数与代数内容分析与建议.docx
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数与代数内容分析与建议
专题学习
数与代数内容分析与建议
数与代数部分是小学数学课程的重要内容。
在小学数学学习中占比例是最大的，更重要的是这部分学习内容是整个数学学习和学习其他的学科的基础，这部分内容主要包括数的认识、概念、数的运算、数量的估计等。
数的概念是学生认识和理解数的开始，数的运算伴随着数的形成与发展而不断丰富，从自然数逐步扩充到有理数，从自然数的四则运算扩展到了有理数的运算。
总之，小学是以数的运算为主，但在第二学段中也有正反比例的初步学习。
因此，对课程标准中数与代数内容的分析,可使教师了解小学阶段数与代数内容的本质与发展，从整体上把握相关概念和数的发展脉络，促使数与代数内容的教学设计和教学目标的实现。
专题一数与代数内容结构分析
《课程标准》较《课程标准实验稿》在“数与代数”部分，在内容结构上没有大的变化，小学第一学段是“数的认识、数的运算、常见的量、探索规律。
”第二学段是“数的认识、数的运算、式与方程、正比例和反比例、探索规律。
”按照课程标准的设计，数与代数在小学阶段的主要内容有数的认识，数的运算，常见的量，式与方程和正比例反比例及探索规律。
其中数的概念从自然数扩充到有理数，会使学生不断增加对数的理解和运用。
数的运算也伴随着数的形成与发展不断丰富，从最基本的自然数的四则运算，扩展到有理数的运算及正比例和反比例。
《课程标准》较《课程标准实验稿》在具体内容上略有修改，例如：
第一学段在数的认识中新增“知道用算盘可以表示多位数和能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小”，在数的运算中新增“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。
”第二学段内容虽然总的条目数没有变化，但具体的内容还是有一些重要的调整。
主要包括：
小数、分数、百分数，重点强调理解它们的意义及会进行小数、分数和百分数的转化。
在转化的过程中，学生必然要了解它们之间的关系，所以不再要求探索小数、分数和百分数之间的关系。
把养成估算的习惯，会口算百以内一位数乘、除两位数移至第一学段。
增加了“在具体情境中，了解常见的数量关系：
总价＝单价×数量、路程＝速度×时间，并能解决简单的实际问题。
”《课程标准》中增加这一要求，将为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。
小学阶段数与代数内容的具体结构如下。
1.数的形成---从量到数的抽象（自然数）
自然数形成包括两个方面，一是与生活密切相关的数字（0～9）的形成；二是计数单位（十百、千等）的建立。
（1）教字的形成。
自然数具有基数和序数的性质，基数是表示数量的多少，从一些动物具备多少的概念，可以判定人具备这种先天的“多与少”的概念，只是这种先天的概念比较薄弱，这种“多与少”的概念是在长期的生活与活动中逐渐培育并发展的。
如在人类生活的过程中，人们会根据事物数量的变化，逐一地创造出数字，从1开始，每次增加1个，将各个数字进行有序的排列，形成从小到大的排列，而且，相邻两个数之间可以通过添“1”的方法进行转换，便形成不同的用符号0，1，2，3，4.，5，6，7，8，9等数字表示的数。
（2）计数单位的产生。
计数单位的产生应该有两个阶段。
首先是自然形成阶段，“很多事情要从原本思考，想法要自然，要符合逻辑。
”计数单位的产生不是人类的主观臆造，而是与人类活动密切相关。
当人们通过添加“1”可以方便地进行事物数量转换的时候，就产生了自然数的基本单位“1”。
随着人类活动能力的不断增强，产生表示更多数量的需求，计数的方式就由“个的计数”进入到“群与个相结合的计数”。
人们自然就会对事物的“群体数量”进行约定。
在数的发展过程中，人们针对不同的生活事件和自然景象，这种群体数量的约定也逐渐多种多样的，例如：
有罗马的“5（V）”，有时间“60（分、时）”，有“24（天）”，有“12（月）”，还有“16（两）”……形成了多种多样的记数方法。
而在诸多的记数方法中，将10作为一个表示数的单位“十”，成为被人们普遍采用的方法。
“十进制”记数法是在“十”为单位的基础上，再形成“百”“千”“万”等单位，可以表示任意大的数。
2.数的表示：
数位与记数法
（l）多位数的表示。
在计数单位“十”的基础上，形成更大的计数单位。
九个“十”添加1个“十”就是“百”，九个“百”添加1个“百”就是“千”……十个“千”形成了一个新的计数单位“万”。
在我国记数方法中，把“万”又当作一个新的“单位一”，就可以获得一组新的计数单位“个（万）、十（万）、百（万）、千（万）”。
同理，当“千万”满十个的时候，再次作压缩处理，把十个“千万”形成的新的计数单位“亿”当作“一（个）”，又可获得一组新的计数单位“个（亿）、十（亿）、百（亿）、千（亿）”，……
（2）记数法的含义及刻画方式。
记数法主要是指提取与刻画事物数量信息的方法。
一般情况下，一种记数法应该包含提取数量信息的法则（俗称：
二进制、十进制等），以及分别用语言与符号刻画数量信息的法则（俗称：
读法与写法）。
例如：
