理论力学题库第二章.docx
《理论力学题库第二章.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学题库第二章.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
理论力学题库第二章
理论力学题库一一第二章
一、填空题
1.对于一个有“个质点构成的质点系，质量分别为加〕，加2,加3,…叫，…加“，位置矢量分别
为，“，£,•”，,则质心c的位矢为。
2.质点系动量守恒的条件是。
3.质点系机械能守恒的条件是,
4.质点系动量矩守恒的条件是o
5.质点组对的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的
定理。
&质心运动定理的表达式是o
7.平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。
8.各质点对质心角动量对时间的微商等于处力对质心的力矩之和。
9.质点组的角动量等于质心角动量与各质点对质心角动量之和。
10•质点组动能的澈分的数学表达式为：
£耳”•心+£戸件叭
2t.i/・1/・1
表述为质点组动能的微分等于一力和力所作的元功之和。
11・质点组动能等于质心动能与各质点对质心动能之和。
12.柯尼希定理的数学表达式为：
丁二丄〃呢2+£性十2,表述为质点组动能等于质心
2/.I
动能与各质点对质心动能之和。
13.2-6・质点组质心动能的微分等于、外力在质心系系中的元功之和。
14・包含运动电荷的系统，作用力与反作用力丕二定在同一条直线上。
15・太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为磴质量的行星受太阳（不动）的引力的运动。
16・两粒子完全弹性碰撞，当质量相等时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个粒子。
17.设木块的质呈为nh，被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。
如果有一质量为叫的子弹以速率v,沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为
久二佟上竺（2g〃严
h处，则此子弹射入木块前的速率为：
E。
1&位力定理（亦称维里定理）可表述为：
系统平均动能等于均位力积的负值。
（或
沧士护T）
二、选择题
1.矢于质心，以下说法错误的是（）
A.均质物体的质心和其几何中心重合；
B.处于均匀重力场中的物体，重心和质心重合；
C.质点组合外力为零时，质心将靜止；
D.质心可以在物体的外部。
2•质点组运动的总动能的改变（）
A.与外力无矢，力有矢；
B.与外力、力都有尖；
C.与外力、力都无尖；
D.与外力有矢，力无尖。
3•满足下列哪种情况，质点组的机械能守恒（）
A只有保守力做功；
B外力和力都不是保守力；
C所有力均为保守力；
D所有外力均为保守力。
.如果某质点系所受合外力为篆，则该质点系的[A]
A动量守恒；B角动量守恒；C动能守恒；D不能确定。
2・5•质点系的力有如下性质，其中错误的说法是：
【C】
A力的动量之和为零；B力的角动量之和为零；
C力的动能之和为零；D力的矢量和为零。
2-6.^于力的说法中错误的有：
【B】
A质点系的力不能改变质点系的动量；
B质点系的力不能改变质点系的动能：
C质点系的力在运动过程中可能作功，可能不作功；
D刚体在运动过程中力不作功。
2・7.以下四种说法中，哪一种是正确的？
（A）作用力与反作用力的功一定是等值异号；
（B）力不能改变系统的总机械能；
【D】
（C）摩擦力只能作负功；
（D）同一个力作功在不同的参考系中，也不一定相同。
2■&对机械能守恒和动量守恒的条件，正确的是:
（A）系统不受外力作用，则动量和机械能必定同时守恒.；
（B）对一系统，若外力作功为零，而力都是保守力，则其机械能守恒；
（C）对一系统，若外力作功为零，则动量和机械能必定同时守恒；
（D）系统所受和外力为篆，和力也为零，则动量和机核能必定同时守恒.o（B]
2-9.一人握有两只哑铃，站在一可无摩擦地转动的水平平台上，开始时两手平握哑铃，人、哑铃、
平台组成的系统以一角速度旋转，后来此人将哑铃下垂于身体两侧，在此过程中，系统[A]
（A）角动量守恒，机械能不守恒；
（B）角动量守恒，机械能守恒；
（0角动量不守恒，机械能守恒；
（D）角动量不守恒，机械能不守恒。
2・10.如果某质点系的动能变大，则该质点系的【D】
A动量变大；B各质点的动量一定变大；
C质点系的能量变大；D不能确定。
2・11.如果某质点系的动量变大，则该质点系的【D】
A质点系的动能一定变大；B各质点的动量一定变大；
C质点系的能量一定变大；D不能确定。
2・12.如果某质点系所受合外力变大，则该质点系的【D】
A动疑一定变大；B角动量一定变大；
C动能一定变大；D不能确定。
二、简答
2.1—均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？
.答：
因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。
对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。
2.2—均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？
答：
物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。
2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？
假如质点组不受外力作用，每一质点是否都将靜止不动或作匀速直线运动？
答：
对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互尖联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有3//个相互矢联的三个二阶微分方程组，难以解算。
但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。
若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组其它各质点的作用力，每一质点的合力不一定等于篆，故不能保持靜止或匀速直线运动状态。
这表明，力不改变质点组整体的运动，但可改变组质点间的运动。
