181平行四边形的边角对角线的性质 2.docx

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181平行四边形的边角对角线的性质2

18.1　平行四边形 

　1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.

　2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.

　3.掌握三角形的中位线的概念和定理.

　1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.

　2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.

　通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.

　让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.

　【重点】　平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.

　【难点】　平行四边形的判定与性质定理的综合运用.

18.1.1　平行四边形的性质 

　1.理解平行四边形的概念.

　2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.

　3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.

　通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.

　让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.

　【重点】　平行四边形的概念和性质的探索.

　【难点】　平行四边形性质的运用.

第课时 

　1.理解平行四边形的定义及有关概念.

　2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.

　3.了解平行线间距离的概念.

　1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.

　2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.

　3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.

　在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.

　【重点】　平行四边形边、角的性质探索和证明.

　【难点】　如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.

　【教师准备】　教学中出示的教学插图和例题的投影图片.

　【学生准备】　方格纸,量角器,刻度尺.

导入一:

　　[过渡语]　前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.

　我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?

　学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.

　本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.

　[设计意图]　通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.

导入二:

　（出示本章农田鸟瞰图）

　观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?

　学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象——平行四边形.

　　[过渡语]　下面我们来认识特殊的四边形——平行四边形.

　[设计意图]　以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.

　1.平行四边形的定义

　思路一

　提问:

你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?

　教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:

既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.

　追问:

平行四边形如何好记好读呢?

　画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.

　平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.

　如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.

　对边:

AD与BC,AB与DC;对角:

∠A与∠C,∠B与∠D.

　进一步引导学生总结:

四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.

　[设计意图]　给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.

　思路二

　请举出你身边存在的平行四边形的例子.

　学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……

　教师点评,画出图形,如右图所示.

　提问:

（1）你能说出平行四边形的定义吗?

（2）你能表示平行四边形吗?

　（3）你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?

　学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:

（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:

①是一个四边形;②两组对边分别平行.

（2）指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.

　（3）作为性质:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.

　作为判定:

∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.

　[设计意图]　学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:

两组对边分别平行.

　2.平行四边形边、角的性质

　思路一

　　[过渡语]　同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么?

　一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:

先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:

性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.

　提问:

平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?

　教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.

　猜想1:

四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.

　猜想2:

四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.

　追问:

你能证明这些结论吗?

　学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.

　∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,

　∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,

　∴∠B=∠D.

　同理可得∠A=∠C.

　在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.

　　[过渡语]　我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.

　学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.

　证明:

连接AC.

　∵AD∥BC,AB∥CD,

　∴∠1=∠2,∠3=∠4.

　又AC是△ABC和△CDA的公共边,

　∴△ABC≌△CDA.

　∴AD=CB,AB=CD.

　∠B=∠D.

　∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,

　∠1+∠4=∠2+∠3,

　∴∠BAD=∠DCB.

　引导学生归纳平行四边形的性质:

　平行四边形的对边相等;

　平行四边形的对角相等.

　追问:

通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?

　教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:

　∵四边形ABCD是平行四边形（已知）,

　∴AB=CD,AD=BC（平行四边形的对边相等）,

　∠A=∠C,∠B=∠D（平行四边形的对角相等）.

　[设计意图]　让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.

　[知识拓展]　

（1）运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.

（2）四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.

　　（教材例1）如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.

　引导学生分析:

要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.

　证明:

∵四边形ABCD是平行四边形,

　∴∠A=∠C,AD=CB.

　又∠AED=∠CFB=90°,

　∴△ADE≌△CBF.

　∴AE=CF.

　[设计意图]　应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.

　思路二

　1.提问:

根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?

度量一下,是不是和你的猜想一致?

AB=　　 BC=　　 CD=　　 AD=　　 猜想:

∠A=　　 ∠B=　　 ∠C=　　 ∠D=　　 猜想:

　小组合作完成,交流自己的猜想.

　教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:

　平行四边形的对边相等;

　平行四边形的对角相等.

　2.你能证明你发现的上述结论吗?

　已知:

如图

（1）所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.

　求证:

（1）AD=BC,AB=CD;

（2）∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.

　小组讨论,发现:

需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.

　证明:

（1）连接AC,如图

（2）所示.

　∵AD∥BC,AB∥CD,

　∴∠1=∠2,∠3=∠4.

　又AC是△ABC和△CDA的公共边,

　∴△ABC≌△CDA.

　∴AD=CB,AB=CD.

（2）∵△ABC≌△CDA（已证）,

　∴∠B=∠D.

　∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,

　∠1+∠4=∠2+∠3,

　∴∠BAD=∠DCB.

　一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.

　∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,

　∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,

　∴∠B=∠D.

　同理可得∠BAD=∠DCB.

　教师根据学生的证明情况进行评价、总结.

　证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?

一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.

　引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.

　∵四边形ABCD是平行四边形（已知）,

　∴AB=CD,AD=BC（平行四边形的对边相等）,

　∠A=∠C,∠B=∠D（平行四边形的对角相等）.