“十进制记数法”提取数量信息的法则是“满十进一，四位一级”；用语言刻画数量信息的法则是“从高位读起，四位一级，每级按照个级的方法，在级尾给出级名，级首有零一定唱、级中有零一个算，级尾有零全不管”（不同的母语读数方法是不一样，英语采用三位一级）；用符号刻画数量信息的法则是“哪个数位上有几个计数单位就写‘几’，一个计数单位也没有就写‘0’。
”记数法的刻画方式。
在我国自然数的符号刻画方式有两种：
一是位值原则记数法（罗马数字是加减法则），即利用数位表进行计数，一个数字不仅有本身的值还有位置的值，平时见到的自然数都默认其对应于隐性的数位表，如：
98765432；二是科学记数法，将“位置值与自身值”以捆绑的形式来刻画数量信息，即写成不同的计数单位的数的和的形式，如：
98765432=9×107+8×106+7×105+6×104+5×103+4×102+3×101+2×100等。
3．数的扩充----分数和小数
（1）分数的扩充。
分数的扩充一般是由两种需要而产生的：
一是分东西的过程中，需要对一个物体进行切割与分配时，整体中的“部分”无法用自然数来表示，就需要有刻画“部分”的方式方法；二是计算过程中，2÷3＝？
无法用自然数表示计算的得数，就需要有刻画这类除法运算结构的方式。
如若将一张饼平均分成两部分，你获得了其中一部分，用数学语言刻画就是“部分与整体的关系”，即把一个单位（整体）平均分成两份，其中的一份（部分），就是1／2。
（2）小数的扩充。
小数产生的两个前提：
一是十进制记数法的使用；二是分数概念的完善。
小数的产生有两个动因：
一是十进制记数法扩展完善的需要；二是分数书写形式的优化改进。
小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。
我们现在的小数定义就是根据这种形式变换过程来定义的，将十进分数改写成不带分母形式的数就叫做小数。
其中小数与百分数，在形式上不同于分数，但是，它们都是从分数中分离出来的。
分数中分离出十进分数，将其改写成不带分母形式的数（按计数原则进行计数）就是小数；分数中分离出分母是100（10n，n≥l）的分数，将其改写成带有百分号（%）形式的数就是百分数（十分数、百分数、千分数、万分数……）。
其中，在小数部分新增加能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小，可让学生在小数初步认识中，就对小数的比较提出具体要求，可使学生能较准确把握有关小数的问题，也为后续的学习做准备，但这一学段只要求同分母的分数比较。
4.数的扩充---有理数
负数的产生。
“负数”是一个与“正数”的意义相反的数学概念，它的形成源于对生活中完全相反的事物数量的刻画。
如进与出、上与下、进与退等。
我国数学家刘徽在两千多年前就给出负数的定义及刻画方法，他说：
“今两算得失相反，要令正负以名之”“正算赤，负算黑，否则以斜正为异。
”我国古代数学专著《九章算术》中就提到了正负数加减法运算法则：
“同名相除（两个符号一致的数相减），异名相益（两个符号不一致的数相加），正无人负之，负无入正之；其异名相除（两个不同符号的数相减），同名相益（两个相同符号的数相加），正无人正之，负无人负之。
”
什么是有理数？
有理数就是一切形如m∕n（m，n∈Z，n≠0）的分数。
一切分数都可以化为有限小数或无限循环小数，因此，我们可以基于小数来定义有理数：
“有理数是有限小数或者无限循环小数（无理数是无限非循环小数）。
”
有理数的扩充过程，一般经历了自然数（零与正整数）集合（N）中添加负数形成整数集（Z），在整数集体中添加分数形成有理数集（Q）。
5．数的运算---四则运算的含义与运算律
数（自然数）是刻画一个集合中事物数量信息的符号，数的运算（整数四则运算）则是刻画多个集合中事物数量信息之间关系的符号（组合）。
（1）四则运算的形式及含义。
从数学发展的逻辑体系来看，加法运算是四则运算的基础，减法是加法的逆运算，乘法是一种特殊的加法，除法是乘法的逆运算。
首先要掌握加法的定义：
对于a，b∈N，规定运算a+b表示在a的后面增加b个的序数，如果这个序数为c，那么，称c为a与b的和。
求和的运算叫做加法，记作：
a+b＝c。
显然，加法运算满足封闭性、交换律、结合律。
其次，关于减法的定义，因为减法是加法的逆运算，所以减法是通过加法来定义的。
由于减法将出现负整数，因此，运算的集合需要从自然数集合（N）扩展到整数集合（Z），整数集合包合正整数、0、负整数。
对于a，x，b∈Z，如果a+x＝b，则称x为b减a的差，求差的运算叫做减法，记作：
b－a＝x。
显然，整数集对于减法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a+0=a，a+（-a）=0。
对于乘法的定义，由于乘法在本质上是一类特殊的加法，乘法是数自相加的缩写。
一般地，对于a，b∈N，规定乘法运算a·b表示a个b相加。
显然，乘法运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律。
对于除法的定义：
由于除法是乘法的逆运算，所以除法是通过乘法来定义的。
又由于除法将出现分数，因此运算的集合需要从整数集合（Z）扩展到有理数集合（Q）。
这样除法的定义为对于a，x，b∈Q，如果a·x＝b．则称x为a与b的商，求商的运算叫做除法，记作：
a∕b＝x或a÷b＝x。
