命题及教学.docx
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命题及教学
15.2判断与命题
15.2.1判断与数学判断
判断是对客观事物的一种认识,是对客观事物有所肯定或否定的思维形式,判断是概念与概念的联合。
数学判断是对空间形式和数量关系有所肯定或否定的思维形式。
例如,“正数都大于零”、“有些一元二次方程无实根”等都是数学判断。
判断有真有假。
如果一个判断能如实地反映客观事物,在质和量上都能正确地反映客观事物的真实性而无虚设,那么这个判断就是真判断,否则就是假判断。
上面提到的两个判断都是真判断。
而“所有的一元二次方程都有实根”却是一个假判断。
事实上,一元二次方程x2+1=0就没有实根。
判断的结构和种类是比较复杂的,在这里我们不作重点研究,只重点研究命题。
15.2.2数学命题及其结构
表达数学判断的语句或符号的组合称为数学命题。
例如,“等角的余角相等”、“5＜6”、“x2=0”、“a2-2ab+b2=（a-b）2”、“x＞1”、“△ABC∽△A′B′C′”等都是数学命题。
由于判断有真有假,所以命题也有真假之分。
总的来说,数学命题一般由条件（前提）和结论两部分组成。
条件是已知事项,结论是由条件推出的事项。
根据命题结构差异,往往把数学命题分为简单命题和复合命题。
15.2.3命题与复合命题
在逻辑里通常用p、q、r等表示命题,称为命题变量或命题变项。
命题变量只能取“真”、“假”二值。
常用“I”表示“真”,用“O”表示“假”。
若命题q是一个真命题,则说q的真值等于I,记作q=I;若命题P是一个假命题,则说P的真值等于0,记作P=0.
1、简单命题
简单命题就是不包含其它命题的命题。
简单命题可分为性质命题和关系命题两种。
（1）性质命题
就是断定某对象具有或不具有某种属性的命题。
例1①一切正方形都是平行四边形;
②分数都不是无理数;
③有些负数是整数;
④有些整式不是多项式。
性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。
主项表示判断的对象。
例1中的“正方形”、“分数”、“负数”、“整式”分别是四个命题的主项。
谓项表示主项具有或不具有性质。
例1中的“平行四边形”、“无理数”、“整数”、“多项式”分别是四个命题的谓项。
量项表示主项的数量,反映判断对象的量的差别。
表示对象全体的量叫做全称量项,常用“一切”、“所有”、“任意”、“任何”、“每一个”等全称量词来表示。
表示对象的一部分的量项叫做特称量项,常用“一些”、“有些”、“有的”、“至多”、“至少”、“存在”等存在量词来表示。
全称量项有时省略不写,如例1
（2）中的全称量项“所有”省略了。
联项表示主项和谓项之间的关系,反映对象的质的差别。
常用“不是”、“是”、“有”、“没有”等表示肯定或否定。
（2）关系命题
就是断定对象与对象之间的关系的命题。
例2①所有正数都大于零;
②直线a平行于直线b。
关系命题由主项、谓项和量项三部分组成。
主项又称关系项,是指存在某种关系的对象。
例2
（1）中的“正数”和“零”,例2
（2）中的“直线a”和“直线b”,分别是两个命题的主项。
其中,“正数”、“直线a”在前面,称为关系前项;“零”、“直线b”在后面,称为关系后项。
谓项又称为关系,就是指各个对象之间的某种关系。
例2中的“大于”、“平行”分别是两个命题的谓项。
量项表示主项的数量。
同性质命题一样,关系命题的量项也有全称、特称和单称三种。
每一个关系项,都是有量项的,例2
（1）用的是全称量词“所有”例2
（2）用的是单称量记号
“1”。
如果例2中的两个命题的两个主项用a、b表示,用R表示关系,那么两个命题就具有
一个共同的形式:
a与b有关系R,记作aRb。
2、复合命题
复合命题是由两个或两个以上的其它命题被逻辑连接词结合起来而构成的命题。
