中考第二轮复习中考数学难点第3讲 动态几何含答案.docx
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中考第二轮复习中考数学难点第3讲动态几何含答案
中考数学重难点专题讲座
第三讲动态几何问题
【前言】从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。
动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。
所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。
在这一讲,我们着重研究一下动态几何问题的解法,
第一部分真题精讲
【例1】如图,在梯形ABCD中,ADBC∥,3AD=,5DC=,10BC=,梯形的高为
4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时
从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t（秒.
C
M
B
（1当MNAB∥时,求t的值;
（2试探究:
t为何值时,MNC△为等腰三角形.
【思路分析1】本题题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。
但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB时,就变成了一个静止问题。
由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。
【解析】
解:
（1由题意知,当M、N运动到t秒时,如图①,过D作DEAB∥交BC于E点,则四边形ABED是平行四边形.
A
B
M
C
N
E
D
∵ABDE∥,ABMN∥.
∴DEMN∥.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题∴MCNC
ECCD
=.（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键∴
1021035tt-=-.解得50
17
t=.
【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。
具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】
（2分三种情况讨论:
①当MNNC=时,如图②作NFBC⊥交BC于F,则有2MCFC=即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质∵4
sin5DFCCD∠==,∴3cos5
C∠=
∴310225
t
t-=⨯,解得258
t=
.
AB
M
C
N
F
D
②当MNMC=时,如图③,过M作MHCD⊥于H.则2CNCH=,
∴（321025tt=-⨯.
∴6017
t=
.A
BM
C
NH
D
③当MCCN=时,则102tt-=.
10
3
t=
.综上所述,当258t=
、6017
或103时,MNC△为等腰三角形.【例2】在△ABC中,∠ACB=45º.点D（与点B、C不重合为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
（1如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.
（2如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.（1中结论是否成立,为什么?
（3若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC
=3=BC,CD=x,求线段CP的长.（用含x的式子表示
【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。
由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。
【解析】:
（1结论:
CF与BD位置关系是垂直;
证明如下:
AB=AC,∠ACB=45º,∴∠ABC=45º.由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90º,∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD.
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。
（2CF⊥BD.（1中结论成立.
理由是:
过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG可证:
△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。
分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
（3过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,①点D在线段BC上运动时,
∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4.∴DQ=4-x,易证△AQD∽△DCP,∴CPCDDQAQ=,∴44
CPxx=-,2
4
xCPx∴=-+.
②点D在线段BC延长线上运动时,
∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.过A作ACAG⊥交CB延长线于点G,
G
A
B
C
D
E
F
则ACFAGD∆≅∆.∴CF⊥BD,
∴△AQD∽△DCP,∴CPCD
DQAQ=,∴
44
CPx
x=+,2
4
xCPx∴=+.
【例3】已知如图,在梯形ABCD中,24ADBCADBC==∥,,,点M是AD的中点,MBC△是等边三角形.
（1求证:
梯形ABCD是等腰梯形;
（2动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且60MPQ=︒∠保持不变.设
PCxMQy==,,求y与x的函数关系式;
（3在（2中,当y取最小值时,判断PQC△的形状,并说明理由.
【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。
第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。
第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。
题目给定∠MPQ=60°,这个度数的意义在哪里?
其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?
当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】
（1证明:
∵MBC△是等边三角形∴60MBMCMBCMCB===︒,∠∠∵M是AD中点∴AMMD=∵ADBC∥
A
D
C
B
PM
Q
60°
∴60AMBMBC==︒∠∠,
60DMCMCB==︒∠∠
∴AMBDMC△≌△∴ABDC=
∴梯形ABCD是等腰梯形.
（2解:
在等边MBC△中,4MBMCBC===,
60MBCMCB==︒∠∠,60MPQ=︒∠
∴120BMPBPMBPMQPC+=+=︒∠∠∠∠（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩
∴BMPQPC=∠∠∴BMPCQP△∽△∴
PCCQ
BMBP
=∵PCxMQy==,∴44BPxQCy=-=-,∴
444xyx-=-∴2144
yxx=-+（设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。
由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。
接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC形状”的问题了。
由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。
（3解:
PQC△为直角三角形∵（2
1234
yx=
-+∴当y取最小值时,2xPC==
∴P是BC的中点,MPBC⊥,而60MPQ=︒∠,∴30CPQ=︒∠,∴90PQC=︒∠
以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例
如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。
如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。
当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?
