初中数学因式分解教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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初中数学因式分解教学设计学情分析教材分析课后反思
第四章因式分解
第一节因式分解教学设计
一、备课标
（一）内容标准：
课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
对于本节，在内容标准上没有具体的要求。
（二）数学思想方法,核心概念：
教材从因数分解的例子入手，让学生体会因数分解的必要性，继而用字母表示数体现一般化，发展从特殊到一般的思考问题的方法；通过类比数的分解体会因式分解的意义，体会数学知识之间的相互联系，发展学生的类比思想；经历借助拼图解释整式变形的过程，帮助学生从几何的角度理解代数，渗透数形结合思想，体会几何直观的作用；给出因式分解的概念后，再由一般回归特殊，设计一组特例，通过对整式乘法运算与因式分解的对比，充分感受两者之间互为逆过程的关系，发展学生的逆向思维，进一步体会数学知识间的联系；为体会因式分解的意义，在应用环节，借助因式分解将问题转化，简便运算，渗透转化、最优化思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是学生的运算能力、几何直观、应用意识。
二、备重点、难点：
（一）教材分析：
本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。
属于“数与代数”领域中
（一）数与式中的“整式与分式”。
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。
它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。
这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。
通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。
因此，它起到了承上启下的作用。
教材整体呈现方式为：
首先让学生类比993-99的因数分解，由特殊到一般，用字母表示数，尝试对a3-a进行因式分解，体会因式分解的必要性，感受类比的学习方法，同时，学生会自主运用整式乘法来验证结论的正确性，初步感受因式分解与整式乘法之间的关系；接着用两个拼图问题，以拼图前后的面积不变，让学生从几何角度体会因式分解的意义；借助上述情境进而归纳获得因式分解的概念、意义；在了解因式分解概念的基础上，出示做一做，由一般到特殊，体会因式分解与整式乘法的关系，感受因式分解是否正确可以用整式乘法来验证，直接为后续学习服务；部分习题设计，旨在引导学生体会因式分解、因数分解解决相关问题的简便性，再次感受学习因式分解的必要性。
重点旨在经历类比的学习过程，了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。
（二）重点、难点分析：
了解因式分解的意义及其本质属性是学习整章因式分解的关键，由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。
在七年级整式乘法的较长时间的学习，学生容易造成思维定势，产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
所以确定：
重点：
体会因式分解的意义及因式分解与整式乘法的相互关系
难点：
因式分解与整式乘法的相互关系
三．备学情：
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：
因数分解，用字母表示数，整式的乘法运算，借助拼图验证关系式，类比、转化的学习方法，初步的逆向思维能力。
（2）支持性条件：
七年级学生已经掌握了整式的乘法运算，已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，会用字母表示数，小学接触过因数分解，具备了用类比、转化学习的能力，成为本节课学习的支持性条件。
2.起点能力分析：
具备了一定的类比、转化学习能力；在学习整式的乘法运算、验证勾股定理等中，经历过借助图形面积验证事实的过程；具备初步的逆向思维能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：
多数学生利用小学所学解决有关因数分解的问题，对于由因数到因式的过渡，诸如a3-a的分解，大部分学生能类比因数分解，较快地逆用乘法分配律将其转化为a（a2-1）的形式，但对于a2-1的分解，多数学生不会轻易地发现，针对这一问题，采取的策略：
教师可在因数分解环节在教材基础上，学生仿例出题，自行解决，教师巧设问题：
即在此类问题背景下，两个数因数分解的结果有何特点？
