天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解doc.docx

1、天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解doc第 4 章 随机变量的数字特征一、填空题1、设 X 为北方人的身高， Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于E( X ) E(Y)2、设 X 为今年任一时刻天津的气温， Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于 D(X) D(Y) .3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X )2.4, D(X)1.44 ，则二项分布的参数n= 6,p= .4、已知 X 服从(x )1 e x 22x1，则 .E(X)=1 ,D(X)=1/2.5、设 X 的分布律为X1012P11118428则 E(2X1)9/4 .6

2、、设 X ,Y 相互独立，则协方差cov( X ,Y )0 .这时， X ,Y 之间的相关系数XY0 .7 、 若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 |XY| 1的充要条件是P YaXb1 .8、XY 是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数， 当 XY0时，X 与Y不相关 ，当| XY | 1时，X 与 Y几乎线性相关 .9、若 D(X)8, D(Y )4 ，且 X ,Y 相互独立，则 D (2XY )36 .10、若 a, b 为常数，则 D (aXb)a2 D ( X ) .11、若 X ,Y 相互独立， E( X )0, E(Y) 2 ，则 E(XY )0 .12、若随机变量 X

3、 服从 0,2 上的均匀分布，则 E( X ) .13、若 D(X)25, D(Y ) 36,XY0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12， D(XY) 85，D ( XY )37 .14、已知 E( X )3，D(X) 5，则E(X2)230 .15、若随机变量X 的概率密度为e xx0，(x)x，则 E(2X ) 200E (e 2 X )1/3 .二、计算题1、五个零件中有1 个次品，进行不放回地检查， 每次取1 个，直到查到次品为止。 设 X表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品解:X 的分布律为 :X12345pk1/51/51/51/51/51(1+2+3+4+5)=3.E(X

4、)5答：略2、某机携有导弹3 枚，各枚命中率为p ，现该机向同一目标射击、击中为止， 问平均射 击几次解:设 X 为射击次数，则X 的分布律为 :X123pkpp(1 p)(1p) 2E( X ) p 2 p(1 p) 3(1 p) 2p 23 p 3答：略2 x 0 x 13、设 X 的密度函数为 f (x) ，求 E( X ) 、 D ( X )1其它解:E(X )xf ( x)dx2 x2dx2103E(X 2)x2 f (x)dx2x3 dx1102故D(X) E(X 2) (E(X)2 1(2) 2123184、( 拉普拉斯分布 ) X 的密度函数为 f ( x)1 e | x| (

5、x) ，求.E(X)、D(X)2解 :E(X)x 1 e x dx02E(X 2)x2 1 e x dxx2 e x dxx 2de x200x2 e x2xe xdx2xde x0002e x20故D(X)E(X 2) (E(X)220,x15、设连续型随机变量 X 的分布函数 F ( X )a b arcsin x,1 x 11,x1求 a 、 b 、 E( X ) 、 D ( X ) .解: X 为连续型随机变量，F ( x) 为连续函数 .F (1 )F (1),a2 b 0F (1)F (1),a2 b1可解得 ;a21 ,b1 .X的概率密度1, x 1f (x) F ( x)1x

6、 20,其它E(X)xf (x)dx1xdx =011x 2D(X )E( X2)1x 2dx21x 2dx101x 21x2令x sin t ，则D(X )22 sin 2 tdt1026、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为、,假设它们的状态相互独立，以 X 表示同时需调整的部件数，求E(X)、D(X )解 :设 Ai表示第 i个部件需调整， i =1,2,3X i1,Ai 发生则XX1X 2X 3，Ai不发生，0E( X i )P( Ai ),D ( X i)P( Ai) 1P( Ai )i1,2,3故E(X)E(X1)E(X2)E(X3)0.10.20.30.6D(X)

7、 D(X1) D(X2) D(X3)0.10.90.20.80.30.70.467、对圆的直径作近似测量，设其值X 均匀分布在区间a,b 内，求圆面积的数学期望 .解 :因为 X U (a,b) ，所以 X 的密度f ( x)1,axbba0,其它设 Y =“圆面积” ，则 Y =4X 2，所以2) bx2dx( a22) .E(X) E( X4bab b4aa128、设随机变量X e(2) 、 Y e(4) ，求 E( X Y) 、E(2X32 ).Y解: 显然111E(X),E(Y), D(Y)1624所以E(X Y) E(X) E(Y)11324.4E(2X 3Y 2) 2E(X ) 3

