天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解doc.docx
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天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解doc
第4章随机变量的数字特征
一、填空题
1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于
E（X）E（Y）
2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气
温变化比北京的大，相当于D（X）D（Y）.
3、已知随机变量
X服从二项分布，且
E（X）
2.4,D（X）
1.44，则二项分布的参数
n=6
p=.
4、已知X服从
（x）
1ex2
2x
1，则.
E（X）=1,
D（X）=1/2.
5、设X的分布律为
X
1
0
1
2
P
1
1
1
1
8
4
2
8
则E（2X
1）
9/4.
6、设X,Y相互独立，则协方差
cov（X,Y）
0.
这时，X,Y之间的相关系数
XY
0.
7、若
XY是随机变量（X,Y）的相关系数，则|
XY|1的充要条件是
PY
aX
b
1.
8、
XY是随机变量（X,Y）的相关系数，当XY
0时，X与Y
不相关，当|XY|1
时，
X与Y
几乎线性相关.
9、若D（X）
8,D（Y）
4，且X,Y相互独立，则D（2X
Y）
36.
10、若a,b为常数，则D（aX
b）
a2D（X）.
11、若X,Y相互独立，E（X）
0,E（Y）2，则E（XY）
0.
12、若随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，则E（X）π.
13、若D（X）
25,D（Y）36,
XY
0.4，则cov（X,Y）12
，D（X
Y）85，
D（X
Y）
37.
14、已知E（X）
3，D（X）5，则E（X
2）2
30.
15、若随机变量
X的概率密度为
ex
x
0
，
（x）
x
，则E（2X）2
0
0
E（e2X）
1/3.
二、计算题
1、五个零件中有
1个次品，进行不放回地检查，每次取
1个，直到查到次品为止。
设X
表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品
解:
X的分布律为:
X
1
2
3
4
5
pk
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
1
（1+2+3+4+5）=3.
E（X）
5
答：
略
2、某机携有导弹
3枚，各枚命中率为
p，现该机向同一目标射击、
击中为止，问平均射]
击几次
解:
设X为射击次数，则
X的分布律为:
X
1
2
3
pk
p
p（1p）
（1
p）2
E（X）p2p（1p）3（1p）2
p2
3p3
答：
略
2x0x1
3、设X的密度函数为f（x），求E（X）、D（X）
1其它
解:
E（X）
xf（x）dx
2x2dx
2
1
0
3
E（X2）
x2f（x）dx
2x3dx
1
1
0
2
故
D（X）E（X2）（E（X））21
（2）2
1
2
3
18
4、（拉普拉斯分布）X的密度函数为f（x）
1e|x|（
x
），求.
E（X）、D（X）
2
解:
E（X）
x1exdx
0
2
E（X2）
x21exdx
x2exdx
x2dex
2
0
0
x2ex
2
xexdx2
xdex
0
0
0
2ex
2
0
故
D（X）
E（X2）（E（X））2
2
0,
x
1
5、设连续型随机变量X的分布函数F（X）
abarcsinx,
1x1
1,
x
1
求a、b、E（X）、D（X）.
解:
X为连续型随机变量，
F（x）为连续函数.
F（
1）
F（
1）,
a
2b0
F（1
）
F
（1）,
a
2b
1
可解得;
a
21,
b
1.
X的概率密度
1
x1
f（x）F（x）
1
x2
0,
其它
E（X）
xf（x）dx
1
x
dx=0
1
1
x2
D（X）
E（X
2
）
1
x2
dx
2
1
x2
dx
1
0
1
x2
1
x2
令
xsint，则
D（X）
2
2sin2tdt
1
0
2
6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为、
、,
假设它们的状态相互
独立，以X表示同时需调整的部件数，求
E（X）、D（X）
解:
设Ai
表示第i
个部件需调整，i=1,2,3
Xi
1,
Ai发生
则
X
X1
X2
X3
，
Ai
不发生，
0
E（Xi）
P（Ai）,
D（Xi
）
P（Ai
）1
P（Ai）
i
1,2,3
故
E（X）
E（X1）
E（X2）
E（X3）
0.1
0.2
0.3
0.6
D（X）D（X1）D（X2）D（X3）
0.1
0.9
0.2
0.8
0.3
0.7
0.46
7、对圆的直径作近似测量，设其值
X均匀分布在区间
[a,b]内，求圆面积的数学期望.
解:
因为X~U（a,b），所以X的密度
f（x）
1
a
x
b
b
a
0,
其它
设Y=“圆面积”，则Y=
4
X2，所以
π
2
）
πb
x2
dx
（a
2
2
）.
E（X）E（X
4
b
abb
4
a
a
12
8、设随机变量
X~e
（2）、Y~e（4），求E（XY）、
E
（2
X
3
2）
.
Y
解:
显然
1
1
1
E（X）,
E（Y）,D（Y）
16
2
4
所以
E（XY）E（X）E（Y）
1
1
3
2
4
.
4
E（2X3Y2）2E（X）3D（Y）（E（Y））2
13（1
1）
5
16
16
8
9、设（X,Y）的分布律为
Y
1
2
3
X
-1
0
求E（X）,E（Y）.