供学生观察，学生会很容易发现结论，从分解的结果特点入后，从而帮助学生解决问题,同时，为更好地理解因式分解与整式乘法的关系，做好前后知识衔接，调整第二个拼图内容为平方差公式，由学生比较熟悉的图形验证入手，帮助学生直观理解两者间的关系。
四．教学目标：
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，能类比因数分解将用字母表示数后的多项式化成几个整式乘积的形式，感受类比的方法。
2、经历用几何图形解释因式分解意义的过程，能借助拼图前后图形面积不变从几何的角度体会因式分解的意义。
3．了解因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解，能借助因式分解解决含简单计算问题。
4.初步体会因式分解与整式乘法的联系，并能借助整式乘法验证、解决有关因式分解的问题，培养学生的逆向思维能力。
五．教学过程：
（一）忆——速算抢答，构建动场
活动一:
速算抢答，并说出你是怎样快速计算的：
1、100×+100×
2、10.1×3.3+10.1×2.1+10.1×4.6
由上述运算过程，你有怎样的发现：
学生完成，结合学生计算方法及过程，教师对于不同的解决策略适时加以评价；由此学生发现：
为了运算简便，不同的数式特点，我们会选择不同的解决策略。
设计意图:
学习每一种运算都有它的必要性，选择两组有代表的数式进行运算，为方便运算，有时会先积，后和，有时会先和后积，初步感知学习因式分解的必要性。
同时，让学生有意识地根据问题背景选择不同的解决策略，顺势提出问题进入第二环节。
（二）探——交流讨论，问题探究
一探：
993-99能被99整除吗？
为解决这一问题，你是怎样想的？
与同伴交流你的想法？
993-99能被100整除吗？
你是怎样想的？
与同伴交流。
学生自主探究，对于不同的解决方案，教师适时给予鼓励评价，侧重鼓励学生谈这样解决的想法、思路，分析后明确：
解决的整除的问题，关键是把一个数式转化成几个数的积的形式，这里逆用乘法分配律加以转化，教师适时板书：
数式——数的积，提升“转化”、逆用乘法分配律等重要方法、数学信息，问题解决后，教师追问：
993-99还能被哪些正整数整除？
学生观察后自主解决。
设计意图：
复习回顾因数分解，为类比引出因式分解作好铺垫。
特定的问题背景，我们的思考方向会有一定的指向，选择较大数的运算，让学生在不同方法的运算过程中体会因数分解在解决该类问题时的优越性，同时，及问题背景自主提出可以解决的问题，培养学生的问题意识。
同时，补问环节，引导学生有意识地观察结果，为后续探究作好铺垫。
二探：
类比上述问题解决过程，鼓励学生自行设计题目，自主探究：
诸如：
192-19可以被18整除吗？
你是怎样想的？
192-19还可以被哪些正整数整除？
学生自主完成，教师适时指导部分学困生。
鼓励学生上台展示，并说出自己的想法和发现，让学生在不断说的过程中进一步提炼：
类比、转化、逆用乘法分配律、将一个数式化成几个数的积等重要的数学信息。
设计意图：
学生自主把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，引导学生继续观察分解的结果，为后续研究a3-a的分解作好铺垫，由于有了第一环节的铺垫，为学生类比因式分解作好准备。
此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个数式化为几个整数积的形式．
三猜：
出示问题：
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
类比上述探究过程，鼓励学生大胆猜测，尝试完成，多数学生会结合前面的探究，逆用乘法分配律，将其转化为a（a2-1）的形式，对于a2-1的分解，可引导学生一方面结合上面两个数式因数分解的结果，也可以引导学生进一步关注与整式乘法之间的关系。
组内学生相互交流探究，分组展示，鼓励学生用第一种方法乘法公式加以验证。
对于展示中出现的问题，鼓励学生评价完善。
设计意图：
用字母表示数，让学生类比前面两个例子，探究a3-a的分解，由数到式，渗透由特殊到一般的数学思想方法，再次感知因式分解与整式乘法的关系。
板书：
类比、特殊到一般、互逆
四验：
初步感知多项式的因式分解后，我们可以对上述这类的这种变形借助图形加以直观感受：
柳埠一中第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传，我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方形（如图一），观察拼图过程，写出相应的关系式。
设计意图：
选择学生身边关心的话题入手，激发学生探究兴趣，同时，让学生在展示的过程中，提炼“两次算、等积法”等重要的数学方法，初步直观感受因式分解这一变形的意义。
再比如：
如图：
边长为a的正方形，剪去边长为b的小正方形，分别表示拼图前后阴影部分的面积。
鼓励学生自主完成，并上台展示，结合学生的展示，教师适时提升：