2.4两球相碰撞时，如果把此两球当作质点组看待，作用的外力为何？
其动量的变化如何？
如仅考虑任意一球，则又如何？
答：
把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞力远大于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。
如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。
2.5水面上浮着一只小船。
船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。
这是不是与质心运动定理相矛盾？
试解释之。
•答：
不矛盾。
因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。
当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。
2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？
所损失的能量到什么地方去了？
又在什么情况下，能量才也守恒？
2.6•答：
碰撞过程中不计外力，碰撞力不改变系统的总动量，但碰撞力很大，使物体发生形变，力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能（分子间的结合能），故动量守恒能量不一定守恒。
只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相幢物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。
2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力?
•答：
设质心的速度V■第i个质点相对质心的速度V：
则V.=%+V；,代入质点组动
1/、
量定理可得｝工〃2”=工刊丿+工巧⑴+工（一J这里用到了质心运动定理
dt；；；；
工Ff=：
工加故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。
但质点组相对质心/v
的动量守恒工〃”叫二常矢量。
当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心r
参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们解决问题带来不少方便。
值得指出：
质点组中任一质点相对质心参考系有，对质心参考系动量并不守恒。
秋千何以能越荡越高？
这时能量的増长是从哪里来的？
答：
秋千受縄的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。
重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。
当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。
这时能量的增长是人体力做功，消耗人体能转换而来的。
2.10在火箭的燃料全部燃烧完后，§2.7
（2）节中的诸公式是否还能应用?
为什么?
答：
火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故§2.7
（2）中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。
2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？
答：
由V=vo+VrIn—人=Vo+V「］nz"要提高火箭的速度必须提高喷射速度齐或增大你
m..
质量比由于燃料的效能，材料的耐温等一系列技术问题的限制，h•不能过大；又由觀
于火箭的外壳及各装置的质量加。
相当大，质量比也很难提高，故采用多级火箭，一级火箭的燃料燃完后外売自行脱落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。
若各级火箭的喷射速度都为匕，质量比分别为可各级火箭的工作使整体速度增加儿川2,…叫，则火箭的最后速度
V=+V,+•••+t=Vr（lnZ,+InZ2+••■InZ；r）=vrIn（z,-Z2
因每一个z都大于1,故卩可达到相当大的值。
但火箭级数越多，整个重量越大，制造技术上会带来困难，再者级越高，质量比越减小，级数很多时，质量比逐渐减小趋近于1,速度増加很少。
故火箭级数不能过多，一般三至四级火箭最为有效。
三、计算题
1.重为“的人，手里拿着一个重为❻的物体。
此人用与地平线成角的速度q向前跳去,
当他达到最高点时，将物体以相对速度“水平向后抛出。
问由于物体的拋出，人規的距离增加了多少？
2.一光滑球人与另一靜止的光滑球3发生斜碰。
如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰撞后的速度互相垂吏，试证明之。
3•质量为“的质点，沿倾角为&的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为加2,又可在光滑水平面自由滑动。
试求质点水平方向的加速度及劈的加速度。
4.求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为”，所对的圆心角为2&,并证半圆片的质心
4a
离圆心的距离为§兀。
5.如自半径为”的球上，用一与球心相距为“的平面•切出一球形帽，求此球形冒的质心。
6.半径为。
，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速血转动，
求绕此轴的动量矩。
7•—门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m,炮身及炮车质量和等于炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度Q，炮弹对炮身的相对速度为V,试求炮弹离炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度U。
解：
由于在水平方向（X方向）无外力作用，火药爆炸力为力，故水平方向动量守恒
即mvt+MU=0
（1）
又由相对运动矢系知7cosvz+6/=vXfVsina=
（2）
MvII二…V
0）
MSS6Z
⑵代入⑴得vv=Vsina
所以
V2cos2a+V2（kcos2a）
Vcos2a+Vsin2a=.