　　（补充）如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.

（1）请你说出图中的相等的角、相等的线段;

（2）对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?

　学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.

　因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.

　教师根据学生回答,板书有关正确的结论.

　解决第

（2）个问题时,学生思考、交流、讨论得出:

只要添加AC平分∠DAB即可.

　说明理由:

因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.

　[设计意图]　学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.

　3.平行线间的距离

　　[过渡语]　距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢?

　思路一

　提问:

在教材的例1中,DE=BF吗?

　学生思考,都容易发现:

由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.

　追问:

如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC相等吗?

为什么?

　学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.

　教师引导归纳:

如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.

　两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.

　学生结合图指出:

a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.

　教师点评,并强调:

任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.

　[设计意图]　结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.

　思路二

　请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.

　老师边看边指导学生画图.

　追问:

请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?

　学生发现:

平行线间的所有垂线段的长度相等.

　教师引导归纳:

如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.

　两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.

　如右图所示,用符号语言表述为:

　∵l1∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,

　∴AB=CD.

　教师进一步强调:

两平行线l1,l2之间的距离是指什么?

指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1,l2间的距离.

　引导学生归纳:

两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.

　两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.

　l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.

　追问:

如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?

　教师引导学生思考:

（出示教材第43页图18.1-5）如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:

两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

　[设计意图]　借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.

　[知识拓展]　

（1）当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.

（2）平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.

　4.例题讲解

　　（补充）在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.

　引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.

　〔解析〕　本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.

　解:

在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.

　设BC边上的高为AE.

（1）若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,

　在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,

　根据勾股定理,得:

　BE====3;

　在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,

　根据勾股定理,得:

　CE====2.

　∴BC=BE+CE=3+2=5.

　∴▱ABCD的周长为2×（5+5）=20.

（2）若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,

　同理可得BE=3,CE=2,

　∴BC=BE-CE=3-2=1,

　∴▱ABCD的周长为2×（5+1）=12.

　综上,▱ABCD的周长为20或12.

　[解题策略]　本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.

　本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.

　平行四边形的定义:

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

　平行四边形的性质:

平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.

　平行线间的距离:

两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.

　平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

　1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是　　（　　）

　A.100°　　　B.160°　　　C.80°　　　D.60°

　解析:

∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.

　2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为　　（　　）

　A.6　　B.7　　C.8　　D.9

　解析:

图中的平行四边形有:

平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.

　3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为　　（　　）

　A.4　　B.3　　C.　　D.2

　解析:

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.

　4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是　　　　. 

　解析:

∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.

　5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.

（1）求∠EDF的度数;

（2）若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.

　解:

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°.　

（2）在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为2×（8+14）=44.

　第1课时

　1.平行四边形的定义

　2.平行四边形边、角的性质

　例1　例2

　3.平行线间的距离

　4.例题讲解

　例3

一、教材作业

【必做题】

　教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.

【选做题】

　教材第50页习题18.1第8题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于　　（　　）

A.110°　　　B.30°　　　C.50°　　　D.70°

2.如图所示,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1于点A,DC⊥l2于点C,有下面的四个结论;

（1）AB=DC;

（2）BE=CF;（3）S△ABE=S△DCF;（4）S四边形ABCD=S四边形BCFE.其中正确的有　　（　　）

A.4个　　B.3个　　C.2个　　D.1个

3.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD,BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD的周长为　　（　　）

A.5　　B.7　　C.10　　D.14

4.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为　　（　　）

A.2　　B.4　　C.4　　D.8

5.如图所示,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为　　　　. 

【能力提升】

6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是（0,0）,（3,0）,（4,2）,则顶点D的坐标为　　　　. 

7.如图所示,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是　　　　. 

8.（2015•自贡中考）在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H.求证CH=EH.

9.如图所示,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F.

（1）请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;

（2）若BE=2cm,求平行线AB与CD之间的距离.

10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,交其延长线于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=30°,AE=4cm,AF=3cm,求平行四边形ABCD的周长.

11.如图所示,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC,CE,AB=AC.

（1）求证△BAD≌△ACE;

（2）若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.

【拓展探究】

12.如图所示,点E,F分别在平行四边形ABCD的边DC,CB上,且AE=AF,DG⊥AF,BH⊥AE,G,H是垂足.求证DG=BH.

【答案与解析】

1.D（解析:

由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由邻补角的性质得出∠FDC=70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.）

2.A（解析:

∵l1∥l2,BA⊥l1于点A,DC⊥l2于点C,∴AB=CD,故

（1）正确;∵l1∥l2,BE∥CF,∴BE=CF,故

（2）正确;根据HL可以证明Rt△ABE≌Rt△DCF,因此,S△ABE=S△DCF,故（3）正确;四边形ABCD与四边形BCFE是同底等高的两个平行四边形,∴S四边形ABCD=S四边形BCFE,故（4）正确.故选A.）

3.D（解析:

∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠F=∠CBF,∠FDE=∠C.∵E为CD的中点,∴DE=CE,∴△F