实验2非线性方程fx0的解法.docx
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实验2非线性方程fx0的解法
SolutionofNonlinearEquationsf（x）=0
1.实验描述
1．:
参照程序求解出单调收敛的不动点。
2．:
已知初值，时间和末值，求解汇率。
3.：
已知函数求函数在区间内的极值和根。
4.：
已知运动方程求解运动时间和距离。
2.实验内容
1．使用程序求解下面每个函数的不动点（尽肯能多）近似值，答案精确到小数点后12位。
同时，构造每个函数的图和直线y=x来显示所有不动点。
（a）
（b）
（c）
（d）
2．如果在240个月内每月付款300美元，求解满足全部年金A为500000美元的汇率I的近似值（精确到小数点后10位）。
3.一个计算机程序使用点（x0,y0），（x1,y1），（xn,yn）可画出函数y=f（x）的图形，通常还标记出图形的纵向高度，而且必须写出一个子程序来确定函数f在区间[a,b]内的最大值和最小值。
（a）构造一个算法寻找值Ymax=maxk{yk}和Ymin=mink{yk}.
（b）写一个MATLAB程序寻找函数f（x）在区间[a,b]内根的近似值位置和极值。
（c）使用（b）中的程序寻找第1题和第2题中根的位置和极值，并用真实值进行比较。
4.设投射方的运动程为
（a）求当撞击地面时经过的时间，精确到小数点后10位。
（b）求水平飞行行程，精确到小数点后10位。
3.实验结果及分析
1.:
算法：
（1）输入函数g，p0,tol,max1,令k=2。
（2）判断k>max1是否成立，如成立输出结果，如不成立，执行（3）。
（3）令p（k）=g（p（k-1））,err=|p（k）-p（k-1）|。
（4）判断err（2）。
对（a）令
，简单画出
与
的图像，可令x=0,
.
图1.
与
运行程序后，当输入[k,p,err,P]=fixpt（@g,-1,1e-12,100）
输出k=3
p=2
err=0
P=-122
通过图形我们知道不动点有3个，X=2是吸引不动点，其余2个为排斥不动点。
对（b）令
，简单画出
与
的图像，可令x=1,
.
图2.
与
运行程序后，当输入[k,p,err]=fixpt（@g,1,1e-12,100）
输出：
k=37p=err=
通过图形我们知道不动点有1个，X=是吸引不动点。
因而函数只有一个吸引不动点
对（c）令
，简单画出
与
的图像，可令x=1,
图3.
与
运行程序后，当输入[k,p,err]=fixpt（@g,0,1e-12,100）
输出k=38p=err=
运行程序后，当输入[k,p,err]=fixpt（@g,,1e-12,100）
输出k=38p=err=
通过图形我们知道不动点有2个，X=,X=是吸引不动点。
因而函数有两个吸引迭代点。
令（4）令
，简单画出
与
的图像，可令x=1,
。
图4.
与
当输入[k,p,err,P]=fixpt（@g,1,1e-12,100）
输出k=2p=1err=0
P=
1
1
通过图形我们知道不动点有2个，X=1是吸引不动点.因而函数只有一个吸引迭代点。
算法：
（1）输入f,a,b,delta,max1,令k=1。
（2）f（a）=feval（f,a）;f（b）=feval（f,b）;k=1.
（3）判断f（a）*f（b）>0是否成立，若不成立输出结果，若成立执行步骤（4）。
（4）判断k>max1是否成立,若成立输出结果，若不成立执行步骤（5）。
（5）令dx=yb*（b-a）/（yb-ya）,c=b-x,yc=feval（f,c）.
（6）判断yc=0是否成立，若成立输出结果，若不成立执行步骤（7）。
（7）判断yc*yb>0是否成立，若成立，令b=c,yb=yc.若不成立,令a=c,ya=yc.
（8）令err=|b-a|.
（9）判断err若不成立，令k=k+1,执行（4）。
流程图：
当输入[c,err,yc]=regula（@f,,,1e-10,100）
输出c=
err=
yc=
3.（a）
算法:
（1）输入f,a,b,N,令k=1.
（2）判断k>N+1是否成立，若成立，输出并执行步骤（3）；若不成立，令p（k）=feval（f,b*（k-1）/（a*N））,k=k+1,再执行步骤
（2）。
（3）令m=p
（1）,k=2.