VIM切
v!
1-cosA
\（M+//2）2
讨论：
由（4）式知炮车反冲时VYV,由（5）式知&AQ
&重G的物体川带动单位长度的质量为g的软链，以速度勺向上抛出，如图示。
假定软链有足够的长度，求重物所能达到的最大高度。
解：
取0Z轴铅直向上，0点位于地面。
将在空中运动的链条的物体A视为主体。
则并入主体的质量元（原先靜止于地面）的绝对速度H=0于是密歇尔斯基方程为软同”……（0
at
因in二G+qz.・F=（G+qz）gk\z=zk?
代入
（1）式得一[（G+gz）z]=-（G+qg）g用（G+qgW乘上式两端得〔（G+炉）20〔（G+彩丿z〕二一g（G+qz）2dz已知初始条件为z=0时，z=Vo所以积分上式得
丄（G+qz）近二一邑（G+%）'+丄G\,+邑G,当2=0时，上升高度z正好就是最大23q
23q
1
值力即力二・』1+芒巴一一1
2Gg
8.在椭圆机构中，规尺/矽质量为2规，曲柄尤质量为偽，滑块力和〃质量均为处曲柄以匀角速度Q绕轴0转动。
试求机构质心的运动方程及系统动量。
设各物体为均质•肋滋兀
解法1：
运动方程（C点）的运动为平面运动运动方程为：
x=/coscotyy=/sincot.
消去t得:
x2y-/=12
1-（一i-
=/»l（sin効j+—cos砂）+（2〃u+2/n2）（-/6?
sincoti+lcocQscotj）
22
动量5_5_-一
--—mxlcDs\x\coti+—ni{lcocQsa）tj+2mjcocoscotj-2ni21cosincoti22二一身（5if“+4m2）sincoti+身（5〃“+4〃？
、）cosO/
总动量值的合成：
P=yg2+/?
/二弓（5/Wj+4〃_）
i=解法厶首先建立整个系统的质心位置
（3mi+2m2）
儿二
X—coscot+2mJcoscot+2叫Icoscof）2
（加]x—sincut+2〃?
]/sincot+加J
sincot）2
（3/H,+2山）
Pi=mxc-一卑sinAX（5加［+4m?
）p、.二myc二罟cos期（5〃片将质心位置求导后，代入动量式
+4//—）
总动量值的合成:
P二yj/\2+p；=骨（5〃？
］+4m2）
10・某质量为H1的质点，其运动方程用矢量式可表达为r（t）=x（t）7+y（t）j+z（t）k，式中:
F为质点的矢径，77S分别为兀”Z的单位矢。
试求：
（1）质点的动能、动疑及对坐标原点0的动量矩。
（2）质点对点A（a.b.c）的动量矩。
（3）作用在质点上的力及力的功率。
解：
（1）动能厂二加二皿+y
22«
动量"-mv=m{xi+yj+zk）
动量矩乙二刀"yz—z,yV+（尬一成）j+yx）k］
（1）动量矩
二加｛（y—b）2—（z—c）y]F+[（z—c）x—Ci-—a）t]j+[（x一fl）y-（y-“）无片｝
（2）力尸二加？
-nir=m（xi+yj+zk）
功率p=E・v=F•?