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因集合直观而形象化。
板书：
等积法，两次算。
引导学生继续观察学生的板书：
a2-b2=（a+b）（a-b）,总结发现，将等式两边互换位置，即为前面所学的整式乘法公式：
平方差公式。
设计意图：
逆用乘法分配律，学生相对比较熟悉，但对于类似于上述a2-1的分解，大部分学生还是比较陌生，逆向思维能力存在差异，为让学生更好地理解这一恒等变形，选择学生比较熟悉的背景加以直观验证。
再次体会整式乘法与本节所要学习因式分解间的关系。
追问：
在图四拼图过程中，若a=3,b=1,则阴影部分的面积为________，你是怎样想的？
若a=9.8,b=0.2,则阴影部分的面积为________，你又是怎样想的？
学生上台展示思考过程，再次体会因式分解的意义，及引入因式分解的必要性。
（三）悟——自主发现，感悟提升
结合板书，观察上述结论，
a3-a=a（a+1）（a-1）；a2-b2=（a+b）（a-b）；ma+mb+mc=m（a+b+c）,你有怎样的发现？
鼓励学生从不同的角度谈自己的发现，师生共同得出因式分解的概念，教师适时评价板书，播放微视频，了解因式分解的定义。
为更深入理解因式分解与整式乘法的关系，为后续学习因式分解方法作好铺垫，出示三组活动：
一辨：
下列从左到右的变形，哪些是因式分解？
为什么？
（1）24x2y=4x·6xy
（2）m2-4=（m+2）（m-2）
（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1（4）2mR+2mr=2m（R+r）
（4）x+1=x（1+
）（6）（a+3）（a-3）=a2-9
（5）补充提问：
从右到左的变形呢？
鼓励学生尝试举出因式分解的例子。
设计意图：
一方面，因式分解与整式乘法互为逆变形，同时，可以借助整式乘法来验证因式分解，借助学生的分析引导学生明白：
因式分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.（本节特别关注前两条，第三条可在后续学习中继续深化理解）
二算：
计算下列式子：
（1）3x（x-1）=；
（2）m（a+b-1）=；
（3）（m+4）（m-4）=；（4）（y-3）2=；
根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x=；
（2）ma+mb-m=;
（3）m2-16=；（4）y2-6y+9=．
思考：
因式分解与整式乘法有什么关系？
举例说明
设计意图：
通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式。
由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力，充分理解因式分解与整式乘法之间的关系，体会数学知识间的联系。
（四）拓——综合建模，盘点收获
拓展提升：
若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为（x+1）2，则m=_____,n=_____
先由学生独立完成，教师巡回指导，若有困难，组内交流讨论，学生上台讲解展示，其他学生补充完善。
三用：
a=3.14,b=2.386,c=2.386,求ab-ac的值。
学生自主完成，部分学困生可能还会停留在选择代数求值，鼓励其大胆展示，不同层次学生参与展示，不同的解题策略，引导学生意识到利用因式分解在部分计算中可以简便运算，再次感悟学习因式分解的必要性。
在此基础上，学生畅谈本节课的所得所获：
本节课，你收获了哪些重要的知识？
领会到哪些重要的数学思想、方法？
在问题解决过程中还存有哪些疑惑？
关注不同层次的学生发言，让不同的学生在数学学习中的不同发展。
教师及小组、学生及时总结评价本节课小组活动情况。
鼓励学生畅所欲言，谈自己本节课的所得所获，教师适时评价提升，因式分解有哪些方法？
下一节课及今后的学习中，我们将继续探寻因式分解与整式乘法间的奥秘。
设计意图：
进一步体会因式分解与整式乘法的关系：
两者即为等式的恒等变形。
梳理本节所得、所获，充分发挥学生的主体地位，从学习知识、方法等多个方面进行归纳．培养学生及时归纳总结、质疑反思的能力．
（五）评-——达标检测，评价反馈
当堂检测：
1、看谁连得准
①x2-y2⑤（x+3）2
②9-25x2⑥y（x-y）
③x2+6x+9⑦（3-5x）（3+5x）
④xy-y2⑧（x+y）（x-y）
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
A.a（x+y）=ax+ayB.x2-4x+4=x（x-4）+4
C.10x2-5x=5x（2x-1）D.x2-16x+6x=（x+4）（x-4）+6x
3、观察下面拼图过程，写出相应的关系式
B级：