（4）判断k>N+1是否成立，若成立，输出并执行步骤（6）；若不成立，执行步骤（5）。
（5）判断m>p（k）是否成立，若成立，m=p（k）,执行步骤（4）；若不成立，执行步骤（4）。
（6）令n=p
（1）,k=2.
（7）判断k>N+1是否成立，若成立，输出；若不成立，执行步骤（8）。
（8）判断n>p（k）是否成立，若成立，n=p（k）,输出；若不成立，执行步骤（7）。
流程图：
（b）
算法：
（1）输入f,X,delta.
（2）令Y=f（X）,n=length（X）,m=0,l=0,X（n+1）=X（n）,Y（n+1）=Y（n）,k=2.
（3）判断k>n+1是否成立，若成立，输出；若不成立，执行步骤（4）。
（4）判断Y（k-1）*Y（k）<=0是否成立，若成立，m=m+1，r（m）=（X（k-1）+X（k））/2;若不成立，执行步骤（5）。
（5）令s=（Y（k）-Y（k-1））*（Y（k+1）-Y（k））。
（6）判断（abs（Y（k））（7）判断s<=1e-6是否成立，若成立，l=l+1，v（l）=Y（k）;若不成立，执行步骤（3）.
流程图：
（c）用（b）中程序求第1题
输入>>X=-2:
:
2;
>>[r,v]=chao（@k,X,1e-12）
输出
r=
v=+006*
用程序求得c=
用（b）中程序求的根的位置的近似值中有3个，真实值却只在c=左右，说明程序（b）计算结果不过精确。
用（b）中程序求第2题
输入>>X=-2:
:
2;
>>[r,v]=chao（@o,X,1e-12）
输出r=
v=+004*
用程序求得c=
用（b）中程序求的根的位置的近似值中有1个，与真实值c=
接近，说明程序（b）计算结果较为精确。
算法：
（1）输入h,r,p0,p1,delta,max1.令k=1.
（2）判断k>max1是否成立，若成立，输出；若不成立，执行（3）。
（3）令p2=p1-feval（f,p1）*（p1-p0）/（feval（f,p1）-feval（f,p0））,err1=|p1-p0|,
err2=|feval（r,p1）-feval（r,p0）|,p0=p1,p1=p2
（4）判断err1（2）。
流程图：
输入[p1,err1,err2,k,c]=secant（@h,@r,9,,1e-10,100）
输出p1=
err1=
err2=
k=6
c=+003
4.结论
1.采用的不动点迭代法，只能计算出吸引不动点，不能算出排斥迭代点。
2.计算得所求的利率为。
3.用（b）中程序求的根的位置的近似值中有合理的，也有不合理的。
4.计算得投射体撞击地面经过的时间p1=
飞行行程c=+003
附件（代码）：
1.（a）%plotthefigureofg=x.^5-3.*x.^3-2.*x.^2+2withy=x
x=-2:
:
;
y=x;
g=x.^5-3.*x.^3-2.*x.^2+2;
plot（x,g,x,y）
xlabel（'x'）;
ylabel（'g=x.^5-3.*x.^3-2.*x.^2+2y=x'）;
functionb=g（x）
b=x^5-3*x^3-2*x^2+2;
%definitefunctiong（x）
（b）%plotthefigureofcos（sin（x））withy=x
x=-2:
:
;
y=x;
g=cos（sin（x））;
plot（x,g,x,y）
xlabel（'x'）;
ylabel（'cos（sin（x））y=x'）;
%definitefunctiong（x）
functionb=g（x）
b=cos（sin（x））;
（c）%plotthefigureofg=x.^2-sin（x+withy=x
x=-2:
:
;
y=x;
g=x.^2-sin（x+;
plot（x,g,x,y）
xlabel（'x'）;
ylabel（'g=x.^2-sin（x+y=x'）;
%definitefunctiong（x）
functionb=g（x）
b=x.^2-sin（x+;
（d）plotthefigureofx.^（x-cos（x））withy=x
x=-2:
:
;
y=x;
g=x.^（x-cos（x））;
plot（x,g,x,y）
xlabel（'x'）;
ylabel（'x.^（x-cos（x））y=x'）;
%definitefunctiong（x）
functionb=g（x）
b=x.^（x-cos（x））;
function[k,p,err,P]=fixpt（g,p0,tol,max1）
%input--gisiteratinfunctioninputasstring'g'
%-p0isinitialguessforthefixedpoint
%-tolisthetolerance
%-max1isthemaximumnumberofiterations
%output-kisthenumberofiteratinsthatwerecarriedout
%-pisapproximationtothefixedpoint
%-erristheerrorintheapproximation
%-Pcontainsthesequence{pn}
P
（1）=p0;
fork=2:
max1
P（k）=feval（g,P（k-1））;
err=abs（P（k）-P（k-1））;
relerr=err/（abs（P（k））+eps）;
p=P（k）;
if（errend