8、 D(Y) (E(Y)21 3(11 )5161689、设 ( X ,Y ) 的分布律为Y123X-10求 E(X), E(Y) .001解 :E(X)(1)(0.20.10)01(0.10.10.1)0E(Y )1(0.2 0.10.1)2(0.1 00.1)3(00.3 0.1)210、已知随机变量X 的概率密度为f ( x)1|1x |0x20其它求 X *X E( X ) 的概率密度D(X)解 :()21 1d12 d22d1Xxxxx2xxE0x01xE(X2)122x 2x3 dx7x3 dx106D(X) E(X2) (E(X)216所以X6 ( X1 )F X ( y) P X

9、y P 6 ( X 1) y P Xy1F X ( y1)66所 以11f X ( y)dFX ( y1)1 f X ( y1)6 (16y ), y6dy6660,其它11、设随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为f ( x, y)20x1, 0yx求E(XY).0其它解 :E XYxyfx yx yxy x y：()( , )d d2 d dG 0 y x 1xOyG=21x1xx 2 dx1 .xdx0ydy00412、设随机变量X 和Y 相互独立，且 E( X)E(Y )0, D(X )D(Y )1，求 E(XY)2.解:E ( XY) 2E(X2)E(Y2 )2E(XY)D( X

10、) (E(X )2D(Y) (E(Y)22E( X )E(Y) 213、设二维随机变量(X,Y) 的均值E(X)、E(Y)存在，证 明 ： E(XY)E(X )E(Y)E ( XE(X )(YE(Y ) 。证：因为E X E(X) Y E(Y)E(XY) E(X )E(Y)所以E( XY)E( X ) E(Y)EXE(X) YE(Y)14、证明：如果随机变量 X与Y相互独立，且D(X)，D(Y)存在，则(XY)(X)( )(X)2(X)( )2(Y)DDD YEDE YD证：D(XY)E( XY)2E(XY )2E( X2Y2)E(X )E(Y)2E( X2)E(Y2 ) E(X )2E(Y)

11、2 D(X ) E( X ) 2 D(Y)E(Y)2 E(X )2E(Y)2D( X )D(Y) E(X )2 D(Y)E(Y)2 D( X )15、设区域 G为 x2y 21 ，二维随机变量 ( X ,Y ) 服从 G 上的均匀分布， 判断 X 、Y的相关性、独立性 .解 : 显然，二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为f (x, y)1, ( x, y)G0,( x, y)G1x2所以f X ( x)f (x, y)dy1x21dy, x 10,其它21x2 ,x10,其它fY ( y)21y2 ,y10,其它因此E(X)xf (x)dx1 2 x 1x 2 dx01同样可得E(

12、Y)0又E( XY)xyf (x, y)dxdy1d d0xy x yxOyG所以cov( X ,Y)E( XY)E(X )E(Y)0故 X 、 Y 不相关，但由于f X ( x) fY ( y)f ( x, y)所以 X 与Y不相互独立 .16、设随机变量X 和 Y 的联合分布律为YX10111118880101881111888验证 X ,Y 不相关，但 X ,Y 不相互独立 .证：因为E(X) (1) 3 0 1 3 08 8E(Y) (1) 3 0 1 3 08 8E(XY) ( 1) ( 1) 10(1)1101(1)1011108888所以 cov( X , Y) E( XY )

13、E( X ) E(Y ) 0故 X,Y 不相关 .又p1?3 ,p?13 ， p111888所以p1? p?1p11故 X ,Y 不相互独立 .17、设随机变量 (X , Y) 具有概率密度f ( x, y)1 (x y)0 x2, 0y280其它求 E( X ), E(Y ), cov( X ,Y ),XY .解：E(X )xf ( x, y)dxdy12278dxx(x y)dyxOy006由 x, y 的“对称性”可得E(Y )7.6又E(XY)xyf ( x, y)dxdy1224dxxy(xy)dyxOy8 003所以cov( X ,Y) E( XY )E( X )E(Y)1.36又E( X2)x2f ( x, y)dxdy1222( x5dxxy)dyxOy8 003由 x, y 的“对称性”可得E(Y2)5311 ,11 .所以D(X ) E(X 2) (E(X)2D(Y)3636故XYcov( X ,Y)1 .D(X )D(Y)11