=mr•r=m（x・x+$•y+z•z）
11、质点在xoy平面运动，其势能为：
V=2x2-5xy+3y2+6x・7y试求使该质点处于平衡状态的点的坐标。
dVdV
解：
欲使质点平衡须使质点势能对任一函数的一阶偏微分为零即一二0.—=0
ox勿
dV-2cAC/-=4x—&+6=0
（1）
胁由
分—5x+6y—7=0
（2）
求解上面方程组得平衡坐标为x=l,y=2
12.—人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r为半径的圆
周，假定人重为P，平台重也为P，其半径也为「试求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。
解：
以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为篆。
假设平台与转轴接触面光滑无.摩擦，故质点系动量矩守晅。
在质点系起始时，z=O,Go=O在某时刻人相对于平台的速度为u,平台的角速度为血，则人的绝对速度为v=u+ar人的动量矩为：
二——r（u+co厂丿方向沿转轴方向。
平台动量矩为：
彳心方向也沿转轴方飢
由动疑矩守恒定律得：
G]+G.=—r（w+cor）+—/co二2g
13、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。
在某一时刻，人以不变的速度u向x轴正向运动。
设板的质量为皿，人的质量为血。
试求t秒钟后，人的绝对速度V与位移以及板的绝对速度VI与位移。
解：
以人和板为研究对象。
系统受力：
人的重力P,板的重力W,光滑的水平面对板的正压力国。
以上受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守恒。
在初始时刻t二0,人和板都静止，动tp..=o任意时刻t,设板的绝对速度H沿X轴正向，则由点的合
成运动可知'人的绝对速度为V=Vi+u。
由动量守恒定律得：
miVi+nu（Vi+u）=0
解此方程得v,=-心£“负号表示板的运动方向与x轴正向相反。
加+TH]
由此得人的绝对速度为7=U+U二u二一〃二……‘一〃正号表示人的运动方向与X轴正向相同
加功口〕力□〕+〃"
因U与V都是常量，故人和板的位移分别为二vt=一色一”心〕=v/=——竺一ut勿+m2力口丨+血
设矢量F在笛卡儿坐标系中的投彩为（x,y,z）,证明刃〃二|厂加=0并求使厂二grad（/）的函数0
⑵rotr=Vxr=一dx'"鼻丫
'dzdy'
kj4-
（dxdZ
•
1亠
'dyXF
Z
Wy比丿
lfi
/十
W&y）[
jkdd
0
…
（1）2
•••⑵积分
（1）式得（Z>=-+f（y,z）
…⑶
（4）
（2）得警U积分得也）
（5）（4）与0二*+++g（z）
得丫二啤二?
积分得g（?
）=#+cozoz2
（6）
OZ,
代（7）入（6）得八才+计+今+c
14・质量为加I及加2的两自由质点互相以引力吸引，引力与其质量成正比，与距
离的平方成反比，比例常数为R,开始时两质点皆处于靜止状态，其间距离为纸试
求两质点间的距离
为巴时两质点的速度。
2
解法1：
用机械能守恒定律求解
令质量为加I自由质点的速度为勺，质量为加2的自由
质点速度为则因两质点互相吸引，故”2方向相反，取片方向为正方向如图示
由于两质点无外力作用，故动量守恒有/HjV,・W2V2=0
（1）
两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力
由保守力性质得势能为匕二「一尸・莎二「一蚀竺力二一也竺式中厂是两质点间的距
JxJoe厂.f
鼠由机桃忖A警冷认+知-警
2
即打詔+丄〃上二也竺
（2）
22a
2k2k
解
（1）
（2）式得勺二血；is二也]—
—1+血）-Ia（g+!
ni）
解法2：
用动能定理求解
令质量为〃?
1自由质点的速度为质呈为〃s的自由质点速度为冬，则因两质点互相吸弓匚
故V]7方向相反，取片方向为正方向如图示
由〃T=刃V得〃（丄“尸+-m.r；）=F-efr=■切¥
22厂
1?