ifk==max1
disp（'maximumnumberofiterationsexceeded'）
end
P=P';
2.%definitethefunctionf（x）
functionA=f（x）
p=300;
n=240;
A=12*p*（（1+x/12）^n-1）/x-500000;
function[c,err,yc]=regula（f,a,b,delta,max1）
%input--fisthefunctioninputasastring'f'
%-aandbaretheleftandrightpoints
%-deltaisthetoleranceforthezero
%-max1isthemaximumnumberofiterations
%output-cisthezero
%-yc=f（c）
%-erristheerrorestimateforc
ya=feval（f,a）;
yb=feval（f,b）;
ifya*yb>0
disp（'ya,ybarenotsuitable'）
return
end
fork=1:
max1
dx=yb*（b-a）/（yb-ya）;
c=b-dx;
yc=feval（f,c）;
ifyc==0,break;
elseifyc*yb<0
a=c;ya=yc;
else
b=c;yb=yc;
end
err=abs（b-a）;
iferrend
3
%definitek（x）
functiony=k（x）
y=1000000.*x.^3-111000.*x.^2+1110.*x-1;
function[r,v]=chao（f,X,delta）
%input--fistheobjectfunction
%-Xisthevectorofabscissas
%-deltaisthetolerance
%output-risthevectorofapproximateroots
%-visthevectorofdfapproximateroots
Y=f（X）;
n=length（X）;
m=0;l=0;
X（n+1）=X（n）;
Y（n+1）=Y（n）;
fork=2:
n
ifY（k-1）*Y（k）<=0
m=m+1;
r（m）=（X（k-1）+X（k））/2;
end
s=（Y（k）-Y（k-1））*（Y（k+1）-Y（k））;
if（abs（Y（k））m=m+1;
r（m）=X（k）;
end
ifs<=1e-6
l=l+1;
v（l）=Y（k）;
end
end
%definitefunctiono（x）
functiony=o（x）
y=5.*x.^10-38.*x.^9+21.*x.^8-5.*pi.*x.^6-3.*pi.*x.^5-5.*x.^2+8.*x-3;
function[r,v]=chao（f,X,delta）
%input--fistheobjectfunction
%-Xisthevectorofabscissas
%-deltaisthetolerance
%output-risthevectorofapproximateroots
%-visthevectorofdfapproximateroots
Y=f（X）;
n=length（X）;
m=0;l=0;
X（n+1）=X（n）;
Y（n+1）=Y（n）;
fork=2:
n
ifY（k-1）*Y（k）<=0
m=m+1;
r（m）=（X（k-1）+X（k））/2;
end
s=（Y（k）-Y（k-1））*（Y（k+1）-Y（k））;
if（abs（Y（k））m=m+1;
r（m）=X（k）;
end
ifs<=1e-12
l=l+1;
v（l）=Y（k）;
end
end
4.
%definitefunctionr（t）
functionx=r（t）
x=2400*（1-exp（-t/15））;
%definitefunctionh（t）
functiony=h（t）
y=9600*（1-exp（-t/15））-480*t;
function[p1,err1,err2,k,c]=secant（h,r,p0,p1,delta,max1）
%input--histhefunctionofaltitudeinpputasstring'h'
%--risthefunctionofpathinputasastring'r'
%--p0andp1istheinitialapproximationstoazero
%--deltaisthetoleranceforp1andy
%--max1isthemaximumnumberofiterations
%output-p1isthesecantmethodapproximationtothezero
%-err1isestimateforp1
%-err2isestimatefory
%-kisthenumberofiterations
%-yisthefunctionvaluer（p1）
fork=1:
max1
p2=p1-feval（h,p1）*（p1-p0）/（feval（h,p1）-feval（h,p0））;
err1=abs（p1-p0）;
err2=abs（feval（r,p1）-feval（r,p0））;
c=feval（r,p1）;
p0=p1;
p1=p2;
iferr1end
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