0
0
1
解:
E（X）
（
1）（0.2
0.1
0）
0
1
（0.1
0.1
0.1）
0
E（Y）
1
（0.20.1
0.1）
2
（0.10
0.1）
3
（0
0.30.1）
2
10、已知随机变量
X的概率密度为
f（x）
1
|1
x|
0
x
2
0
其它
求X*
XE（X）的概率密度
D（X）
解:
（
）
2
11
d
1
2d
2
2
d
1
X
x
x
x
x
2
x
x
E
0
x
0
1
x
E（X2）
1
2
2x2
x3dx
7
x3dx
1
0
6
D（X）E（X2）（E（X））2
1
6
所以
X
6（X
1）
FX（y）PX
yP6（X1）yPX
y
1
FX（y
1）
6
6
所以
1
1
fX（y）
d
FX（y
1）
1fX（y
1）
6（1
6
y）,y
6
dy
6
6
6
0,
其它
11、设随机变量（X,Y）的密度函数为
f（x,y）
2
0
x
1,0
y
x
求E（XY）.
0
其它
解:
EXY
xyf
xy
xy
xyxy
：
（
）
（,）dd
2dd
G0yx1
xOy
G
=
2
1
x
1
xx2dx
1.
xdx
0
ydy
0
0
4
12、设随机变量
X和Y相互独立，且E（X）
E（Y）
0,D（X）
D（Y）
1，
求E[（X
Y）2].
解:
E（X
Y）2
E（X2）
E（Y2）
2E（XY）
D（X）（E（X））2
D（Y）（E（Y））2
2E（X）E（Y）2
13、设二维随机变量（X,Y）的均值E（X）、E（Y）存在，
证明：
E（XY）
E（X）E（Y）
E（X
E（X））（Y
E（Y））。
证：
因为
EXE（X）YE（Y）
E（XY）E（X）E（Y）
所以
E（XY）
E（X）E（Y）
E
X
E（X）Y
E（Y）
14、证明：
如果随机变量X与Y相互独立，且D（X），D（Y）存在，
则
（
XY
）
（
X
）
（）
（
X
）
2
（
X
）
（）
2
（
Y
）
D
D
DY
E
D
EY
D
证：
D（XY）
E[（XY）2]
[E（XY）]2
E（X
2Y2）
[E（X）E（Y）]2
E（X
2）E（Y2）[E（X）]2[E（Y）]2
{D（X）[E（X）]2}{D（Y）
[E（Y）]2}[E（X）]2[E（Y）]2
D（X）D（Y）
[E（X）]2D（Y）
[E（Y）]2D（X）
15、设区域G
为x2
y2
1，二维随机变量（X,Y）服从G上的均匀分布，判断X、Y
的相关性、独立性.
解:
显然，二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为
f（x,y）
1
（x,y）
G
0,
（x,y）
G
1
x2
所以
fX（x）
f（x,y）dy
1
x2
1
dy,x1
0,
其它
2
1
x2,
x
1
0,
其它
fY（y）
2
1
y2,
y
1
0,
其它
因此
E（X）
xf（x）dx
12x1
x2dx
0
1
同样可得
E（Y）
0
又
E（XY）
xyf（x,y）dxdy
1
dd
0
xyxy
xOy
G
所以
cov（X,Y）
E（XY）
E（X）E（Y）
0
故X、Y不相关，但由于
fX（x）fY（y）
f（x,y）
所以X与Y不相互独立.
16、设随机变量
X和Y的联合分布律为
Y
X
1
0
1
1
1
1
1
8
8
8
0
1
0
1
8
8
1
1
1
1
8
8
8
验证X,Y不相关，但X,Y不相互独立.
证：
因为
E（X）
（1）30130
88
E（Y）
（1）30130
88
E（XY）
（1）
（1）1
0
（1）11
01
（1）1
0111
0
8
8
8
8
所以cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）0
故X,Y不相关.
又
p1?
3,
p?
1
3，p11
1
8
8
8
所以
p1?
p?
1
p11
故X,Y不相互独立.
17、设随机变量（X,Y）具有概率密度
f（x,y）
1（xy）
0x
2,0
y
2
8
0
其它
求E（X）,E（Y）,cov（X,Y）,
XY.
解：
E（X）
xf（x,y）dxdy
1
2
2
7
8
dx
x（xy）dy
xOy
0
0
6
由x,y的“对称性”可得
E（Y）
7
.
6
又
E（XY）
xyf（x,y）dxdy
1
2
2
4
dx
xy（x
y）dy
xOy
80
0
3
所以
cov（X,Y）E（XY）
E（X）E（Y）
1
.
36
又
E（X
2
）
x
2
f（x,y）dxdy
1
2
2
2
（x
5
dx
x
y）dy
xOy
80
0
3
由x,y的“对称性”可得
E（Y2）
5
3
11,
11.
所以
D（X）E（X2）（E（X））2
D（Y）
36
36
故
XY
cov（X,Y）
1.
D（X）D（Y）
11
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