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鸽巢问题整理与复习教案

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

数学广角——鸽巢问题

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。

使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

过程与方法

经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

情感、态度和价值观

通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重点

引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

教学难点

找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

课时安排

2课时

教学过程

修改栏

一．情境导入 

二、探究新知 

1.教学例1.（课件出示例题1情境图） 

思考问题：

把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。

为什么呢？

“总有”和“至少”是什么意思？

学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。

（1）操作发现规律：

通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：

不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。

（2）理解关键词的含义：

“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

（3）探究证明。

方法一：

用“枚举法”证明。

 方法二：

用“分解法”证明。

把4分解成3个数。

由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。

方法三：

用“假设法”证明。

通过以上几种方法证明都可以发现：

把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。

（4）认识“鸽巢问题” 

     像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。

在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。

这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。

小结：

只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。

‚如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔„„ 

小结：

只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。

（5）归纳总结：

鸽巢原理

（一）：

如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。

     2、教学例2（课件出示例题2情境图） 

思考问题：

（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。

为什么呢？

（二）如果有8本书会怎样呢？

10本书呢？

学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题

（一）。

（1）探究证明。

方法一：

用数的分解法证明。

把7分解成3个数的和。

把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：

 由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。

方法二：

用假设法证明。

把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。

如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。

（2）得出结论。

通过以上两种方法都可以发现：

7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题

（二）。

（1）用假设法分析。

8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

‚10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

（2）归纳总结：

     综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a÷3=b（本）......2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

     鸽巢原理

（二）：

古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。

三、巩固练习 

1、完成教材第70页的“做一做”第1题。

 学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

 2、完成教材第71页练习十三的1-2题。

 学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

四、课堂总结

 抽屉原理 

规律：

用苹果数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1； 

若除数为零，则“答案”为商 

抽屉原则一：

把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个

抽屉，它里面至少有两个苹果。

抽屉原则二：

把多于m x n 个苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一

个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。

板书

设计

 抽屉原理 

规律：

用苹果数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1； 

若除数为零，则“答案”为商 

抽屉原则一：

把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个

抽屉，它里面至少有两个苹果。

抽屉原则二：

把多于m x n 个苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一

个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

“鸽巢问题”练习课

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。

使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

过程与方法

经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

情感、态度和价值观

通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重点

引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

教学难点

找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

课时安排

2课时

教学过程

修改栏

一、基础训练。

1、把98个苹果放到10个抽屉里，无论怎么放，我们一定能找到一个含苹果最多的抽屉，它里面至少有______个苹果。

98÷10=9„„8 

2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少有_______只鸽子。

1000÷50=20 

3、从8个抽屉里拿出17个苹果，无论怎么拿，我们一定能拿到苹果最多的那个抽屉，从它里面至少拿出______个苹果。

17÷8=2„„1 

4、从______个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找出一个抽屉，从它当中至少拿出7个苹果。

25÷（4）=6„„

（1） 

二、拓展训练。

1、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：

在200个信号中至少有四个信号完全相同。

4*4*4=64  

200÷64=3„„8 

在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的，那么总可以找到两个红筹码，在他们之间刚好有19个筹码，为什么？

2、试卷上有4道题，每题有3个可供选择的答案，一群学生参加考试，结果对于其中任何三 人都有一道题目的答案互不相同，问：

参加考试的学生最多有多少人？

3、一次数学竞赛，有75人参加，满分为20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，至少有几分得分相同?

4、某校六年级学生有31人是四月份出生的，请证明：

至少有两人在同一天出生。

31÷30=1„„1   

5、袋子里有四种不同颜色的小球，每次摸出2个，要保证10次所摸得的结果是一样的，至少要摸多少次？

 （4*3*）÷（2*1）=6 （55）÷6=9„„1  

6、 一副扑克牌共有54张，从中取出多少张，才能保证其中必有3种花色。

 （9）÷4=2„„1 9+2=11 

7、 图书角剩下科技书和文艺书各4本，现在有4个学生来借阅，每人从中借2本，请你证明，必有两名学生借阅的图书完全相同。

8、 在一条长100米的小路一旁种上101棵小树，不管怎么种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米。

