数学实验.docx
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数学实验
中国矿业大学理学院
数学实验报告
实验五、实验十六
班级：
姓名：
学号：
任课教师：
[选取日期]
实验任务五
用MATLAB软件求解下列各题：
1、
解输入命令：
>>A=[343;1-43;669];
>>B=[272;58-4;369];
>>A'
ans=
316
4-46
339
>>A+B
ans=
5115
64-1
91218
>>2*A-3*B
ans=
0-130
-13-3218
3-6-9
2、
解输入命令：
>>A=[323;2-53;3-49];
>>B=[82;-5-6;910];
>>A*B
ans=
4124
6864
125120
3、
解输入命令：
>>A=[344;221;122];
>>inv（A）
ans=
1.00000-2.0000
-1.50001.00002.5000
1.0000-1.0000-1.0000
>>det（A）
ans=
2
4、
解输入命令：
>>A=[-120;-230;302];
>>[vd]=eig（A）
v=
00.30150.3015
00.30150.3015
1.0000-0.9045-0.9045
d=
200
010
001
其中d的对角元素分别为三个特征值，v三个列向量表示与三个特征值对应的三个特征向量。
5、下列向量组是否线性相关，如线性相关，求一个最大线性无关组，并将其它向量线性表示。
。
解将向量组中向量按列向量排成矩阵并用命令rref化简。
输入命令：
>>A=[1123;1-111;1335;4-256;1335];
>>A=A';
>>formatrat;
>>rref（A）
ans=
10212
01-13-1
00000
00000
矩阵ans秩为2，所以向量组线性相关，最简矩阵前两列向量线性无关，所以对应的原矩阵A的前两个行向量线性无关，即原向量组中一个线性无关组为
矩阵ans中第三、四、五列中分别有两个非零元素，可将
，
和
线性表示为
，
和
6、解方程组
解输入命令：
>>A=[1-14-2;1-2-12;317-2;1-3-126];
>>formatrat;
>>B=null（A,'r'）
B=
Emptymatrix:
4-by-0
>>rank（A）
ans=
4
因该方程组的秩为4，故方程组无解。
7、解方程组
解输入命令：
>>A=[1-23-1;3-15-3;212-2];
>>b=[123]';
>>[L,U]=lu（A）;
>>formatrat;
>>x0=U\（L\b）;
Warning:
Rankdeficient,rank=2,tol=1.990161e-15.
>>c=null（A,'r'）
c=
-7/51
4/50
10
01
>>symsk1k2;
>>X=k1*c（:
1）+k2*c（:
2）+x0
X=
[k2-（7*k1）/5]
[（4*k1）/5+1/7]
[k1+3/7]
[k2]
方程的通解
8、求一个正交变换，将二次型
化为标准型。
解输入命令：
>>A=ones（4,4）;
>>[UT]=eig（A）
U=
596/70491095/2222985/13931/2
596/70491095/2222-985/13931/2
-1198/1533-789/211401/2
1079/1762-1079/176201/2
T=
*000
0*00
0000
0004
令X=UY，则
由矩阵U可得变量之间的关系为
实验任务十六
1、某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：
第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组，11~15岁。
动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。
第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。
假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，试用线性代数等有关知识建立数学模型求解15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？
解：
分析与建模
因为年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年。
15年后就经过了3个时间周期。
设
表示第K个时间周期第i组年龄阶段动物的数量（K=1，2，
3；i=1，2，3）。
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组的动物的数量
是由上一时间周期上一年龄组存活下来的动物的数量，所以有
又因为某一时间周期,第一年龄组的动物数量是由上一时间周期各个年龄组出
生的动物的数量,所以有
于是我们得到递推关系式:
用矩阵表示
即
其中
三、计算过程
操作过程
健入
L={{0,4,3},{1/2,0,0},{0,1/4,0}};
X0={1000,1000,1000};
X1=L.X0;
X2=L.X1;
X3=L.X2;
“X3=”MtrixFrom@3D
计算结果
输出
四、结果分析
15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中，0岁—5岁的有14375
头，占86.47%,6岁—10岁的有1375头，占8.27%,11岁—15岁的有875头，占5.226%.15年间,动物总增长16625-3000=13625头,总增长率13625/3000=454.16%.
