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傅里叶变换公式

第2章信号分析

本章提要

信号分类

周期信号分析一傅里叶级数

非周期信号分析一傅里叶变换

脉冲函数及其性质

信号：

反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：

从信号中提取有用信息的方法

和手段

§2—1信号的分类

两大类：

确定性信号，非确定性信号

确定性信号：

给定条件下取值是确定的。

进一步分为：

周期信号，

非周期信号。

非确定性信号〔随机信号〕：

给定条件下取值是不确定的

按取值情况分类：

模拟信号，离散信号数字信号：

属于离散信号，幅值离散,并用二进制表不。

信号描述方法

时域描述

如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法：

将信号看成许多谐波〔简谐信号〕之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

周期信号时域表达式

T：

周期。

注意77的取值：

周期信号“无始无终〞

#

傅里叶级数的三角函数展开式

（77=1,2,3,…）

傅立叶系数：

式中T一周期；o-基频，亍

三角函数展开式的另一种形式：

周期信号可以看作均值与一系列谐波之和

频谱图

周期信号的频谱三个特点：

离散性、谐波性、收敛性

例1：

求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图

解：

解：

信号的基频

傅里叶系数

n次谐波的幅值和相角

最后得傅立叶级数频谱图

幅频谱图相频谱图

欧拉公式

傅立叶级数的复指数形式

复数傅里叶系数的表达式

其中方刀的计算公式与三角函数形式相同，只是门包括全部整数。

一般G是个复数。

因为❺是的偶函数0堤门的奇函数,

因此#

即：

实部相等，虚部相反，G与6共觇。

G的复指数形式共辄性还可以表示为

即：

S与C—刀模相等，相角相反。

傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。

它与三角函数形式的关系

对于72>0

C_尿+〔-乞〕2_A〞

2IjJ〔等于三角函数模的一半〕

血=arctg—-

〔与三角函数形式中的相角相等〕

用C〞画频谱：

双边频谱

第一种：

幅频谱图：

IC〞I-，相频谱图:

〞-第二种：

实谱频谱图：

Rec〞-，虚频谱图：

Imc〞-；也就是an-和-bn-.

#

分两类:

a.准周期信号

定义：

由没有公共周期〔频率〕的周期信号组成

频谱特性：

离散性，非谐波性

判断方法：

周期分量的频率比〔或周期比〕不是有理数b.瞬变非周期信号

几种瞬变非周期信号

数学描述：

傅里叶变换

一、傅里叶变换

演变思路：

视作周期为无穷大的周期信号式〔2.22〕借助〔2.16〕演变成：

定义％〔方〕的傅里叶变换X〔G〕

尤〔G〕的傅里叶反变换x{t〕:

傅里叶变换的频谱意义：

一个非周期信号可以分解为角频率连续变化的无数谐波的叠加。

称x〔〕其为函数X&〕的频谱密度函数。

对应关系:

x〔〕描述了X&〕的频率结构

X〔〕的指数形式为

以频率f〔Hz〕为自变量，因为f

=w/〔2p〕,得

f〕的指数形式

频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

实频谱图ReZ〔«〕和虚频谱图Im〔«〕如果乳〕是实函数，可用一张乳〕图表示。

负值理解为幅值为乳〕的绝对值，相角为“或“。

二、傅里叶变换的主要性质

〔一〕叠加性

〔二〕对称性

X⑴亠^〔-/〕

〔注意翻转〕

〔三〕时移性质

〔幅值不变，相位随f改变±2/Y°〕

〔四〕频移性质

〔注意两边正负号相反〕

〔五〕时间尺度改变特性

〔六〕微分性质

〔七〕卷积性质

〔1〕卷积定义

〔2〕卷积定理

〔一〕脉冲函数：

定义函数〔要通过函数值和面积两方面定义〕

函数值：

脉冲强度〔面积〕

〔二〕脉冲函数的样质

1.脉冲函数的采性〔相乘〕样质:

函数值：

强度:

结论：

1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x〔r〕在脉冲发生时刻的函数值

2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。

2.脉冲函数的卷积性质：

〔a〕利用结论2

〔b〕利用结论2

结论：

平移

〔三〕脉冲函数的频谱均匀幅值谱申此导出的其他3个结节

〔利用时移性质〕

—rU〔利用对称性

质〕

〔对上式,

再用频移性质〕

〔四〕正弦函数和余弦函数的频谱