4、已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1）,则b=___c=___
学生独立完成，第四题由学生自主选择，师生共同评价。
作业布置：
（1）巩固性作业：
课本习题4.11，2，3
（2）提高性作业：
课本习题4.15
（3）实践类：
4.14
设计意图：
围绕教学目标达成，分层设计当堂测试题及作业，关注不同学生在数学学习上得以不同的发展。
板书设计：
第四章因式分解
§4.1因式分解
北师大版八年级下册第四章因式分解
第一节因式分解
学情分析
（学生为本，本立而道生）
（一）学习条件和起点能力分析：
1.学习条件分析：
（1）必要条件：
因数分解，用字母表示数，整式的乘法运算，借助拼图验证关系式，类比、转化的学习方法，初步的逆向思维能力。
（2）支持性条件：
七年级学生已经掌握了整式的乘法运算，已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，会用字母表示数，小学接触过因数分解，具备了用类比、转化学习的能力，成为本节课学习的支持性条件。
2.起点能力分析：
具备了一定的类比、转化学习能力；在学习整式的乘法运算、验证勾股定理等中，经历过借助图形面积验证事实的过程；具备初步的逆向思维能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：
多数学生利用小学所学解决有关因数分解的问题，对于由因数到因式的过渡，诸如a3-a的分解，大部分学生能类比因数分解，较快地逆用乘法分配律将其转化为a（a2-1）的形式，但对于a2-1的分解，多数学生不会轻易地发现，针对这一问题，采取的策略：
教师可在因数分解环节在教材基础上，学生仿例出题，自行解决，教师巧设问题：
即在此类问题背景下，两个数因数分解的结果有何特点？
供学生观察，学生会很容易发现结论，从分解的结果特点入后，从而帮助学生解决问题,同时，为更好地理解因式分解与整式乘法的关系，做好前后知识衔接，调整第二个拼图内容为平方差公式，由学生比较熟悉的图形验证入手，帮助学生直观理解两者间的关系。
北师大版八年级下册第四章因式分解
第一节因式分解
当堂检测
分层评价，当堂检测
为检测教学目标达成情况,实施教学目标的可评价性,围绕教学目标分层设计如下当堂检测内容,由学生独立完成，教师当堂评价反馈。
当堂检测如下：
1、看谁连得准
x2-y2.（x+3）2
9-25x2y（x-y）
+6x+9（3-5x）（3+5x）
xy-y2（x+y）（x-y）
2、下列哪些变形是因式分解，为什么？
A.a（x+y）=ax+ayB.x2-4x+4=x（x-4）+4
C.10x2-5x=5x（2x-1）D.x2-16x+6x=（x+4）（x-4）+6x
3、观察下面拼图过程，写出相应的关系式
B级：
4、已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1）,则b=___c=___
北师大版八年级下册第四章因式分解
第一节因式分解
教学反思
——思想的体操、灵动的课堂
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。
它是在继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。
这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。
通过本节课的学习，不仅使学生了解因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。
因此，它起到了承上启下的作用。
教材整体呈现方式为：
首先让学生类比993-99的因数分解，由特殊到一般，用字母表示数，尝试对a3-a进行因式分解，体会因式分解的必要性，感受类比的学习方法，同时，学生会自主运用整式乘法来验证结论的正确性，初步感受因式分解与整式乘法之间的关系；接着用两个拼图问题，以拼图前后的面积不变，让学生从几何角度体会因式分解的意义；借助上述情境进而归纳获得因式分解的概念、意义；在了解因式分解概念的基础上，出示做一做，由一般到特殊，体会因式分解与整式乘法的关系，感受因式分解是否正确可以用整式乘法来验证，直接为后续学习服务；部分习题设计，旨在引导学生体会因式分解、因数分解解决相关问题的简便性，再次感受学习因式分解的必要性。
重点旨在经历类比的学习过程，了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系。
从以上定位出发我是这样设计的：
【导课】小礼物的方式，师生互动，三句话，激发学生学习、参与热情，同时，学习每一种运算都有它的必要性，为让学生感受学习本章的必要性，选择两组有代表的数式进行运算，为方便运算，有时会先积，后和，有时会先和后积，初步感知学习因式分解的必要性。
【教学流程】以活动建构课堂，以思想引领教学，设计“忆、探、猜、验、悟、用、思、评”几个流程，自始至终引领学生在自主、合作探究中领悟因式分解与整式乘法的关系,体会因式分解的意义，渗透类比、转化数学思想，并试图让学生自主体会其中的思想。