（1）逻辑连接词
常用的逻辑连接词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当五种。
第一,否定（非“
”）给定一个命题p,它与连接词“
”构成复合命题“非P”,记作
P。
若p为真,则
p为假。
若p为假,则
p为真,
p的真值表如表（15.1）。
表15.1
P
P
1
0
0
1
p称为p的否定式,也称为负命题。
例如,“
是无理数”是一个真命题,它的否定式为“
不是无理数”是一个假命题。
第二,合取（与、且“∧”连接起来,构成复合命题“p与q”,记作p∧q。
若p、q均为真,则p∧q为真;若p、q中至少有一个为假,则p∧q为假。
p∧q的真值表如表（15.2）。
表15.2
p
q
p∧q
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
p∧q称为p、q的合取式,p、q称为合取项。
命题p∧q也称为联言命题。
例如,命题“15是3的倍数”,是个真命题。
第三,析取（或“∨”）。
给定两个命题p、q,用“∨”连接起来,构成复合命题“p或q”,记作p∨q。
若p、q中至少有一个为真,则p∨q为真;若p、q均为假,则p∨q为假。
p∨q的真值表如表（15.3）。
表15.3
p
q
p∨q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
p∨q称为p、q的析取式,p、q称为析取项。
p∨q也称为选言命题。
例如,命题“3=3”和“3＞3”,前者为真命题,后者为假命题,其析取式为“3≥3”是一个真命题。
第四,蕴涵（若…则…“→”）。
给定两个命题p、q,用“→”连结起来，构成复合命题“若p则q”，记作p→q。
若p真q假,则p→q为假;在p、q的其余情况下,p→q均为真。
p→q的真值表如表（15.4）
表15.4
p
q
p→q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
p→q称为命题p、q的蕴涵式,p称为条件（或前件）,q称为结论（或后件）。
命题p→q也称为假言命题。
例如,命题“4被3整除”、“5被7整除”是两个假命题,其蕴涵式为“若4被3整除,则5被7整除”是个真命题。
第五,当且仅当（“
”）。
给定两个命题p、q,用“
”连接起来,构成复合命题“p当且仅当q”,记作p
q。
若p、q同真或同假,则p
q为真;否则,p
q为假,p
q的真值表如表（15.5）
表15.5
p
q
P
q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
p
q称为p、q的等值式,也称为充要条件假言命题。
例如,命题4＞3”是一个真命题,命题“5＜2”是一个假命题,其等值式为“4＞3
5＜2”是一个假命题。
否定式、合取式、析取式、蕴涵式、等值式是复合命题中最简单、最基本的形式,由这些基本形式,经过各种组合,可以得到更为复杂的复合命题。
为了省略括号,通常约定逻辑连接词
、∨、∧、→、
的结合力依次减弱。
例如,可以将（p∨q）→r记作p∨q→r。
（2）复合命题的真值
取决于它所包含的各个命题的真假及其复合方式。
根据复合命题各种基本形式的真值情况,可以确定一个复合命题在各种情况下的真值。
例3求复合命题p∧q的真值。
解依合取与否定的定义,有当p=1时,
P=0,所以p∧
P=0
例4求［（p→q）∧（q→r）］→（p→r）的真值。
解依蕴涵与合取的定义,有表（15.6）
表15.6
p
q
r
p→q
q→r
（p→q）∧（q→r）
（p→r）
（p→q）∧（q→r）→（p→r）
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
例3表明,无论p取什么值,p∧
