奥林匹克数学竞赛试题.docx

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奥林匹克数学竞赛试题

奥林匹克数学竞赛试题（几何部分）

MathematicsOlympictest

（geometricpart）

1.已知在梯形ABCB,AD/ZBC/B=40,/C=50，点E,F,M,N分别为四条边的中点，求证：

BC=EF+MN【简单】

2.已知在平行四边形ABCD^,对角线AC与BD相交于点QP为平行四边形ABCW卜一点，且/APCWBPD=90,求证：

平行四边形ABC的次!

形.【简单】

3.已知在三角形ABC^,AB=ACCDLAB于D,P为BC上一点，PHAB

于E,PF，AC于F.求证：

PE+PF=CD.【简单】

4.已知在等腰三角形ABC+,AB=ACCD£AB,AHLFH,EF±AB,求

证：

EF=CD+FH【简单】

5.已知三角形ABCffi三角形BDE都是等腰直角三角形一连结AD,延

长CE交AD与F,求证：

CF±AD.【简单】/

6.已知三角形ABCffi三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F,连结CE交AB于G,连结FG求证：

FG//CD.【简单】\\

A

7.已知三角形ABC^正三角形，内取一点P,向三边作垂线，交AB

于D,BC于E,AC于F,求证：

PD+PE+PF==^^WW.【简单】

8.已知三角形ABC^正三角形，AD为高，取三角形外一点P,向三边

（或边的延长线）作垂线，交AB的延长线AE于M交AC的延长线

AF于N,交BC于Q,求证：

PM+PN-PQ=ADl中等】

9.已知在矩形ABCM,对角线AC,BD相交于QDE平分/ADC^AC

于F,若/BDE=15,求/COE的度数.【中等】

10.已知三角形ABB直角三角形，/BAC=90,ADLBCAE平分

/CADBF平分/ABC交AD于G,交AE于H,连结EG,求证：

EG//AC

【中等】\

11.已知三角形ABCffi三角形BDE都是正三角形，连结AE,CD取AE的中点N,取CD的中点M连结BM,BN,MN求证：

三角形BMf＜等边三角形.【中等】

12.已知在正方形ABCB,作又t角线AC的平彳f线EG彳BC=CH连

结BE,延长H汝BE于F,连结CF,求证：

BC=CF.【中等】

13.已知在直角梯形ABC师，AD/BBCAD=3BC=5将腰C堂点D

逆时针旋转90至%DE,连结AE,求三角形ADE的面积「【中等】

14.已知在任意四边形ABCM,AB=CDP,Q,R分别为AD,BC,BD的中

点，/ABD=25,/BDC=65,求/PQR的度数.【中等】

15.已知在梯形ABCM,AD/ZBCE为AB的中点，求证：

S三角形

CDES三角形ADES三角形BCE.【较难】/

16.已知矩形ABCD在CD的延长线上取一点E,在BC的延长线上取一点F,使得/DAEhDAF,AF和CW于G,求证:

S矩形abcdS三角形AEF.【较难】

17.已知在等腰直角三角形ABC中，/BAC=90,AD=AEAF±BE交

BC于F,过F作FGLCD交BE的延长线于G,求证：

BG=AF+FG.

【很难】【提示：

过C点作AC的垂线，延长AF,交垂线于H.J

18.已知在正九边形ABCDEFG呻，连结AE,AE=1,求AH+AI的长.

【很难】【提示：

延长AH使HK=HG连结KG.】

19.已知正方形ABCD3有一点P,且PB:

PCPD=32:

1,求证:

/CPD=135.【超难】【提示：

过C作PC的垂线CP,使CP=CP.】

20.已知在任意四边形ABCM,点E,F分别将AD,BC分成mn两部分，AF和BE交于P,CE和DF交于Q求证：

S四边形EPFQS三角形CDQS三角形ABP.【超难】