显然，有理数集对于除法运算是封闭的，而且，存在着“相反数”与“单位元”，使得a×1＝a，a÷a＝1。
（2）运算定律。
加减乘除运算定律是指在运算过程中被事实所证明的四则运算变化发展的基本规律。
加法运算定律有加法交换律、加法结合律，乘法运算定律有乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
值得注意的是，在数的运算中增加了“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”这一内容，这样可使估算的要求更加具体、明确。
有助于清楚地认识和理解估算的价值与意义。
因为估算的内容是本次数学课程改革重点强调的内容之一。
而在实际教学中，教师对估算价值的理解，以及对估算内容的要求和应用仍然存在一些困惑。
这次修改强调了“选择适当的单位进行简单估算”，明确估算的重点一是要有具体的情境，二是在一个确定的情境中，注意要根据实际选择单位进行估算。
6.用字母表示数（式与方程）
用字母表示数是建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，为以后数学的学习奠定基础。
用字母表示数最先体现在第二学段的式与方程部分，因为方程是刻画数量关系的重要数学模型，研究方程是为了解决实际问题的需要而逐步形成和完善的数学知识和方法，有着极其广泛的应用，是代数的核心内容之一。
在第二学段，学生将学习方程的初步知识，如用方程表示简单情境中的等量关系（3x+2=5,2x－x=3），了解方程的作用，等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
在这一过程中，学生将掌握等量关系、方程、等式与方程的解等与方程有关的常识及解简单方程的方法。
对于方程作为刻画现实情境中数量关系，沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材，留下了初步的印象；进而通过解方程求得未知数的值，对实际问题作出合理解答，初步领会方程的意义。
因此，《课程标准》增加了“在具体情境中，了解常见的数量关系：
总价＝单价×数量、路程＝速度×时间，并能解决简单的实际问题。
”学生对这些常见数量关系的了解，特别是运用这些数量关系解决问题，是小学阶段问题解决的核心。
特别是“总价＝单价×数量、路程＝速度×时间”是小学阶段最常用的数量关系，多数实际问题都可以归结为这两类数量关系。
《课程标准》中增加这一要求，为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。
以前，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系，这实际上是用算术的思路求未知数。
这是利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，等到了中学还需要重新依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。
现在，根据《课程标准》的要求，在小学起就学习等式的基本性质，了解常见的数量关系，并以此为基础导出解方程的方法，不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。
7.正比例与反比例
在第二学段，将引入正比例与反比例，让学生初步认识对成正比例的量和成反比例的量，以及正比例关系和反比例关系的实质。
《课程标准》也规定了相关的学习内容与要求：
如在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题；能通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量；会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上面图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值；能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。
对成正比例的量和成反比例的量做了这样的表述：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x，y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：
y=kx（k一定）。
对成反比例的量做了这样的表述：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x，y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例关系可以用下面的式子表示：
x·y＝k（k一定）。
这两个定义都渗透了变量的含义，为在初中学段学习正比例函数和反比例函数提供了必要的保证。
专题二整数内容分析与教学建议
整数的认识分散安排在两个学段，主要内容在第一学段完成，第二学段重点梳理十进制记数法。
《课程标准》中与整数的认识有关的内容在第一学段要求如下。
·在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
