大学物理课后习题答案第六章.docx
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大学物理课后习题答案第六章
第6章真空中的静电场习题及答案
1.电荷为q和2q的两个点电荷分别置于x1m和x1m处。
一试验电荷置于x
轴上何处，它受到的合力等于零？
解：
根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷q0位
于点电荷q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
2qq0qq0
22
故x322
2.电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。
试问：
（1）在这三角形
的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡
（即每个电荷受其他三个电荷
的库仑力之和都为零
）?
（2）
这种平衡与三角形的边长有无关系
?
解：
（1）
以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，
q为负电荷，所以
2
2
1
q2cos30
1
qq
4π0
a
4π0
（
3
2
a）
3
故q
3q
3
（2）与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为R、电荷线密度为
1的一个均匀带电圆环，
在其轴线上放一长为
l、电荷线密度为
2的均匀带电直线段，
该线段的一端处于圆环中心处。
求该直线段受到的
电场力。
解：
先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。
在带电圆环上取
dq1dl，dq在带
电圆环轴线上x处产生的场强大小为
dE
dq
y
40（x2
R2）
根据电荷分布的对称性知，Ey
Ez
0
1
R
2
1
xdq
O
x
dEx
dEcos
3
l
0（x2
4
R2）2
z
式中：
为dq到场点的连线与
x轴负向的夹角。
Ex
x
dq
0（x2
3
4
R2）
2
x
1
2R
1R
x
4
0（x2
3
20（x2
3
R2）2
R2）2
下面求直线段受到的电场力。
在直线段上取
dq
2dx，dq受到的电场力大小为
dFExdq
1
2R
x
dx
2
（x2
3
0
R2）2
方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
F
dF
1
2Rl
x
dx
2
0
（x2
3
R2）
2
0
1
2R
1
1
2
R
l2
R2
1/2
0
方向沿x轴正方向。
4.一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为
。
求：
（1）圆心处O点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处
O点场强。
解：
（1）在半圆环上取
dq
dl
Rd，它在O点产生场强大小为
dq
d
，方向沿半径向外
dE
4π0R2
4π0R
根据电荷分布的对称性知，
Ey
0
dExdEsinsind
4π0R
Ex
0
sind
4π0R
2π0R
故EEx
，方向沿x轴正向。
2π0R
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度
为零。
5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上
距杆的一端距离为d的P点的电场强度。
解：
建立图示坐标系。
在均匀带电细直杆上取
强大小为
dqdxqdx，dq在P点产生的场
L
dq
dx
，方向沿
x轴负方向。
dE
2
40x2
40x
故P点场强大小为
d
L
dx
q
P
EP
dE
O
d
4
0x
2
x
L
d
q
4
0dd
L
方向沿x轴负方向。
6.一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为
，求球心处电场强度的大小。
解：
建立图示坐标系。
将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，
应用场强叠加原理
求解。
在半球面上取宽度为
dl的细圆环，其带电量
dq
dS
2rdl
2R2sind，
dq在O点产生场
x
强大小为（参见教
材中均匀带电圆环
r
dl
轴线上的场强公式）
dE
xdq
0（x2
3
4
r2）2
O
，方向沿x轴负方
R
向
利用几何关系，
x
Rcos
，rRsin
统一积分变量，得
dE
xdq
3
40（x2
r2）2
4
1
Rcos
2R2sind
0
R3
sincosd
20
因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大
小为
E
dE
/2
0
sincosd
20
40
方向沿x轴负方向。
7.一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为
，如图所示。
试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：
应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为
一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为R的带电圆盘，由
场强叠加原理知，P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
σ
E1
，方向沿x轴正方向
20
半径为R、电荷面密度
的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆
盘轴线上的场强公式）
E2
（1
x
），方向沿x轴负方向
20
R2
x2
R
故P点的场强大小为
O
EE1
E2
x
R2
x2
20
方向沿x轴正方向。
8.
（1）点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一
个面的电场强度通量；
（2）如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少?
P
xx
解：
（1）由高斯定理EdS
q求解。
立方体六个面，当
q在立方体中心时，每个面
s
0
上电通量相等，所以通过各面电通量为
e
q
60
2
2a的立方体，使
q
处于边长2a的立方体中
（）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长
心，则通过边长
2a的正方形各面的电通量
q
e
60
对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则e
q
，如果它包含q所
24
0
在顶点，则e0。
9.两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为
1和2，试求空间各处场强。
1
2
E1
解：
如图所示，电荷面密度为1的平面产生的场强大小为
E
1
，方向垂直于该平面指向外侧
E2
2
0
电荷面密度为
2的平面产生的场强大小为
E
2
，方向垂直于该平面指向外侧
2
0
由场强叠加原理得
两面之间，
1面左侧，
2面右侧，
E
E1
E2
1
（
20
E
E1
E2
1
（
20
E
E1
E2
1
2
（
0
12），方向垂直于平面向右
12），方向垂直于平面向左
12），方向垂直于平面向右
10.如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1和R2，电荷均匀地分布在壳体内，电荷
体密度为（0）。
试求各区域的电场强度分布。
解：
电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。
由高斯定理
1
qi
EdS
得
S
0
E4r2
1
qi
0
当r
R1时，
qi
0，所以
E
0
当R1
rR2
时，
qi
（4
r34R1
3），所以
3
3
E
（r3
R1
3）
3
0r2
当r
R2时，qi
（4
R2
3
4
R1
3），所以
3
3
E
（R2
3
R13）
3
0r
2
11.