几个流程借助数学思想的渗透环环相扣，忆：
知学习因式分解的必要性；渗透整体教学，；探：
类比探究，由数到式，渗透由特殊到一般的数学思想，体会逆向思维在数学学习中的应用；验：
数形结合，直观感知因式分解变形的意义；悟：
微视频展示与逆向应用相结合，从概念的内涵与外延入手了解因式分解的概念；思、评环节，注重学生对思想方法的领悟与评价，提升学生的数学学习素养。
【设计特点】我试图以抛出问题的形式串联整节课，尽量的不直接告诉学生结论，让学生在问题环境下，通过思考一步步走下去。
比如，在由数的分解向式的分解过渡过程中，学生借助前面数式特点，发现规律，近而猜想得出结论，我及时抓住这一宝贵的生成资源，鼓励学生敢猜善想的同时，及时用不同的解决策略验证自己的猜想，培养学生良好的数学素养。
对于学生通过自主探究或合作交流能完成的过程，老师不包办代替，鼓励让不同层次的学生充分展示自己的探究过程，课堂气氛活跃，学生真正成为课堂学习的主人；对于一些比较复杂的问题，我一般会选择设计成问题组的形式，问题不是一个个的抛出，而是按照一定的梯度顺序同时给出，让学生在思考的时候有连贯性，比如说本节课中在进行整式乘法运算之后，在尝试利用其运算结果进行因式分解时，鼓励学生说出理由，并乘势提出问题：
通过上述两组运算，你有什么新的发现？
学生畅所欲言，得出两者之间的关系后，紧接着围绕学生得出的结论设计两个层次的应用活动，学生的探究欲望得以极大程度地发挥。
整节课注重评价方式的多样化,课前，以小礼物的方式，三句话，激发学生学习热情；课堂上学生用自己喜欢的符号及时进行自我评价，教师适时点赞，做到既关注学生学习方式的评价,又特别注重学生学习习惯、人文素养、实践探究等的评价；当堂测评，围绕教学目标分层设计当堂检测，反馈学生课堂学习情况；整节课力争做到用评价引领学生成长，借助评价让学生感受数学学习的快乐。
【拓展延伸】以进一步感悟因式分解与整式乘法的关系为切入点,设计应用题目,让学生在问题解决过程中进一步体会两者的联系,并为后续学习因式分解的方法等作好铺垫。
学生在这节课中积极动脑，在小组讨论中充分发挥集体的智慧，敢于探究,善于类比,及时进行自我反思与评价,从真正意义上学会数学学习.
【设计理念】整节课，以育人为根本宗旨，注重整体建构学习，用活动建构课堂，以思想驾驭活动，关注自主合作学习，让学生感受数学课堂的魅力与数学学习的快乐。
在教材处理上，从书本中心走向社会生活；在师生关系上从教师中心走向学生为本；在目标确定上从知识立意走向全人教育；在学习方式上由被动接受走向自主探究；在教学形式上由课堂讲授走向活动建构。
北师大版八年级下册第四章因式分解
第一节因式分解
教学效果分析
一、教师教学理念更新
打破传统从教科书出发决定教什么，怎样教的教学体系。
着眼从学生的原有水平和生活实际经验出发，运用建构主义理论，引导学生自主去建构知识。
课堂上创设有心理安全的课堂氛围，让学生处于平等地位，让学生真正成为学习的主人。
教师组织学生通过观看视频，自主学习，小组讨论，等恰当的方式进行学习。
教师通过优化呈现知识的前后顺序，使教学能紧紧地贴近学生，让学生对所呈现的内容有熟悉感、亲切感，让学生愿意探究、乐于学习。
在类比探究中注重学生的不同解法，给学生更多发挥想象的时间和空间，体验类比探究、合作学习成功所带来的快乐。
教师通过更多的正面的积极的评价来强化和延续这种快乐，让学生愿意学习，喜欢学习。
二、教学设计与实施体现活动建构教学论的基本主张和程序
教学设计的过程是一个创造性地解决教学问题的过程。
教学设计理论为营造这种创造性提供理论空间。
我们传统的教学设计简化了目标、方法和条件之间的关系，构筑了封闭的理论框架，不利于教学设计者创造性的发挥。
这次教学设计理论反映目标、方法与条件之间的多对多的关系，并揭示影响这些关系变化的要素，构筑开放的理论框架。
遵循系统设计理论的备课和上课程序，规范我们的教学，再与恰当的教学媒体结合起来，使教学取得可靠，稳定的教学质量。
使教师教得自由、有创意，学生学的更轻松。
三、学生学习观念更新
学生从被动接受教师的信息，被动地去完成教师的任务走进了主动去探究和主动去发现问题的领域。
要求教师的教学不断地从学生的原有的知识水平和生活实际经验出发，使教学紧紧贴近学生，尊重学生的学习需要、激发学生的学习需要。
在教学中也让学生了解他们生活着的社会，当今的社会是知识经济的社会，学习中碰到困难他们就会主动地去克服，积极向上，勇于超越自我。
渐渐地学生愿意学习，喜欢学习，逐渐树立起终生学习的观念。
北师大版八年级下册第四章因式分解
第一节因式分解
教材分析
（教材为源，源活而水清）
本节是北师版八年级下册第四章因式分解第一节内容。
属于“数与代数”领域中
（一）数与式中的“整式与分式”。
因式分解是代数式的一种重要恒等变形。
它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是因式分解与整式乘法的相互关系。
升级会员 