·能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数（参见《课程标准》例1）。
·理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小（参见《课程标准》例2]。
·在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（参见《标准》例3）。
第二学段要求如下。
·在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制记数法，会用万、亿为单位表示大数。
·结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（参见《标准》例23）。
“万以内数的认识”。
它是整数认识的主要内容，学生认识数从“一”到“万”是一个完整的数级，包含了整数认识的所有要素，如数字的表示，数位，各个数位上数字所表示的值。
第一学段万以内数的认识在实际教学中分几个阶段完成，这里是对第一学段结束时对学生的要求。
在实际教学中，教师一般将万以内数的认识分为几个阶段来安排，较为普遍的安排方式是，“20以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识”，也可以在百以内数的认识后，安排一次千的认识。
在这几个阶段中，“20以内数的认识”是学生的认数、读数、写数的重要阶段，涉及几乎所有的整数认识中的要素，如数的抽象，数字的表示与书写，数位与相应的数值等。
“能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置”。
这部分内容教学重点在于使学生从数量抽象到数。
如从具体的2匹马、2棵树、2头牛、2个人，抽象为2这个数。
用一个数字（特殊的符号）来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。
反过来，这个2可以表示任何具有2这样数量特征的事物。
这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就要强调，直到认识较大的数。
学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。
而自然数的基本特征是后一个数比前一个大1，从具体的数量抽象出这数后，学生可能通过自然数的这一特征认识更大的数。
2后面加1就是3，再加1就是4。
在这个过程中，学生很自然地理解自然数的大小关系。
“理解各数位上的数字表示的意义”。
为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。
数位的含义是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。
让学生清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。
第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而理解十进制记数法。
我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。
“知道用算盘可以表示多位数”。
这是《课程标准》新增加内容，增加这一要求主要考虑中国文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学作用问题提出的建议。
由于算盘代表了中国传统文化，在相当长的一段时间内作为常用的运算工具，特别是随着现代科学技术的发展，计算机和计算器的广泛应用，算盘作为运算工具的功能虽然逐渐消失，但在算盘上表示数，具有直观形象、体现数位特征的特点。
因此，在学习整数时，让学生“知道用算盘可以表示多位数”，有利于学生对多位数的认识，也使学生进一步了解中国传统文化。
“理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小”。
数与数之间最重要的是大小关系，数的大小关系包括大于、小于和等于。
让学生了解数和数之间的关系，就是让学生可以用自然语言描述，也可以用符号语言描述了，而用符号语言描述具有一定的抽象性，是培养学生的符号意识的开始。
用符号“>”或“<”表述的是数量间的大小关系，学生在完成这个问题过程中，需要理解符号的含义，并能合理使用，这个过程可以帮助学生建立数感和符号意识。
例如：
将数50，98，38，10，51排序，用“>”或“<”表示。
学生将这些数排序，可能会有不同的排序方法。
如先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将5个数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；或者先固定一个数（如50），拿第二个数（98）与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将5个数排序。
因此，无论学生的出发点如何，只要思路清晰、排序正确即可。
需要注意的是用语言描述几个数之间的大小关系时，结论是相对的。
