”两个字.
教师引等学生回答:
要证两个角相等可以转化前面所学过的三角形全等,而图形只有一个三角形,如何添加辅助线使它转化为两个三角形?
通过刚才的折叠等腰三角形的实验,很容易得到辅助线,作高AD或作顶角的平分线AD,可由两位学生板演,教师巡视,并给订正.
同学们思考一下,还有没有其它辅助线的作法,教师可作提示:
作中线AD,由学生口答,或者指导学生看课本证明.
教师归纳等腰三角形性质1,并指出它的几何符号语言的书写:
如上图:
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
教师提出问题:
(口答)
1、等腰直角三角形每一个锐角的度数是多少度?
2、如果等腰三角形的底角等于40°,那么它的顶角的度数是多少?
3、如果等腰三角形的顶角是40°,那么它的底角的度数是多少?
4、如果等腰三角形的一个角是40°,那么其它的两个角各是多少度?
5、如果等腰三角形的一个内角是120°,则其它的两个角各是多少度?
6、如果等腰三角形的一个内角是60°,则其它的两个角各是多少度?
要求学生完成教师提出的问题,教师归纳:
(1)等腰三角形中顶角与底角的关系:
顶角十2×底角=180°
(2)三条边都相等的三角形是等边三角形;等边三角形三个内角相等,每一个内角都等于60°(板书)
教师与学生合作分析,参看书本上的证明过程.
活动4:
提出问题:
从性质1的证明过程可以知道,BD=CD,
∠ADB=∠ADC=90°,由此,你能得出等腰三角形还具有什么性质?
让学生运用数学语言表述所发现的规律,师生共同归纳得出:
性质2:
等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边(板书).
即:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
三线合一(板书).
活动5:
教师举例子.
如图在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E是底边的两点,且BD=AD,CE=AE,求∠DAE的度数.
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求:
∠A和∠C的度数.
根据等边对等角的性质,我们可以得到
∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,
再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.
再由三角形内角和为180°,就可求出△ABC的三个内角.
如果我们在解的过程中把∠A设为x的话,那么∠ABC、∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷.
解:
因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC.
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°.
在△ABC中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.
三、强化练习,巩固新知
如图,在ABC中,AB=AC
(1)∵AD⊥BD,∴∠______=∠_____;______=______(等腰三角形底边上的高与______、______重合)
(2)∵AD是中线∴_____⊥_____;∠_____=∠_____(等腰三角形底边上的中线与_____、_____重合)
(3)∵AD是角平分线∴____⊥____;____=____(等腰三角形顶角的平分线与______、_____重合)
四、师生互动,总结新知
请同学们回顾本节课所学的内容,有哪些收获?
师生活动:
学生思考后,用自己语言归纳,教师适时点评,并关注以下几个问题:
1、等边对等角;2、等腰三角形三线合一;3、等边三角形性质;4、等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线).
【二】
1、复习导入
等腰三角形的性质定理的内容是什么?
反过来,在一个三角形中,如果有两个角相等,那么它是等腰三角形吗?
启发学生用自己的语言叙述上述结论,教师稍加整理后给出规范叙述:
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).
由学生说出已知、求证,使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.
已知:
如图,△ABC中,∠B=∠C.求证;AB=AC.
教师可引导学生分析:
联想证有关线段相等的知识知道,先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C,没有对应相等边,所以需添辅助线为两个三角形的公共边,因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线,学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法,从而推出AB=AC.
注意:
(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆.
(2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形.
(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形,性质定理是已知三角形是等腰三角形,得到边边和角角关系.
2、推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2:
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
要让学生自己推证这两条推论.
小结:
证明三角形是等腰三角形的方法:
①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.
证明三角形是等边三角形的方法:
①等边三角形定义;②推论1;③推论2.
3、应用举例
求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
分析:
让学生画图,写出已知求证,启发学生遇到已知中有外角时,常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC,可先证明∠B=∠C,因为已知∠1=∠2,所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.
已知:
∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC.
求证:
AB=AC.
证明:
(略)由学生板演即可.
补充:
已知,在
中,
的平分线与
的外角平分线交于D,过D作DE//BC交AC与F,交AB于E,求证:
EF=BE-CF.
分析:
对于三个线段间关系,尽量转化为等量关系,由于本题有两个角平分线和平行线,可以通过角找边的关系,BE=DE,DF=CF即可证明结论.
证明:
DE//BC(已知)
∠DBC=∠BDE
∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠BDE
BE=DE,同理DF=CF
EF=DE-DF
EF=BE-CF
4、师生共同完成书本练习..
5、小结:
(1)等腰三角形判定定理及推论.
(2)等腰三角形和等边三角形的证法.