电大工程数学本期末考试复习指导docx.docx

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工程数学（本）期末复习指导（文本）

工程数学（本）综合练习

一.单项选择题

1.设4,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）•

b.（A+B尸=A-{+B~x

D.A'1+5"1=A-1+B_'

A-H'll=j^|

C.（AB）-1

正确答案：

A

2.方程纽彳x2+x3=a2相容的充分必婆条件是（），其小①HO,（z=1,2,3）.

B.aA+勺一如=0

正确答案：

B

1-1

3.设矩阵4=的特征值为0,2,则3/1的特征值为（）・

-11

A.0,2B・0,6C・0.0D・2,6

正确答案：

B

4.设儿〃是两事件，则下列等式中（）是不正确的.

A.P（AB）=P（A）P（B）,其中仏水相互独立

B.P（AB）=P（B）P（AfB）,K中P（B）hO

c.P（AB）=P（A）P（B）,其中力，〃互不相容

D.P（AB）=P（A）P（B|A）,其中P（4）h0

正确答案：

c

5.若随机变量/与卩相互独立,

则方差D（2X-3K）=（

）.

A.2£>（X）-3Z）（y）

B.2D（X）+3Z）（y）

c.4D（X）-9D（y）

D.4D（X）+9D（y）

正确答案：

D

6.设力是mxn矩阵，B是sxt矩阵，且ACB有意义，则6?

是（）矩阵.

A.nxsB・sxnC・mxtD・txm

正确答案：

B

7.

）是九匸〃的解.

若光.尤是线性方程组的解，而77］、〃2是方程组畀尤二0的解，则（

c.X]-X2

3-1

&设矩阵4=20

1-1

正确答案：

A

1,则/的对应于特征值2=2的一个特征向量0=（

2

T

_1_

1

■（）_

A.

0

B.

0

C.

1

D.

0

1

-1_

0

1

正确答案：

C

9.下列事件运算关系正确的是（）.

正确答案：

A

io.若随机变量X〜2（0,1）,则随机变量Y=3X—2〜（）.

A.N（-23）B.N（—4,3）C.N（—4,3jD.N（—2,32）

正确答案：

1）

11.

）是“的无偏估计.

设兀［,兀2，心是來自正态总体N（“q?

）的样木，则（

正确答案：

C

12.

对给定的正态总体N（“Q2）的一个样本（旺，兀2，・・・，£），未知，求〃的置信区间，选用的样本函数服从

正确答案：

B

二.填空题

应该填◎：

线性无关

k

4设随机变量的概率密度函数为/（X）=<1+X2

0,

则常数斤二—.应该填写：

-其它龙

I”I

5若样本兀],兀2,…，兀來自总体x~N（0,l）,且X=-Yxi,则元〜,应该填写：

N（0,—）

n/=1n

3

6.行列式5

1

86

12的元素。

21的代数余子式41的值为二

07

应该填写-56

应该填写：

2

_2_

o

8.若向量组:

=

1

oc2=

3

-2

1

7.设三阶矩阵A的行列式|a|

2

0

0,能构成F—个基,

k-2

则数k

应该填写：

工2

9.设4元线性方程组/I用〃有解且r（A）=1,那么力於〃的相应齐次方程组的基础解系含有

个解向量.

应该填写：

3

10.设A,B互不相容，且P（A）>0,则P（B|A）=.应该填写：

0

11.若随机变量/~"[0,2],则D（X）=•应该填写：

一

12.设$是未知参数&的一个估计，且满足e（0）=e,则$称为&的估计.

~2

3

-1_

1

2

3_

1.设矩阵A=

0

-1

1

B=

1

1

2

0

0

1

0

1

2

应该填写：

无偏

三、计算题

求：

（1）AB:

（2）A'1.

23

解：

（1）因为|a|=o-1

00

-1

1=-2

1

1

2

3

0

1

1

1

B

1

1

2

1

1

2

__1

0

1

2

0

1

2

1

=-1

2

AB=AB=2.

所以

2

3

—

-1

1

0

0

⑵

因为

/]

—

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

~23

0

1

0

1_

j

0

0

1/2

3/2-f

->

0-1

0

0

-1

0

1

0

0

-11

00

1

0

0

1

0

0

1

0

01

x\=3,得晁二（—3,0,—1,3,oy

所以原方程组的一个基础解系为{zThX}•

原方程组的通解为：

k]X]+k2X29其屮乩h是任意常数.

（已知

3.设随机变量X〜N（4,1）•

（1）求P（X-4>2）；

（2）若P（X>k）=0.9332,求k的值.

①

（2）=0.9775,0

（1）=0.8413,0（1.5）=0.9332）•

解：

（1）P（\x-4|>2）=1-P（|x-4|<2）

=1-P（-2

（2）-0（-2））

二2（1-0

（2））=0.045.

（2）P（X>k）=P（X-4>k-4）

=\-P（X-4

=1—①伙一4）=0.9332=0（1.5）

①伙—4）=1—①（1.5）=O（-1.5）

即k~4=-1・5,k=2・5.

