C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
[解析 ∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，
∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，
故PA＝PB＝PC.
[答案 C
5．（2017·贵阳监测）如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（ ）
A．AP⊥PB，AP⊥PC
B．AP⊥PB，BC⊥PB
C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC
D．AP⊥平面PBC
[解析 A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.
[答案 B
6.（2017·湖北孝感高中期中）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：
①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥NB1；③平面AMC1⊥平面CBA1.
其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
[解析 ①在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1.因为BC＝AC，所以B1C1＝A1C1.因为M为A1B1的中点，所以C1M⊥A1B1.因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1，所以C1M⊥平面ABB1A1.故①正确．②由①知，C1M⊥A1B，又因为AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以A1B⊥AM.因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AM∥NB1.因为A1B⊥AM，所以A1B⊥NB1.故②正确．③由②知A1B⊥平面AMC1，因为A1B⊂平面CBA1，所以平面AMC1⊥平面CBA1.故③正确．综上所述，正确结论的个数为3.故选D.
[答案 D
二、填空题
7.（2017·河北石家庄调研）如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
[解析 ∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
[答案 4
8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
[解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，就有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
[答案 DM⊥PC（或BM⊥PC等）
三、解答题
9．（2017·山东青岛质检）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
（1）求证：
EF⊥平面BCG；
（2）求三棱锥D－BCG的体积．
[解
（1）证明：
由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.
又G为AD的中点，所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
（2）在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BDC＝BC，AO⊂平面ABC，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝
，
所以VD－BCG＝VG－BCD＝
S△DBC·h＝
×
BD·BC·sin120°·
＝
.
10．（2017·云南省高中毕业班统一检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2a，AC＝2
a，E是PA的中点．
（1）求证：
平面BED⊥平面PAC；
（2）求点E到平面PBC的距离．
[解
（1）证明：
在平行四边形ABCD中，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.
∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.
又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BED，
∴平面BED⊥平面PAC.
（2）设AC交BD于点O，连接OE，如图．
在△PCA中，易知O为AC的中点，E为PA的中点，
∴EO∥PC.
∵PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，
∴EO∥平面PBC，
∴点O到平面PBC的距离就是点E到平面PBC的距离．
∵PC⊥平面ABCD，PC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABCD，交线为BC.
在平面ABCD内过点O作OH⊥BC于点H，则OH⊥平面PBC.
在Rt△BOC中，BC＝2a，OC＝
AC＝
a，
∴OB＝a.S△BOC＝
OC·OB＝
BC·OH，
∴OH＝
＝
＝
a.
∴点E到平面PBC的距离为
a.
[能力提升
11．空间四边形ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（ ）
A．AC，BD之一垂直B．AC，BD不一定垂直
C．AC，BD都不垂直D．AC，BD都垂直
[解析 连接BM，DM，AN，CN，在△ABC和△ACD中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝CA，故△ABC≌△CDA.又M为AC中点，∴BM＝DM.∵N为BD的中点，∴MN⊥BD.同理可证MN⊥AC，故选D.
[答案 D
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
[解析 ∵在四边形ABCD中，
AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，
∴BD⊥CD.
又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.
又AD⊥AB，CD∩AD＝D，
故AB⊥平面ADC.
∴平面ABC⊥平面ADC.故选D.
[答案 D
13．（2017·内蒙古包头一模）已知直线a，b，平面α，且满足a⊥α，b∥α，有下列四个命题：
①对任意直线c⊂α，有c⊥a；②存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥α；③对满足a⊂β的任意平面β，有β∥α；④存在平面β⊥α，使b⊥β.
其中正确的命题有________．（填序号）
[解析 因为a⊥α，所以a垂直于α内任一直线，所以①正确；由b∥α得α内存在一直线l与b平行，在α内作直线m⊥l，则m⊥b，m⊥a，再将m平移得到直线c，使c⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b⊥β，则由b∥α得α内存在一条直线l与b平行，必有l⊥β，即有α⊥β，而b⊥β的平面β有无数个，所以④正确．
[答案 ①②④
14．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________．
[解析 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝
＝
.
[答案
15．（2017·北京海淀区零模）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝
，E是侧棱PA上的动点．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：
PC∥平面BDE；
（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，是否都有BD⊥CE？
证明你的结论．
[解
（1）因为PA⊥平面ABCD，
所以VP－ABCD＝
S正方形ABCD·PA＝
×12×
＝
，
即四棱锥P－ABCD的体积为
.
（2）证明：
如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE.
因为四边形ABCD是正方形，所以O是AC的中点，
又E是PA的中点，所以PC∥OE，
因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
所以PC∥平面BDE.
（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.证明如下：
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，
又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.
因为不论点E在侧棱PA的任何位置，都有CE⊂平面PAC，
所以不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE.
16.（2017·全国卷Ⅰ）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
[解
（1）证明：
由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，又CD∩PD＝D，从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）如图所示，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.
由
（1）知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AD∩AB＝A，可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝
x，PE＝
x.
故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝
AB·AD·PE＝
x3.
由题设得
x3＝
，故x＝2.
从而AB＝DC＝PA＝PD＝2，AD＝BC＝2
，PB＝PC＝2
.
可得四棱锥P－ABCD的侧面积为
PA·PD＋
PA·AB＋
PD·DC＋
BC2·sin60°＝6＋2
.
[延伸拓展
（2018·山东青岛质检）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是正三角形，点D是BC的中点，BC＝BB1.
（1）求证：
A1C∥平面AB1D；
（2）试在棱CC1上找一点M，使得MB⊥AB1，并说明理由．
[解
（1）证明：
如图所示，连接A1B交AB1于点O，连接OD.
∵O，D分别是A1B，BC的中点，
∴A1C∥OD.∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.
（2）M为CC1的中点．理由如下：
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，
∴四边形BCC1B1是正方形．
∵M为CC1的中点，D是BC的中点，
∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM.
又∵∠BB1D＋∠BDB1＝
，
∴∠CBM＋∠BDB1＝
，∴BM⊥B1D.
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.
∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM.
∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D.
∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1.
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