1?
kmjriy…
积分上式得尹M+尹2”土
（1）
由于两质点无外力作用'故动量守恒有“7“一也02=0⑵
解
（1）
（2）式得片二力./is二也2k
-1a（rn（+nu）解法3：
用两+门门）
体问題方法求解
由于两质点无外力作用可视为两体问题由两体问题运动方程“冬字二尸得dr
又如二如.如十处dtdtdrx2
代入
（1）式有VpWp=・—J/p
山\+叫2
nin.t2kg+〃—）
（2）
积分『12〃儿2=F_¥■%得人2二
八12
由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心静止‘故由叫•二得册+叫
+m>V2-0（3）
又根据速度合成方法知片2=vi・'2..・...（4）
I2bI2k
解⑵（3）（4）式得片二一〃“；=……v2=I
・Fu伽〕+加2）_\1«（/?
?
!
+〃g）
儿为负值表明与卩2方向相反
15•如图示，一长为/的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为。
，某人持链条一端以匀速
V将其提高，试证：
当他的手离开水平面的高度为兀时（XY/）,链条对手的作用力（2I大小为F=x+—pg,
I8）
解法1：
用质心运动定理求解；
取链条整体为研究对象，在t时刻'整体所受的外力有重力P=/71g,拉力尸和水平面对
靜止的那部分链条的支持力尸二・P（1・/虫。
由质心运动定理可得
mac=F+^-p（j-x）g式中乙为质心的加速度。
上式在x轴上的投影式为mxc=F_plg+p（/-x）g
由于链条的质心坐标为■二=—
pl21
则有Xc=7Lc
代入投影式得二F・p\g，+p（1・x）_gJH7=F・pxg
2
v
所以Y=pxg+m一二x+—“£
解法2：
用动量定理求解取链条整体为研究对象，在t时刻，整体所受的外力有重力P=pig,拉力F和水平面对
靜止的那部分链条的支持力尸二・p（l・x）g链条整体的总动疑在竖直方向分量为4=Q2+Qa—x）・
o
整体所受的外力有重力P=pig，拉力尸和水平面对静止的那部分链条的支持力
卩一加一0P
上式在X轴上的投影式为厲才一pxg
由动量定理「丄二巴得=—（/CIVV）=p——pgdtdtdtdt
解法3：
用变质量问题方法求解
如图示，取已上升部分为主体，其质量为m=速度为v,不断增加部分为变体，dm=其速度
”=0,主体和变体所受合外力为耳、=F_pxg
由密歇尔斯基方程弓（处）一“晋二尸台得
扌（砂）=F合寸即。
分二刖’=FA=F-pxg故F=pxg+亦
16・圆环质量为乩放在光滑水平面上，有一质量为m的小虫在圆环上爬行，如图示，求证：
小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自转角度不超过180oo设初始时系统靜止。
解：
以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。
故质点系动量矩守恒。
在质点系起始时，r=O,Go=O在某时刻小虫相对于圆环的速度为u,圆环的角速度为则小虫的绝对速度为+射小虫的动量矩为：
G二刃厂（u+cor）方向沿转轴方向。
圆环动量矩为：
兮心評&方向也沿转轴方向。
由动量矩守恒定律得：
Gx+G2=mr（u+（or）+—Mrco=Q
2
假设M二2叫贝l]&二一龙二一180°—般故&Y180°g八..v-一、
另正解：
以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点'质点系受力为'
2m
2/r
（1+9
勿
假设小虫和圆环质量相等故°=-^=-240°
重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。
故质点系动量矩守恒。
在质点系起始时，r=O,Go=O在某时刻小虫相对于圆环的速度为u,圆环的角速度为Q,则小虫的绝对速度为v=u+ox小虫的动量矩为：
G,=mr{ii+cor）方向沿转轴方向。
圆环动量矩为：
G.=Ico=Mrco方向也沿转轴方向。
由动量矩守恒定律得：
G]
升级会员 