4.某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm，标准差为0.15cm.从--批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：

（单位：

cm）

10.4,10.6,10.1,10.4

问：

该机工作是否正常（Q=0.05,如975=1・96）?

解：

零假设H（）:

“=10・5・由于己知＜7=0.15,故选取样木函数

_010_

_1-「

5.已知矩阵方程X=AX+B,其中A=

-111

B=

20

-103

5-3

故接受零假设，即该机工作正常.

求X•

解：

因为（I-A）X=8,且

"1

-1

0

1

0

0_

_1-1

010

0_

（/-A:

/）=

1

0

-1

0

1

0

—>

01

-1-11

0

10

-2

0

0

1

01

-2-10

1

■

1

0

-1

0

1

0_

_1

0

0

0

2

-T

->

0

1

-1

-1

1

0

0

1

0

-1

2

-1

0

■

0

-1

0

-1

1

0

0

1

0

1

-1

■*

1

-2

-4

8

-3

1

2~

3

（

a4）=

4

-16

-5

1

-1

4

2

-1_

1

-4

-3

2_

'1

-4

-3

2

0

0

-5

7

T

0

0

-1

1

0

0

7

-7

0

0

0

2

0

0

-1

1

0

■

0

0

0

个向量组的秩以及它的个极人线性无关组.

所以，r（6r,,a2、色，勺）=

3.

解：

因为

_02-1

「1-f

■-13_

所以X=（I-A）iB=

-12-1

20

—

-24

01-1

5-3

-33

它的一个极人线性无关组是

x}-3x2+2x3=0

7.设齐次线性方程组＜2X]—5兀2+3兀3=0，2为何值时方程组有非零解？

在有非零解时，求出通解.

3兀i一8x2+Ax3=0

解：

因为

1

-3

2_

_1

-3

2_

'1

0

A=

2

-5

3

T

0

1

-1

T

0

1

-1

_3

-8

0

1

A-6

0

0

2-5_

当几一5=0艮卩；1=5时，厂（A）＜3,所以方程组冇非零解.

兀]=兀彳

方程组的一般解为：

＜,其中兀3为自由元.

“2=兀3

令兀3=1得冷（1,1,1）'，则方程组的基础解系为U）.

通解为k.X\,其中人为任总常数.

8.罐屮有12颗囤棋子，其中8颗白子，4颗黑子.若从中任取3颗，求：

（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率;

（2）取到3颗棋子颜色相同的概率.

解：

设4|二“取到3颗棋子屮至少有一颗黑子”，A2=“取到的都是白子”，仏二“取到的都是黑子”，B二“取到3颗

棋子颜色相同”，则

（1）P（人）=1一P（A）=1-P（A2）=1一一=1-0.255=0.745.

9.设随机变量*~A『（3,4）.求：

（1）P（l〈才〈7）；

（2）使P（.X<日）=0.9成立的常数日.（0（1.0）=0.8413,

0（1.28）=0.9,①（2.0）=0.9973）.

解:

⑴…〈7）十44）

222

X_3

二P（—1vv2）二0

（2）-①（一1）

2

=0.8386

=0.9973+0.8413-1=0.8386

（2）因为/>（/<小=p（2Cs2<£z2）=o（£z2）=0.9

222

d—3

所以=1.28,日二3+2x1.28二5.56

2

10.从正态总体.V（//,9）中抽取容量为64的样木，计算样本均值得艮=21,求“的置信度为95%的置信区间.（已知“0.975=1-96）

X—u

解：

已知<7=3,n=64,且％=—./—N（0,1）

3

因为x-21,u=1.96，且u-?

=—1.96x——=0.7351送唏乔V64

所以，置信度为95%的“的置信区间为：

=[20.265,21.735].

四、证明题

1.设人是〃阶矩阵，若A3=0,则（/-A）-1=1+A+A2.

证明：

因为（/—A）（/+A+a2）=/+A+a2—A—A?

一人彳二/一人彳二I

所以（/—A）T=/+A+A2

2.设〃阶矩阵/满足（人一/）（4+/）=0,则理为可逆矩阵.

证明：

因为（A—/）（A+/）=—/=0,即A2=I

所以，〃为可逆矩阵.

3.设向量组,a2.a3线性无关，令0】=⑦+2a2,/?

2=3a2+2a3,队=4巾一e，证明向量组

01,02，03线性无关。

证明：

设心0|+心〃2+心03=°，即

k、（a】+la2）+fc2（3^2+2如）+心（也3一⑦）=0

伙I一心）e+（2k、+3k2）a2+（2k2+4k3）a3=0

k、—kq=0因为a】，色，a?

线性无关，所以v2k\+3為=0

2kr+4k3=0

解得冶0,佔0,AfO,从而01,02，03线性无关.

4.设A,B为随机事件，试证：

P（4）=P（A—B）+P（AB）

证明：

由事件的关系可知A=A\JU=AU（B+B）二AB+AB=（A-+AB而（A-B）C\AB=0,故由概率的性质可知P（A）=P（A-B）+P（AB）