P总是假的;例4表明,无论p、q、r取什么值［（p→q）∧（q→r）→（p→r）］总是真的。
在命题逻辑中,在任何情况下总是假的命题称为恒假命题;在任何情况下总是真的命题称为恒真命题（重言式）。
例3是恒假命题,例4是恒真命题。
恒真命题在逻辑上起着重要的作用。
如例4这一恒真命题,揭示了蕴涵的传递性,在形式逻辑中称为假言三段论定律。
（3）逻辑等价
如果两个复合命题M、S的真值完全相同,那么称M、S逻辑等价（或称M、S为等价命题）,记作M≡S。
逻辑等价的两个命题,在推理论证中可以互相代替。
在命题逻辑中,常用的等价式有:
①幂等律p∨p≡p;p∧p≡p
②交换律p∨q≡q∨p;p∧q≡q∧p
③结合律（p∨q）∨r≡p∨（q∨r）;（p∧q）∧r≡p∧（q∧r）
④分配律p∨（q∧r）≡（p∨q）∧（p
r）;p∧（q∨r）≡（p∧q）∨（p∧r）
⑤吸收律p∨（p∧q）≡p;p∧（p∨q）≡p
⑥德·摩根律
（p∨q）≡
p∧
q
（p∧q）≡
p∨q
⑦双否律
（
p）≡p
⑧么元律p∨O≡p;p∧I≡p
⑨极元律p∨I≡I;p∧O≡O
⑩互补律p∨
q≡I;p∧
p≡0
利用等价式可以将结构复杂的命题化简,也可以推证两个命题的等价关系。
例7试证p
q≡（p→q）∧（q→p）。
解依当且仅当、蕴涵、合取的定义,有表（15.7）。
表15.7
p
q
P
q
p→q
q→p
（p→q）∧（q→p）
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
由表1-8得,p
q≡（p→q）∧（q→p）。
在一定条件下,简单命题也可以用复合命题来表示。
例如,全称肯定命题SAp,其含义也可理解为:
“对于任何一个x（x表示对象）,如果x是S,则x是P”。
若用“
”表示全称量词,S（x）表示x是S,P（x）表示x是P,则SAP可表为
x［s（x）→p（x）］
类似的,全称否定命题SEP可表为
x［s（x）→
p（x）］
若用“
”表示存在量词则特称肯定命题SIP可表为
x［s（x）∧p（x）］
特称否定命题SOP可表为
x［s（x）∧
p（x）］
15.2.4命题的四种基本形式及关系
数学命题通常用蕴涵式“p→q”给出。
对于同一对象,可以作出四种形式的命题.
原命题p→q;
逆命题q→p;
否命题
p→
q;
逆否命题
q→
p
例如,以命题“对顶角相等”为原命题,把原命题的条件和结论交换,就得原命题的逆命题“相等的角为对顶角”；否定原命题的条件和结论，就得到原命题的否命题“非对顶角不相等”；否定原命题的条件和结论并交换位置,就得原命题的逆否命题“不相等的角非对顶角”。
从四种命题的表达形式,可以看出:
原命题和逆命题是互逆的,否命题和逆否命题也是互逆的;原命题和否命题是互否的,逆命题和逆否命题是互否的;原命题和逆否命题是互为逆否的,逆命题和否命题也是互为逆否的。
如果一个命题的条件（前提）和结论都是简单命题,那么它的逆命题、否命题和逆否命题都是容易确定的。
如果原命题的条件和结论都是复合命题,那么在制作它的三种命题时就比较复杂了,在这里不作详细研究。
四种命题的真假,有着一定的逻辑联系。
互为逆否的两个命题的真假性是一致的,同真或同假。
互为逆否的两个命题的同真同假的性质通常为逆否律（或叫做逆否命题的等效原理）。
用符号表示为
p→q≡
q→
p;q→p≡
p→
q。
互逆或互否的两个命题的真假性并非一致,可以同真,可以同假,也可以一真一假。
根据逆否律,对于互为逆否的两个命题,在判定其真假时,只要判定其中一个就可以了。
当直接证明原命题不易时,可以改证它的逆否命题,若逆否命题得证,也就间接地证明了原命题。
从欲证原命题,改证逆否命题这一逻辑思维方面来说,逆否律是间接证法的理论依据之一。
15.2.5同一原理
互逆的两个命题未必等价。
但是,当一个命题的条件和结论都唯一存在,它们所指的概念的外延完全相同,是同一概念时,这个命题和它的逆命题等价。