9、 六年级有男生57人，证明：

至少有两名男生在同一个星期过生日。

 57÷52=1„„5   

10、19朵鲜花插入4个花瓶里，证明：

至少有一个花瓶里要插入5朵或5朵以上的鲜花。

 19÷4=4„„3  

11、 某旅行团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地，至少要有多少人游览的地方完全相同？

 50÷3=16„„2  

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

整数、小数、百分数的含义等。

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

使学生系统地掌握整数、分数、百分数的意义。

过程与方法

使学生熟练地掌握十进制计数法和整数、小数数位顺序表，并能正确地熟练地读、写整数与小数，会比较熟的大小。

情感、态度和价值观

能熟练地进行小数、分数与百分数的互化。

教学重点

让学生重新经历“数”产生的过程。

教学难点

在具体生活情境中感受“数”的意义。

课时安排

1课时

教学过程

修改栏

一、回顾与交过

1．复习数的意义。

（1）你学过那些数？

说一说它们在生活中的应用。

①学生说出自己的认识和理解。

如：

整数、小数、分数、百分数、负数等等。

②联系课文情境图，说明各种数的具体含义。

（2）什么是整数？

①学生说一说什么是整数，整数包括哪些数。

②师生共同概括说明。

③完成教科书“做一做”。

2．数的读、写。

（1）出示数位数序表。

①填一填，读一读。

②什么是数位？

数位与位数相同吗？

③什么是计数单位？

相邻的计数单位之间的进率是多少？

④完成教科书第77页下部分的“做一做”。

（2）读法和写法。

①读出下面各数。

1060000000.00625.08

A、读一读。

B、说一说读数的方法、要点。

②写出下面各数。

九千万三千二十亿五千零十八零点二零零八

A、写一写。

B、说一说你是怎么做的。

（3）改写。

①把540000改写成以“万”作单位的数。

②把24940000000改写成以“亿”作单位的数。

3．数的大小。

（1）怎样比较两个数的大小？

（2）完成练习十三第6题。

4．分数、小数、百分数的互化。

（1）填一填。

小数

分数

百分数

0.25

12.5%

（2）说一说你是怎么做的。

二、巩固练习：

完成教科书练习十四第1—5题。

三、课堂小结

本节课中你有什么收获？

还有什么疑问，请和同学交过。

四、布置作业

板书

设计

数的认识

（一）

1．数的意义

2．数的读、写。

数的认识3．数的大小

4．分数、小数、百分数的互化

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

分数、小数基本性质，倍数和因数等。

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

使学生进一步理解和掌握分数、小数的基本性质。

过程与方法

使学生进一步理解因数、倍数、质数、合数等意义，能熟练地找出两个数的公因数、公倍数等。

情感、态度和价值观

熟练掌握2、3、5倍数的特征，并正确解决有关问题。

教学重点

让学生重新经历“数”产生的过程。

在具体生活情境中感受“数”的意义。

教学难点

培养学生用数来表达和交过信息的能力。

课时安排

1课时

教学过程

修改栏

一、回顾与交过

1．分数的基本性质与小数的基本性质。

（1）分数的基本性质。

①分数的基本性质是什么？

②填一填。

③分数的大小不变，但什么变了？

（2）小数的基本性质。

①小数的基本性质是什么？

②把下面的小数改写成两位小数。

0.3002.54.3000

③小数大小不变，但什么变了？

（3）小数的基本性质与分数基本性质有什么关系？

（4）小数点移动位置，小数的大小会发生什么变化？

2．倍数和因数。

（1）什么是倍数？

什么是因数？

举例说明。

①4×5=20

谁是谁的倍数？

谁是谁的因数？

②20的因数还有哪些？

一共有多少个？

③4的倍数还有哪些？

一共有几个？

④着重说明：

最小

最大

个数

因数

1

本身

有限

倍数

本身

∕

无限

（2）2、3、5倍数的特征。

①2的倍数特征是什么？

举例说明。

什么是偶数？

什么是奇数？

②5的倍数的特征是什么？

举例说明。

③3的倍数的特征是什么？

举例说明。

（3）什么是质数？

什么是合数？

①什么是质数？

最小的质数是什么？

②什么是合数？

最小的合数是什么？

③1是什么数？

（4）公因数与公倍数。

12的因数20的因数50以内6的倍数50以内8的倍数

12和20的公因数50以内6和8的倍数

（5）对于“倍数和因数”这一单元，你还知道哪些知识？

还有什么疑问？

二、巩固练习

完成课文练习十三第7—9题。

三、课堂小结

1．说一说本节课你巩固了哪些知识。

2．你还知道哪些关于数的知识？

四、布置作业

板书

设计

数的认识

（二）

分数的基本性质

1.分数、小数的基本性质

小数的基本性质

数的认识什么是倍数？

什么是因数？

2、3、5倍数的特征

2．倍数和因数什么是质数？

什么是合数？

公因数与公倍数。

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

四则运算的意义，运算方法等。

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

通过复习使学生进一步系统地理解掌握加、减、乘、除四则运算的意义和计算方法。

过程与方法

培养学生概括能力与计算能力。

情感、态度和价值观

能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。

教学重点

增强应用意识，渗透数学建模思想，注重算法多样化与优化。

教学难点

降低运算复杂性、技巧性和熟练程度的要求。

课时安排

1课时

教学过程

修改栏

一、回顾与交过

1．四则运算的意义。

（1）创设情境，让学生结合情境图提问题。

问：

你能提出哪些用计算解决的问题？

让学生提出问题，并说明解决方法。

（2）结合算式说明每一种运算的含义：

①什么叫加法？

小数加法、分数加法的意义相同吗？

②什么叫减法？

小数减法、分数减法的意义相同吗？

③整数乘法的意义是什么？

小数、分数乘法的意义相同吗？

④什么叫除法？

小数除法、分数除法的意义相同吗？

小结：

2．四则运算的方法。

（1）整数、小数加法、减法的的计算方法各是什么？

（2）分数加法、减法的计算方法是什么？

（3）它们有什么相同点？

（4）整数、小数乘法的计算方法是什么？

有什么相同之处，有什么不同之处？

（5）说一说整数、小数除法的计算方法。

（6）说一说分数乘法和除法的计算方法。

3．在四则运算中，应注意一些特殊情况。

a+0=（）a×0=（）0÷a=（）

a-0=（）a×1=（）a÷a=（）

a-a=（）a÷1=（）1÷a=（）

注意：

当a作除数时不能为0.

