最新部编人教版数学《中考几何相似专题检测试题》含答案解析.docx

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最新部编人教版数学《中考几何相似专题检测试题》含答案解析

中考几何专项突破训练：

相似综合

1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．

（1）D、E分别是边AB、BC上一点，且BD＝nBE，连接DE，连接AE，CD交于F．

①如图1，若n＝，求证：

；

②如图2，若∠ACF＝∠AED，求n的值．

（2）如图3，P是射线AB上一点，Q是边BC上一点，且AP＝3BQ，若∠ARC＝∠CAB，求线段BQ的长度．

（1）①证明：

如图1中，

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

∵BD＝BE，

∴＝＝，

∴DE∥AC，

∴△DEF∽△CAF，

∴＝．

②解：

如图2中，

∵∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，

∴△AFC∽△DFE，

∴＝，∠CAF＝∠FDE，

＝，

∵∠AFD＝∠CFE，

∴△AFD∽△CFE，

∴∠ADF＝∠CEF，

∵∠CAF+∠CEF＝90°，

∠EDF+∠ADF＝90°，

∴∠ADE＝∠BDE﹣90°，

∴cosB＝＝＝，

∴n＝．

（2）解：

如图3中，作CH⊥AB于H．设BQ＝k则AP＝3k．

∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，

∴CH＝，AH＝＝，

∴PH＝3k﹣，

∵∠ARC＝∠APC+∠PAR，∠BAC＝∠PAR+∠CAQ，∠ARC＝∠BAC，

∴∠CAQ＝∠CPH，

∵∠ACQ＝∠CHP＝90°，

∴△ACQ∽△PHC，

∴＝，

∴＝，

整理得：

5k2﹣23k+24＝0，

解得k＝或3（舍弃），

∴BQ＝．

2．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，一个以点A为顶点的60°角绕着点A旋转，角两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE＝a，CF＝b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

（2）如图2，求证：

△ACF∽△ECA；

（3）若a+b＝6（a＞b），求EF的长．

解：

（1）∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD

∵∠B＝60°，AB＝BC

∴△ABC是等边三角形

∴∠BAC＝60°＝∠BCA，AC＝AB＝BC＝4，

∵∠EAF＝60°，AC平分∠EAF，

∴∠FAC＝30°，且∠BAC＝60°

∴∠BAF＝30°

∵AB∥CD

∴∠BAF＝∠AFC＝30°

∴∠CAF＝∠AFC＝30°

∴AC＝CF＝b＝4，

同理CE＝AC＝a＝4

∴a＝4，b＝4

（2）∵∠BCA＝∠ACD＝60°

∴∠ACE＝∠ACF＝120°

∵∠EAF＝60°＝∠FAC+∠EAC，∠ACB＝60°＝∠CAE+∠CEA

∴∠FAC＝∠AEC，且∠ACE＝∠ACF

∴△ACF∽△ECA

（3）如图，过点F作FH⊥BC于H，

∵△ACF∽△ECA

∴

∴

∴ab＝16

∵a+b＝6（a＞b）

∴a＝4，b＝2

∴CF＝2，CE＝4

∵FH⊥BC，∠BCF＝60°

∴CH＝CF＝，HF＝HC＝

∴HE＝CE+CH＝5，

∴EF＝＝＝2

3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AD边上的动点，从点A开始沿AD向D运动．以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，EF交DC于点H，连接CG、BH．请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？