这一性质通常称为同一原理或同一法则。
例如,“等腰三角形底边上的中线是底边上的高线”是一个真命题,这个命题的条件“底边上的中线”有一条且只有一条,结论“底边上的高线”也是有一条且只有一条。
这就是说,命题的条件和结论都唯一存在。
由于这个命题为真,所以命题的条件和结论所指概念的外延完全相同,是同一概念。
因此,这个命题的逆命题“等腰三角形底边上的高线是底边上的中线”也必然为真。
同一原理是间接证法之一的同一法的逻辑根据。
对于符合同一原理的两个互逆命题,在判定其真假时,只要判定其中的一个就可以了。
在实际判定时,自然要选择易判定的那个命题。
15.2.6数学定理及其教学
1、公理、定理
（1）公理
人们经过长期实践证实了的不加逻辑证明而作为推证根据的原始命题称为公理。
如“两点确定一条直线”、“整体大于部分”、“不共线的三点确定一个平面”等都是数学公理。
从逻辑观点分析,公理也不是随意选定的,一个良好的公理系统应满足下列三项基本要求。
1）相容性是指在同一个公理系统中的公理彼此之间不能自相矛盾,由这些公理推出的一切结果也不能有丝毫的矛盾。
相容性通常称为无矛盾性。
2）独立性是指在同一个公理系统中所有公理彼此之间不能互相推出,也就是说,一个公理系统中任何一条公理,都不应该根据这一系统中的有关规定,由其它公理推出。
由公理独立性的要求,在一个公理系统中,公理的个数要尽量少些。
3）完备性是要求对公理系统中所有基本概念的性质,作出明确的规定,使得这个系统中的定理和公式,都能毫无例外地在本系统中被证明,而且推理证明过程无需再用直觉。
上述三项基本要求,相容性是主要的,因为一个公理系统如果违背了相容性的要求,那么这个公理系统中的公理作为推理的大前提,它所推出的结果必然是矛盾百出,造成逻辑上的混乱。
因此,这样的公理系统没有任何实际价值。
独立性和完备性是第二位的要求,对于一个严谨的公理系统,这两个要求也应得到满足。
但是,许多比较复杂的数学分支,要求它们的公理系统都能满足上述三项要求,也是有困难的。
（2）定理
用逻辑推理的方法证明是正确的命题叫做定理。
例如,“平行四边形的对角相等”、“三角形内角和等于180°”、“圆内接四边形的对角互补”等都是数学定理。
证明定理的根据是公理、定义和已证明过的定理。
定理的证明过程就是从定理的已知条件出发,运用已经学过的有关定义、公理、定理,最后推导出定理的结论。
由公理或定理比较容易地直接推出来的定理叫做推论或系。
2、定理的结构及分类
定理由条件和结论两部分组成。
用记号表为:
条件（题设或已知）
结论（题断或求证）。
定理分为简单定理和复合定理两大类。
（1）简单定理
条件和结论中所含事项都只有一个的定理称为简单定理。
例如,定理“同一个三角形中,大角对大边”中的条件和结论都只有一个,此定理是简单定理,用记号表为:
在△ABC中,∠B＞∠C
AC＞AB。
（2）复合定理
条件和结论中所含事项不只是一个的定理叫做复合定理。
例如,定理“等角的邻补角相等”中的条件有三个,结论有一个。
此定理是一个复合定理。
用记号表为:
∠AOB=∠A’O’B’
∠BOC+∠AOB=180°
∠BOC=∠B’O’C’
∠B’O’C’+∠A’O’B’=180°
3、逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么这个逆命题叫做该定理的逆定理。
怎样制作定理的逆定理呢?
我们分两种情况进行研究。
若一定理是简单定理,只要把该定理的条件和结论交换位置,可得到该定理的逆命题,再证明这个逆命题,如果它是正确的,那么这个逆命题就是原定理的逆定理。
若一个定理是复合定理,一般应在定理的条件和结论中各取出同样多的事项,进行交换就可得到该定理的逆命题,再证明这些逆命题,其中正确的便可作为原定理的逆定理。
那么,一个复合定理有多少个逆命题呢?