在以上交过基础上，让学生进行归纳。

教师出示相应表格，让学生进行填写。

4．四则运算的关系。

四则运算的关系可概如下：

（以提问方式完成下面关系网）

和－一个加数＝另一个加数

被减数－差＝减数

减数+差＝被减数

加法减法

互为逆运算

求相同数求相同减

和的简便数个数的

运算简便运算

互为逆运算

乘法除法

积÷一个因数＝另一个因数

商×除数＝被除数

被除数÷商＝除数

小结：

二、巩固练习

1．完成教材“做一做”；2．完成课文练习十四第1、2题。

三、课堂小结

1．说一说加、减、乘、除运算的意义。

2．说一说四则运算的注意点。

四、布置作业。

板书

设计

数的运算

（一）

1．四则运算的意义。

2．四则运算的方法。

数的运算3．在四则运算中，应注意

一些特殊情况。

4．四则运算的关系。

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

四则混合运算，简便运算。

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

使学生理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断是不是成正比例。

过程与方法

培养学生概括能力和分析判断能力。

情感、态度和价值观

培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。

教学重点

增强应用意识，渗透数学建模思想，注重算法多样化与优化。

教学难点

降低运算复杂性、技巧性和熟练程度的要求。

课时安排

1课时

教学过程

修改栏

一、回顾与交过

1．运算定律。

问：

我们学过哪些运算定律？

（1）学生回顾曾经学过的运算性质，并与同学交过。

（2）根据表格，填一填。

名称

举例

用字母表示

加法交换律

加法结合律

乘法家换律

乘法结合律

乘法分配了

（3）算一算。

计算下面各题。

①2.5×12.5×4×8②4×

＋4×

③（21－

）×

④5.03－2.14－1.86

2．混合运算。

（1）说一说整数四则混合运算顺序。

计算：

（710－18×4）÷2

（2）分数、小数四则混合运算顺序与整数一样吗？

算一算：

×〔

－（

－

）〕

二、巩固练习

1．过程要求：

（1）学生独立计算，教师巡视检查。

（2）请两位选手上台板演。

（3）师生共同评价。

2．完成课文练习十四第3～7题。

第3、4题。

（1）学生独立完成，教师巡视课堂，了解情况，记录存在的问题。

（2）提问：

说一说你是怎么算的。

（3）针对发现的问题，进行评讲。

第5题。

（1）说一说你的思路。

（2）列式解决问题。

第6、7题。

（1）学生根据题意列出算式。

（2）说一说算式每一步的意义。

三、课堂小结

1．说一说四则混合运算的顺序。

2．你对简便运算有什么体会？

四、布置作业

板书

设计

数的运算

（二）

加法交换律

加法结合律

运算定律乘法交换律

数的运算乘法结合律

混合运算乘法分配率

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

四则混合运算及文字题

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

使学生理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断是不是成正比例。

过程与方法

培养学生概括能力和分析判断能力。

情感、态度和价值观

培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。

教学重点

增强应用意识，渗透数学建模思想，注重算法多样化与优化。

教学难点

降低运算复杂性、技巧性和熟练程度的要求。

课时安排

1课时

教学过程

修改栏

一、选择合理的算法进行四则混合运算

1．四则混合运算的顺序是怎样的？