2、Inter-Trade公司由中国大陆、菲律宾购买无商标的纺织品，运到香港或台湾地区进行封装和标签后，再运到美国和法国销售。
已知两地间的运费如下（美元/吨）：
中国大陆
菲律宾
美国
法国
香港地区
55
72
160
190
台湾地区
67
58
150
210
现Inter-Trade公司从中国大陆和菲律宾分别购得90吨和45吨无标品。
假设封装与标签不改变纺织品的重量，台湾只有封装和标签65吨的能力，
A.若美国市场需要有标品80吨，法国市场需要有标品55吨，试给该公司制订一个运费最少的运输方案。
B.若美国市场的需求量增至100吨，法国市场的需求量增至60吨，已知美国市场和法国市场的基本售价分别为每吨4000美元和6000美元，而当供应量不能满足需求时，其售价为基本售价加上短缺费用，设短缺费用为每吨2000美元乘以k，其中k为当地短缺量（市场需求量减去供应量）占市场需求量的比例。
试为该公司制订一个盈利最大的运输方案，并给出盈利额（假设从中国大陆和菲律宾购买无标品的价格均为2000美元/吨，在香港和台湾地区封装和标签的费用均为500美元/吨）。
解：
A：
决策变量：
大陆-香港-美国：
x111；大陆-香港-法国：
x112
大陆-台湾-美国：
x121；大陆-台湾-法国：
x122
菲律宾-香港-美国：
x211；菲律宾-香港-法国：
x212
菲律宾-台湾-美国：
x221；菲律宾-台湾-法国：
x222
目标函数：
Z=（55+160）*x111+（55+190）*x112+（67+150）*x121+（67+210）*x122+（72+160）*x211+（72+190）*x212+（58+150）*x221+（58+210）*x222
约束条件：
x111+x112+x121+x122=90
x211+x212+x221+x222=45
x111+x121+x211+x221=80
x112+x122+x212+x222=55
x121+x122+x221+x222≤65
基本模型：
min（z）=（55+160）*x111+（55+190）*x112+（67+150）*x121+（67+210）*x122+（72+160）*x211+（72+190）*x212+（58+150）*x221+（58+210）*x222
s.t.x111+x112+x121+x122=90
x211+x212+x221+x222=45
x111+x121+x211+x221=80
x112+x122+x212+x222=55
x121+x122+x221+x222≤65
x111,x112,x121,x122,x211,x212,x221,x222
0
c=[215245217277232262208268];
A1=[00110011];
A2=[11110000;
00001111;
10101010;
01010101];
b1=[65];
b2=[90;45;80;55];
v1=[00000000];
[x,z,ef,out,lag]=linprog（c,A1,b1,A2,b2,v1）
输出结果：
x=
35.0000
55.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
45.0000
0.0000
z=
3.0360e+004
优化方案：
大陆-香港-美国：
35；大陆-香港-法国：
55
大陆-台湾-美国：
0；大陆-台湾-法国：
0
菲律宾-香港-美国：
0；菲律宾-香港-法国：
0
菲律宾-台湾-美国：
45；菲律宾-台湾-法国：
0
最小运费：
30360美元；
B：
显然，最大盈利量是在两地销售时均不供过于求时取得的。
决策变量：
大陆-香港-美国：
x111；大陆-香港-法国：
x112
大陆-台湾-美国：
x121；大陆-台湾-法国：
x122
菲律宾-香港-美国：
x211；菲律宾-香港-法国：
x212
菲律宾-台湾-美国：
x221；菲律宾-台湾-法国：
x222
目标函数：
Y=
（4000+2000*（100-x111-x121-x211-x221）/100）*（x111+x121+x211+x221）+
（6000+2000*（60-x112-x122-x212-x222）/60）*（x112+x122+x212+x222）-（2000+500）*（x111+x112+x121+x122+x211+x212+x221+x222）-（（55+160）*x111+（55+190）*x112+（67+150）*x121+（67+210）*x122+（72+160）*x211+（72+190）*x212+（58+150）*x221+（58+210）*x222）
=
（4000+20*（100-x111-x121-x211-x221））*（x111+x121+x211+x221）+（6000+200*（60-x112-x122-x212-x222）/6）*（x112+x122+x212+x222）-（215*x111+245*x112+217*x121+277*x122+232*x211+262*x212+208*x221+268*x222）-337500
约束条件：
x111+x112+x121+x122=90
x211+x212+x221+x222=45
x111+x121+x211+x221≤100
x112+x122+x212+x222≤60
x121+x122+x221+x222≤65
基本模型：
max（y）=（4000+20*（100-x
（1）-x（3）-x（5）-x（7）））*（x
（1）+x（3）+x（5）+x（7））+（6000+200*（60-x
（2）-x（4）-x（6）-x（8））/6）*（x
（2）+x（4）+x（6）+x（8））-（215*x
（1）+245*x
（2）+217*x（3）+
277*x（4）+232*x（5）+262*x（6）+208*x（7）+268*x（8））-337500
s.t.x
（1）+x
（2）+x（3）+x（4）=90
x（5）+x（6）+x（7）+x（8）=45
x
（1）+x（3）+x（5）+x（7）≤100
x
（2）+x（4）+x（6）+x（8）≤60
x（3）+x（4）+x（7）+x（8）≤65
x
（1）,x
（2）,x（3）,x（4）,x（5）,x（6）,x（7）,x（8）
0
优化程序（非线性）：
functiony=max（x）
y=-（（4000+20*（100-x
（1）-x（3）-x（5）-x（7）））*（x
（1）+x（3）+x（5）+x（7））+（6000+200*（60-x
（2）-x（4）-x（6）-x（8））/6）*（x
（2）+x（4）+x（6）+x（8））-（215*x
（1）+245*x
（2）+217*x（3）+
277*x（4）+232*x（5）+262*x（6）+208*x（7）+268*x（8））-337500）
x0=[1010101010101010];
A1=[00110011;
10101010;
01010101];
A2=[11110000;
00001111];
b1=[6510060];
b2=[9045];
v1=[00000000];
[x,z,ef,out,lag]=fmincon（@max1,x0,A1,b1,A2,b2,v1）
输出结果：
x=
30.000060.000000.0000-0.00000.000045.00000.0000
z=
-329490
优化方案：
大陆-香港-美国：
30；大陆-香港-法国：
60
大陆-台湾-美国：
0；大陆-台湾-法国：
0
菲律宾-香港-美国：
0；菲律宾-香港-法国：
0
菲律宾-台湾-美国：
45；菲律宾-台湾-法国：
0
最大盈利：
329490美元.
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