请说明理由．

（2）若设AE＝x，DH＝y，当x取何值时，y最大？

最大值是多少？

（3）当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

解：

（1）AE＝CG．

理由如下：

∵四边形ABCD，四边形BEFG是正方形，

∴AB＝BC，BE＝BG，∠ABC＝∠EBG＝90°

∴∠ABE＝∠CBG，且AB＝BC，BE＝BG

∴△ABE≌△CBG（SAS）

∴AE＝CG

（2）∵四边形ABCD，四边形BEFG是正方形，

∴∠A＝∠D＝∠FEB＝90°，

∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB+∠DEH＝90°，

∴∠ABE＝∠DEH

又∵∠A＝∠D，

∴△ABE∽△DEH

∴，

∴

∴＝

∴当x＝1时，y有最大值为

（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE

理由如下：

∵E是AD中点，

∴AE＝1，

∴

又∵△ABE∽△DEH，

∴．

又∵，

∴，且∠DAB＝∠FEB＝90°，

∴△BEH∽△BAE

4．如图1，已知△ABD∽△ACE，∠ABD＝∠ACE＝90°，连接DE，O是DE的中点．

（1）连接OC、OB，求证：

OB＝OC；

（2）将△ACE绕顶点A逆时针旋转某一个角度．如图2，过点E作EM∥AD交射线AB于点M，交射线AC于点N，连接DM，BC．若DE的中点O恰好在AB上．

①求证：

△ADM～△AEN；

②求证：

BC∥AD；

③若AC＝BD＝3，AB＝4，△ACE绕顶点A旋转的过程中，是否存在四边形ADME为矩形的情况？

如果存在，直接写出此时BC的值，若不存在说明理由

（1）证明：

如图1中，延长EC交AD于F，延长AE交DB的延长线于H．

∵△ABD∽△ACE，

∴∠BAD＝∠BAH，

∵∠ABD＝∠ABH＝90°，AB＝AB．

∴△ABD≌△ABH（ASA），

∴AD＝AH，BD＝BH，

同法可证：

AF＝AE，CF＝CE，

∴DF＝EH，

∵OD＝OE，DB＝BH，

∴OB＝EH，

∵CF＝CE，OE＝OD，

∴OC＝DF，

∴OB＝OC．

（2）①证明：

如图2中，

∵AD∥EM，

∴∠DAO＝∠EMO，

∵∠AOD＝∠MOE，OD＝OE，

∴△AOD≌△MOE（AAS），

∴AD＝EM，

∵AD∥EM，

∴四边形ADME是平行四边形，

∴∠AEN＝∠ADM，

∵∠DAM＝∠NAE，

∴△ADM～△AEN；

②证明：

如图2中，

∵△ADM∽△AEN，

∴＝，

∵△DAB∽△CAE，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∴MN∥BC．

③解：

如图3中，当AE⊥AD时，四边形ADME是矩形．

理由：

由①可知四边形ADME是平行四边形，

∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝90°，

∴四边形ADME是矩形．

作CH⊥AD于H，BF⊥AD于F．

∵AE＝DM，∠DBM＝∠ACE＝90°，∠AEC＝∠DMB，

∴△DBM≌△ACE（AAS），

∴BD＝AC，∠CAE＝∠BDM，

∵∠MDA＝∠EAD＝90°，

∴∠CAH＝∠BDF，∵∠CHA＝∠BFD＝90°，

∴△CHA≌△BFD（AAS），

∴CH＝BF，AH＝DF，

∵CH∥BF，

∴四边形CHFB是平行四边形，

∵∠CHF＝90°，

∴四边形CHFB是矩形，

∴BC＝HF，

在Rt△ADB中，∵BD＝3，AB＝4，

∴AD＝＝5，

∵△DFB∽△DBA，

∴BD2＝DF•DA，

∴DF＝，

∴AH＝DF＝，

∴BC＝HF＝5﹣﹣＝．

5．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒lcm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）求t＝9时，△PEF的面积；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？

若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

解：

（1）∵EF∥OA，

∴∠BEF＝∠BOA

又∵∠B＝∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴＝，

当t＝9时，OE＝9，OA＝20，OB＝15，

∴EF＝＝8，

∴S△PEF＝EF•OE＝×8×9＝36（cm2）；

（2）∵△BEF∽△BOA，

∴EF＝＝＝（15﹣t），

∴×（15﹣t）×t＝40，

整理，得t2﹣15t+60＝0，

∵△＝152﹣4×1×60＜0，

∴方程没有实数根．

∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；

（3）当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，

∴＝，即＝，

解得t＝6；

当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，

∴＝，即＝，

解得t＝．

∴当t＝6或t＝时，△EOP与△BOA相似．

6．如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）发现问题：

在图①中，的值为　　．

（2）探究问题：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图②所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）解决问题：

正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H；若AG＝6，GH＝2，直接写出BC的长度．

解：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，∠B＝90°，

∵GE⊥BC，

∴AB∥GE，∠EGC＝∠ACB＝45°，

∴GC＝EC，

∵AB∥GE，

∴，

∴，

故答案为：

；

（2）AG＝BE

理由如下：

如图②，∵四边形ABCD，四边形GECF是正方形，

∴∠ACB＝45°，∠ECG＝45°，

∴∠BCE＝45°﹣∠ACE，∠ACG＝45°﹣∠ACE，

∴∠BCE＝∠ACG，

∵，＝，

∴，且∠BCE＝∠ACG，

∴△ACG∽△BCE，

∴，

即AG＝BE，

（3）如图③，过点H作HM⊥AG于点M，

∵四边形ABCD，四边形GECF是正方形，

∴∠DAC＝45°，∠CGF＝45°，

∴∠HGM＝45°，

∴△HMG为等腰直角三角形，

∴HM＝MG＝HG＝2，

∴AM＝AG﹣MG＝4，

∴在Rt△AMH中，

AH＝＝2，

∵∠DAC＝∠CGF＝∠AGH，且∠AHG＝∠AHG

∴△AHG∽△CHA

∴＝，

即＝，

∴AC＝3，

∴在Rt△ABC中，

BC＝AC＝3，

∴BC的长度为3．

7．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP．

（1）求证：

△ADE≌△CDF；

（2）求证：

△ADP∽△BDF；

（3）如图2，若PE＝BE，则的值是　　（直按写出结果即可）．

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠DAE＝∠BCD＝∠DCF＝90°，

∵AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS）．

（2）解：

作FH∥AB交AC的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠FCH＝45°，

∵AB∥FH，

∴∠HFC＝∠ABC＝90°，

∴∠FCH＝∠H＝45°，

∴CF＝FH＝AE，

∵∠PAE＝∠H，∠APE＝∠FPH，

∴△APE≌△HPF（AAS），

∴PE＝PF，

∵△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∠ADE＝∠CDF，

∴∠EFD＝∠ADC＝90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∵EP＝PF，

∴∠EDP＝∠FDP＝45°，

∵ADP＝∠ADE+∠PDE＝∠ADE+45°，∠BDP＝∠CDF+∠BDC＝∠CDF+45°，

∴∠ADP＝∠BDF，

∵∠DAP＝∠DBF＝45°，

∴△ADP∽△BDF．

（3）解：

如图2中，作PH⊥BC于H．

由

（2）可知：

PE＝PF，

∵BE＝PE，

∴EF＝2BE，

∵∠EBF＝90°，

∴sin∠EFB＝，

∴∠EFB＝30°，

∵PH⊥FH，∠PCH＝45°，

∴∠PHC＝90°，∠HPC