接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD⊥交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EGCG,
.（1直接写出线段EG与CG的数量关系;
（2将图1中BEF∆绕B点逆时针旋转45︒,如图2所示,取DF中点G,连接EGCG,,.
你在（1中得到的结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
（3将图1中BEF∆绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问（1中的结论是否仍然成立?
（不要求证明
图3
图2
图1
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
G
F
E
DC
B
A
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。
从旋转45°到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。
第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。
第二问将△BEF旋转45°之后,很多考生就想不到思路了。
事实上,本题的核心条件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。
连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线。
于是两个全等的三角形出现了。
（1CGEG=
（2（1中结论没有发生变化,即CGEG=.
证明:
连接AG,过G点作MNAD⊥于M,与EF的延长线交于N点.在DAG∆与DCG∆中,
∵ADCDADGCDGDGDG=∠=∠=,
,∴DAGDCG∆∆≌.∴AGCG=.
在DMG∆与FNG∆中,
∵DGMFGNFGDGMDGNFG∠=∠=∠=∠,
,∴DMGFNG∆∆≌.∴MGNG=
在矩形AENM中,AMEN=在RtAMG∆与RtENG∆中,∵AMENMGNG==,
∴AMGENG∆∆≌.∴AGEG=.∴EGCG=
MN
图2
A
B
C
D
E
F
G
【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。
但是我们不应该止步于此。
将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果△BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?
如果题目要求证明,应该如何思考。
建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:
在△BEF的旋转过程中,始终不变的依然是G点是FD的中点。
可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡。
要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了。
（3（1中的结论仍然成立.
G
图3
F
E
A
B
C
D
【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B′处.
（1当
CEBE
=1时,CF=______cm,（2当CEBE
=2时,求sin∠DAB′的值;（3当CE
BE
=x时（点C与点E不重合,请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,（只要写出结论,不要解题过程.
【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折（就是轴对称也是一大热点。
这一题第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。
同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。
一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。
尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E在BC上和E在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。
【解析】
（1CF=6cm;（延长之后一眼看出,EAZY
（2①如图1,当点E在BC上时,延长AB′交DC于点M,∵AB∥CF,∴△ABE∽△FCE,∴FC
AB
CEBE.∵
CE
BE
=2,∴CF=3.∵AB∥CF,∴∠BAE=∠F.
又∠BAE=∠B′AE,∴∠B′AE=∠F.∴MA=MF.设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.在Rt△ADM中,由勾股定理得:
C
A
D
B
图1
k2=（9-k2+62,解得k=MA=132.∴DM=52
.（设元求解是这类题型中比较重要的方法
∴sin∠DAB′=
13
5
=AMDM;②如图2,当点E在BC延长线上时,延长AD交B′E于点N,
同①可得NA=NE.
设NA=NE=m,则B′N=12-m.在Rt△AB′N中,由勾股定理,得
m2=（12-m2+62,解得m=AN=
152
.∴B′N=9
2.∴sin∠DAB′=5
3='ANNB.
（3①当点E在BC上时,y=18x
x1
+;
（所求△AB′E的面积即为△ABE的面积,再由相似表示出边长②当点E在BC延长线上时,y=
18x18
x
-.【总结】通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式。
动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。
只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下:
第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。
针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论。
针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。
第二、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。
如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。
图2
第二部分发散思考
【思考1】已知:
如图（1,射线//AM射线BN,AB是它们的公垂线,点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合,E是AB边上的动点（点E与A、B不重合,在运动过程中始终保持ECDE⊥,且aABDEAD==+.（1求证:
ADE∆∽BEC∆;
（2如图（2,当点E为AB边的中点时,求证:
CDBCAD=+;
（3设mAE=,请探究:
BEC∆的周长是否与m值有关?
若有关,请用含有m的代数式表示BEC∆的周长;若无关,请说明理由.
第25题（1
第25题（2
【思路分析】本题动点较多,并且是以和的形式给出长度。
思考较为不易,但是图中有多个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。
第三问计算周长,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,看是否为定值,如果是关于M的函数,那么就是有关,如果是一个定值,那么就无关,于是就可以得出结论了。
【思考2】△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0︒<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,
（1当BP与BA重合时（如图1,∠BPD=°;（2当BP在∠ABC的内部时（如图2,求∠BPD的度数;
（3当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.