若一个复合定理的条件有m个事项,结论有n个事项,把定理写成下面的形式:
再把条件和结论从同样多的个数进行交换,就组成了该定理的逆命题。
这样组成逆命的数有
（个）其中，k=min（m,n）。
制作出来的逆命题,如果有些实质是相同的,那么就可以合并。
例如,复合定理“在直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半。
”用记号表为:
在△ABC中,
在这里,m=2,n=1,所以逆命题有
=2（个）
①△ABC中，
②△ABC中，
上面两个逆命题是否正确,请读者自证。
4、怎样进行数学定理、公式的教学
数学定理、公式的教学要求是:
首先应使学生认清定理、公式的条件和结论,然后掌握它的证明方法及应用,进一步要掌握定理或公式间的关系或推广,把所学知识加深巩固系统化,使学得的知识融会贯通,能灵活自如地应用定理、公式解决有关问题。
⑴明确定理、公式的条件和结论
中学数学教材中,有些定理的条件和结论叙述的比较清楚,学生容易接受。
也有些定理、公式的条件和结论写得比较简略,学生不易分清。
例如,定理“对顶角相等”用一句话写出了定理的条件和结论。
事实上,条件是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”。
教师要引导帮助学生分清条件和结论。
对定理、公式的内容可通过两种方式去认识:
一种方式是通过实践。
如“三角形内角和定理”,可通过剪纸的方法把三角形的三内角拼成一个平角或者通过对三内角的度量去认识。
又如“平行线的性质定理和判定定理”,可通过平行线的作图或角的度量去认识。
再如,“数的运算律”一般是通过计算结果去认识的。
对于这样的定理、公式的教学就可以让学生通过对实物进行观察、分析或者通过作图、计算去认识其内容,从而弄清定理、公式的条件和结论。
另一种方式通过理论推导。
例如,“正弦定理”、“韦达定理”、“等差数列的通项公式和前n项和公式”、“二项式定理”等都是通过理论推导加深认识的。
通常情况,教材中已列出所学的定理、公式,教师指导学生把教材中的定理、公式进行分析,指出它的条件和结论,同时指出它的背景及来龙去脉,也是常用的教学方法。
结合实际,在条件允许的情况下,让学生通过亲临其境去猜测,发现定理、公式所作出的判断,效果会更好。
（2）掌握定理、公式的证明方法
中学数学定理、公式的证明方法一般都是有代表性的,使学生掌握了这些有代表性的证明方法,对于提高学生的推理论证能力和解题能力会有很大帮助的。
为了使学生掌握定理、公式的证明方法,教师应着重分析、讲清证明的思路和方法。
例如,证明“相交弦定理”（圆的弦相交于圆内一点,各弦被这一交点分成的线段长的积相等）。
教师要引导学生进行分析,说明“积式”可转化为“比式”,根据此定理的特点,想到“比式”可由“相似三角形”来得到。
怎样才能得到相似三角形呢?