在一个没有括号的算式里，如果只含有铜一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。

在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，在算中括号里面的。

2．练习。

（让学生先练习并讲出算法，然后讲评）

（1）（

－

）÷（

×42）

（2）

÷〔（

＋

）×

〕

在没有括号的算式里，应该先算小括号里的数，后算中括号的。

二、文字题的列式计算

1．例：

用

去除3与2.25的差，所得的商再减去0.9，结果是多少？

（先让学生列综合算式，然后讲解）

（1）这里的“结果”是表示什么？

（2）什么数与什么数的差？

（3）那么商是多少？

怎么算？

（4）在教师引导下列出综合算式：

（3－2.25）÷

－0.9

=0.75÷

－0.9

=1－0.9

=0.1

0.75除以

，虽然是小数与分数混合运算，但是像这样情况还是要让学生掌握，以提高他们的运算能力。

2．练习。

（1）25.16除以3.7的商，减去

乘20的积，结果是多少？

25.16÷3.7－

×20

问：

这里“的商”“的积”为什么可以不添上括号？

（2）174.8减去74.7，所得的差除以0.91，得出的商再减去100.95，结果是多少？

（174.8－74.7）÷0.91－100.95

问:

这里“的差”为什么要添上括号？

从上面练习中可以看出，在文字题中数学术语的理解非常重要，特别是在除法中有几种不同的表达方式要着重掌握。

例如：

a÷b可以读着：

（1）a除以b

（2）b除a（3）a被b除（4）b去除a

可以看出：

“a被b除”与“a除以b”是一样的；“b去除a”与“b除a”是一样的。

3．总结：

四则混合运算要认真审题，观察题目里的运算符号决定运算顺序，选择合理的简捷算法。

对于文字题列综合算式，审题时要注意最后一步球的是什么？

在列式是如果要改变运算顺序，就要合理地使用括号，以及注意题目中的叙述，如“除”与“除以”等。

三、布置作业

板书

设计

四则混合运算及文字题

四则混合运算的顺序:

在一个没有括号的算式里，如果只含有铜一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。

在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，在算中括号里面的。

教后

反思

*****小学_六_年级数学科教案设计

课题

运用分数乘、除法计算解决问题。

主备人

授课人

教学

目标

知识与技能

使学生进一步理解、掌握运用分数乘、除法知识解决有关问题，发展应用意识。

过程与方法

形成解决问题的一些策略、方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

情感、态度和价值观

1、形成评价与反思的意识。

2、对不懂的地方或不同的观点提出疑问的意识，并愿意对数学问题进行讨论

教学

重难点

教学活动必须建立在学生认识发展水平和已有的知识经验的基础上，注重解决问题策略意识的培养，提升思维品质，体现学生学习过程是在教师的引导下自我建构，自我生成的过程。

课时安排

2课时

教学过程

修改栏

一、基础练习

1．算一算。

出示算式：

20×

100×

450×

×

12×（1＋

）540×（1－

）630×（1＋

）

过程要求：

（1）利用计算卡片逐一出示算式。

（2）学生口算，直接输出计算结果。

（3）选择部分算式，说一说计算的过程、方法。

2．列式计算。

（1）200的

是多少？

（2）200减少

后是多少？

（3）甲数是500，乙数是甲数的

，乙数是多少？

（4）甲数是500，乙数比甲数多

，乙数是多少？

（5）甲数是500，乙数比甲数多

，乙数比甲数多多少？

过程要求：

（1）利用电脑课件逐一出示以上题目。

（2）认真读题，说一说题中分率表示的意义。

（3）求