【思路分析】本题中,和动点P相关的动量有∠PBC,以及D点的位置,但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA,从这几条出发,可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。
事实上,P点的轨迹就是以B为圆心,BA为半径的一个圆,那D点是什么呢?
留给大家思考一下~
【思考3】如图:
已知,四边形ABCD中,AD//BC,DC⊥BC,已知AB=5,
BC=6,cosB=3
5
.点O为BC边上的一个动点,连结OD,以O为圆心,BO为半径的⊙O分别交边AB于点P,交线段OD于点M,交射线BC于点N,连结MN.（1当BO=AD时,求BP的长;
（2点O运动的过程中,是否存在BP=MN的情况?
若存在,请求出当BO为多长时BP=MN;若不存在,请说明理由;
（3在点O运动的过程中,以点C为圆心,CN为半径作⊙C,请直接写出当⊙C存在时,⊙O与⊙C的位置关系,以及相应的⊙C半径CN的取值范围。
【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。
在和圆有关的问题当中,时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。
本题第一问比较简单,等腰梯形中的计算问题。
第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨论他们的数量关系。
第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。
【思考4】在ABCD中,过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1（1在图1中画图探究:
①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合时,连结EP1绕点E逆时针旋转90得
AB
C
D
O
P
MNA
B
C
D
（备用图
到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系,并加以证明;
②当P2为线段DC的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.（2若AD=6,tanB=
4
3
AE=1,在①的条件下,设CP1=x,S11PFC=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
【思路分析】本题动点动线一起考出来,难倒了不少同学。
事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。
旋转90°自然就是垂直关系,于是又出现了一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了。
第二问一样是利用平行关系建立函数式,但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想,漏掉了很多种情况,失分非常可惜。
建议大家仔细研究这道中考原题,按照上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营的去解答。
第三部分思考题解析
【思考1解析】
（1证明:
∵ECDE⊥,∴︒=∠90DEC.∴︒=∠+∠90BECAED.又∵︒=∠=∠90BA,∴︒=∠+∠90EDAAED.∴EDABEC∠=∠.∴ADE∆∽BEC∆.（2证明:
如图,过点E作EFBC//,交CD于点F,
∵E是AB的中点,容易证明（2
1
BCADEF+=
.在DECRt∆中,∵CFDF=,∴CDEF2
1
=.
∴
（21BCAD+CD2
1
=.∴CDBCAD=+.
（3解:
AED∆的周长DEADAE++=ma+=,maBE-=.设xAD=,则xaDE-=.
∵︒=∠90A,∴222ADAEDE+=.即22222xmxaxa+=+-.
∴a
max22
2-=.
由（1知ADE∆∽BEC∆,
∴的周长的周长BEC∆∆ADEBEAD
=m
aa
ma--=
22
2ama2+=.∴BEC∆的周长⋅+=
m
aa
2ADE∆的周长a2=.∴BEC∆的周长与m值无关.
【思考2答案】
解:
（1∠BPD=30°;（2如图8,连结CD.
解一:
∵点D在∠PBC的平分线上,∴∠1=∠2.
∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC=AC,∠ACB=60°.∵BP=BA,∴BP=BC.∵BD=BD,∴△PBD≌△CBD.
∴∠BPD=∠3.-----------------3分∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,∴△BCD≌△ACD.
C
∴134302
ACB∠=∠=∠=︒.∴∠BPD=30°.解二:
∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC=AC.∵DB=DA,
∴CD垂直平分AB.∴1
34302
ACB∠=∠=∠=︒.∵BP=BA,∴BP=BC.
∵点D在∠PBC的平分线上,
∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.∴∠BPD=∠3.∴∠BPD=30°.（3∠BPD=30°或150°.图形见图9、图10.
【思考3解析】
解:
（1过点A作AE⊥BC,在Rt△ABE中,由AB=5,cosB=3
5
得BE=3.∵CD⊥BC,AD//BC,BC=6,
∴AD=EC=BC-BE=3.
当BO=AD=3时,在⊙O中,过点O作OH⊥AB,则BH=HP∵
cosBHBBO=,∴BH=39
355
⨯=.
∴BP=185．
（2）不存在BP=MN的情况假设BP=MN成立，∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC.过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB,∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC设BO=x，则PO=x,由∴BP=2BH=65x.BHx=cosB=35，得BH=35x,∴BQ=BP×cosB=18x，PQ=2425x．25187x=x．∴OQ=x-2525PQO
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