这就需要引辅助线,得到所需要的相似三角形。
证明的思路理清了,方法明确了,证明的过程就可以放手交给学生独立完成。
要强调学生一定要动手动脑,整理写出证明过程,要防止学生简单地走马观花地看一遍课本就完事的现象出现。
为此,教师一方面要认真检查课堂练习,另外也可让学生在黑板上板演或口述,要认真地有针对性地作好讲评。
又如,分析对数计算公式loga
=logaM-logaN（a＞0,a≠1）的证明思路和方法。
应着重指出:
解决对数的有关问题,一般是要通过指数去“架桥”,即把对数计算问题转化为指数计算问题来解决。
有了这样的思路,对设中间变量就不会感到疑惑不解了,设中间变量是证明的关键。
设
则
有
=
=
根据对数的定义得loga
=
即loga
=
在教学过程中要尽量把定理、公式的发现过程体现出来,证明的思路方法也往往能从一个生动的过程中受到启示,教学效果会更好些。
（3）掌握定理、公式的应用
掌握数学定理、公式的主要目的在于应用,重要定理、公式的应用往往十分广泛,有理论方面的应用,也有实际方面的应用。
通过例题、练习题、习题的教学可以使学生初步掌握所学定理、公式的应用。
但不应局限于此,还应该进一步地使学生掌握定理、公式在理论上和实际中的广泛应用。
还应该引导学生总结定理、公式的适用范围,明确应用时要注意的事项,归纳总结定理、公式所能解决问题的类型,充分发挥思维定势的积极作用。
但也要注意克服思维定势的消极作用，,最终要使学生能灵活熟练地应用定理、公式。
例如，韦达定理及其逆定理的作用。
韦达定理是代数中的重要定理,应用非常广泛。
除了在不同的学习阶段强调它的应用之外,还要归纳总结应用韦达定理能解决问题的类型,使学生做到心中有数,遇到有关类型问题时,学生能自觉地想到能否用韦达定理去解决。
韦达定理及其逆定理的应用归纳如下:
①直接解简单的一元二次方程;
②求解含有参数的一元二次方程;
③不解方程,求一元二次方程的两根的对称式的值（即两根和与两根积的值）;
④求作一元二次方程,使它的两根分别是已知的两个数;
⑤不解方程,判断一元二次方程的根的符号;
⑥已知两数和与积,求此两数;
⑦已知含参数的一元二次方程两根所满足的条件,求参数值或参数之间的关系。
通过归纳总结,帮助学生全面掌握韦达定理及其逆定理应用,熟悉它所能解答问题的特点,提高基本能力和解题能力。
例6设实数a、b、c满足
a2-bc-8a+7=0①
b2+c2+bc-6a+6=0②
求a的取值范围。
分析由b、c的对称性,可考虑应用韦达定理的逆定理,构造出以b、c为两根的一元二次方程,视a为参数,再根据方程有实根的条件,利用根的判别式获得解决。
解由①得bc=a2-8a+7
由②—①得（b+c）2=（a-1）2
即b+c=±（a-1）
所以,以b、c为根的一元二次方程为
x2
（a-1）x+a2-8a+7=0
由Δ=（a-1）2-4（a2-8a+7）≥0,得1≤a≤9
本题解法在中学数学解题中应用广泛。
此解法构思巧妙,简捷,值得重视。
同时还启迪我们应从特殊的解题技巧中,挖掘出具有应用价值的解题方法,收举一反三之效。
（4）认清定理、公式的内在联系
教材中的定理、公式不是孤立零散的知识,是一个有系统的知识体系。
认清定理、公式在数学知识体系中的地位作用,以及定理、公式之间的内在联系,可以加深对定理、公式的理解,有助于从总体上掌握定理、公式。
为此,讲授定理、公式时,应使学生了解每个定理、公式在数学知识体系中的来龙去脉,发生过程。
通过单元复习、每章复习、总复习,把所学的定理、公式进行“梳辫子”,整理成为系统的知识。
教师要有计划有目的让学生做好这方面的练习,对于系统地掌握数学知识是会有帮助的,同时也加强了对定理、公式的记忆。
例如,在三角函数的变换一章中,公式很多,给记忆公式带来一定的困难。
如果能掌握住它们的内在联系,那么不仅有利于灵活地运用公式,还有助于记忆公式。
另外,研究讨论一些定理、公式的推广,也是使学生认清定理、公式相互关系及培养学生抽象概括能力的好方法。
例如,勾股定理的推广及把两数和的平方公式推广到若干个数和平方的计算等。
15.3形式逻辑的基本规律
形式逻辑思维规律是人们在长期反复实践中总结提炼出来的。
在公元前4世纪,古希腊的大哲学家亚里斯多德就发现了正确思维必须遵守的三个规律:
同一律、矛盾律和排中律。
在17世纪末,德国的哲学家和数学家莱布尼兹又补充了一个充足理由律。
这四个规律是客观
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