有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为
R1和R2（R2
R1），若大球面的
面电荷密度为
，且大球面外的电场强度为零。
求：
（1）小球面上的面电荷密度；
（2）大
球面内各点的电场强度。
解:
（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。
由高斯定理
EdS
1
qi
得
S
0
E4r2
1
qi
0
2时，E
0，
2
2
当
qi
4R2
4R1
0
，所以
rR
（R2）2
R1
（2）当r
R1时，
qi
0，所以
E
0
当R1
r
R2时，
qi
4R1
2
4R2
2，所以
E（R2）2
r
0
负号表示场强方向沿径向指向球心。
12.
一厚度为d的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为
，求板内
外的场强。
解：
电场分布具有面对称性，
取同轴闭合圆柱面为高斯面，
圆柱面与平板垂直，
设两底
面圆到平板中心的距离均为
x，底面圆的面积为
S
1
qi得
。
由高斯定理EdS
S
0
SEdS
1
E
S
E
S0
qi
0
当x
d
时（平板内部），
qi
2x
S，所以
2
x
E
0
当x
d（平板外部），qi
dS，所以
2
E
d
2
0
13.
半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为
，求其场强分布。
解：
电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为
l，底面圆半径
为r，应用高斯定理求解。
E
1
qi
dSE2πrl
S
0
（1）
当r
R时，
q
i
r2l，所以
E
r
20
（2）
当r
R时，
q
R2l，所以
i
E
R2
2
0r
14.一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心O点的电势。
解：
取半径为r、dr的细圆环dqdS2rdr，则dq在O点产生的电势为
dqdr
dV
40r20
圆盘中心O点的电势为
R
dr
R
VdV
20
20
0
15.真空中两个半径都为R的共轴圆环，相距为l。
两圆环均匀带电，电荷线密度分别
是
和。
取两环的轴线为
x轴，坐标原点O离两环中心的距离均为
l，如图所示。
求
2
x轴上任一点的电势。
设无穷远处为电势零点。
解：
在右边带电圆环上取
dq，它在x轴上任一点P产生的的电势为
dq
dV
l/2）2
R2
40（x
右边带电圆环在P产生的的电势为
V
dV
1
dq
40
（x
l/2）2
R2
R
2
0
（x
l/2）2
R2
同理，左边带电圆环在
P产生的电势为
V
R
2
（x
l/2）2
R2
0
由电势叠加原理知，
P的电势为
VV
V
R
1
1
）
（
（xl/2）2
R2
（xl/2）2
20
R2
16.真空中一半径为
R的球形区域内均匀分布着体电荷密度为
的正电荷，该区域内
a点离球心的距离为
1R，b点离球心的距离为
2R。
求a、b两点间的电势差Uab
3
3
解：
电场分布具有轴对称性，
以O为球心、作半径为r的同心球面为高斯面。
由高斯定
1
qi
理
EdS
得
S
0
当r
R时，E
4r2
1
4
r3，所以
0
3
E
r
30
a、b两点间的电势差为
b
2R/3
rdr
R
2
Uab
Edr
R/3
a
30
180
17．细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为a和3a，
两圆柱面间为真空。
电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U。
求：
（1）内圆柱面上单位长度所带的电量；
（2）在离轴线距离r2a处的电场强度大小。
解：
（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l，底面圆
半径为r，应用高斯定理求解。
EdSE2πrl
1
qi
S
0
内、外两圆柱面之间，qil，所以
E
20r
内、外两圆柱面之间的电势差为
3a3a
U
Edr
a2
dr
ln3
a
0r
20
内圆柱面上单位长度所带的电量为
20U
ln3
（2）将
代人场强大小的表达式得，
U
E
在离轴线距离r
2a处的电场强度大小为
rln3
E
U
2aln3
18.如图所示，在A，B两点处放有电量分别为
+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，
现将另一正试验点电荷
q0从O点经过半圆弧移到
C点，求移动过程中电场力作的功。
解：
O点的电势为
VO
q
q
0
4π0R
4π0R
C点的电势为
q
q
q
VC
6π0R
4π03R4π0R
电场力作的功为
Aq0（VO
VC）
qoq
6π0R
19．如图所示，均匀带电的细圆环半径为
R，所带电量为
Q（Q0
），圆环的圆心为
O，一质量为m，带电量为q（q0）的粒子位于圆环轴线上的
P点处，P点离O点的
距离为d。
求：
（1）粒子所受的电场力
F的大小和方向；
2
F
的作用下从
P点由静止开始沿轴线运动，
当粒子运动到无
（）该带电粒子在电场力
穷远处时的速度为多大？
解：
（1）均匀带电的细圆环在P点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
Ex
1
Qd
，方向沿OP向右
40（R2
d
3
2）2
粒子所受的电场力的大小
F
qEx
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