如可以说51比50大一些，98比10大得多；而50比38是大一些，还是大得多，可能会有不同看法，但不应当出现逻辑上的混乱，说出“50比10大一些，50比38大得多”的结果。
“感受大数意义和对大数进行估计”，在第一、第二学段都提出了要求。
第一学段是要求在生活情境中感受大数的意义，第二学段是要求在现实情境中感受大数的意义，本质是相同的，都是希望通过具体的情境让学生对大数加以感受，增加学生的数感。
感受大数与情境的具体内容有关，如1200张纸大约有多厚？
你的1200步大约有多长？
1200名学生站成做广播体操的队形需要多大的场地？
学生可以通过实际操作和观察，有时还要加入想象的成分，对大数有切身的感受。
对1200名学生站成做广播体操的队形需要多大场地，有些学校可能没有这么多学生，学生就需要先了解自己的学校有多少学生，占多大地方，再想象1200名学生站成做广播体操的队形会占多大地方。
而在对大数进行估计的时候，选择合适的单位很重要。
教室到学校体育馆有多远，就应当选用米作单位。
而从家到学校有多远，就要选择千米作单位。
太阳到地球的距离就要用光年作单位。
专题三数的认识内容分析与教学建议
小学阶段数的认识内容主要包括整数、小数、分数、百分数和负数的认识，以及与数的理解和数的特征有关的数整除性方面的内容。
对这部分内容的理解和把握重点在于数的概念形成的过程和数感的建立及两个学段相关内容的递进与衔接。
有关数的认识，《课程标准》在第一学段设计了7条内容，在第二学段设计了9条内容。
主要可以分为以下几个方面的内容：
整数的认识；分数、小数和百分数的认识；负数的认识；数的整除性相关的内容；数的简单应用。
1.整数的认识
整数的认识分散安排在两个学段，主要内容在第一学段完成，第二学段重点梳理十进制记数法。
《课程标准》中与整数的认识有关的内容在第一学段要求如下。
·在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
·能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数（参见《课程标准》例1）。
·理解符号<，＝，>的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小（参见《课程标准》例2]。
·在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（参见<标准》例3）。
第二学段要求如下。
·在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制记数法，会用万、亿为单位表示大数。
·结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（参见《标准》例23）。
“万以内数的认识”。
它是整数认识的主要内容，学生认识数从“一”到“万”是一个完整的数级，包含了整数认识的所有要素，如数字的表示，数位，各个数位上数字所表示的值。
第一学段万以内数的认识在实际教学中分几个阶段完成，这里是对第一学段结束时对学生的要求。
在实际教学中，教师一般将万以内数的认识分为几个阶段来安排，较为普遍的安排方式是，“20以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识”，也可以在百以内数的认识后，安排一次千的认识。
在这几个阶段中，“20以内数的认识”是学生的认数、读数、写数的重要阶段，涉及几乎所有的整数认识中的要素，如数的抽象，数字的表示与书写，数位与相应的数值等。
“能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置”。
这部分内容教学重点在于使学生从数量抽象到数。
如从具体的2匹马、2棵树、2头牛、2个人，抽象为2这个数。
用一个数字（特殊的符号）来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。
反过来，这个2可以表示任何具有2这样数量特征的事物。
这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就要强调，直到认识较大的数。
学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。
而自然数的基本特征是后一个数比前一个大1，从具体的数量抽象出这数后，学生可能通过自然数的这一特征认识更大的数。
2后面加1就是3，再加1就是4。
在这个过程中，学生很自然地理解自然数的大小关系。
“理解各数位上的数字表示的意义”。
为了表示更大的数，数位概念的建立是十分重要的。
数位的含义是不同位置上的数字表示不同大小的数，没有数位的规定就没有办法表示更大的数。
让学生清楚地了解，同样一个数字“3”，在个位上表示3个一；在十位上表示30，即3个十；在百位上表示300，即3个百。
第一学段完成整数万级的认识，第二学段认识万以上的数，进而理解十进制记数法。
我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。
“知道用算盘可以表示多位数”。
这是《课程标准》新增加内容，增加这一要求主要考虑中国文化的
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