第5章 课题学习猜想证明与拓广.docx
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第5章课题学习猜想证明与拓广
课时课题：
第五章课题学习猜想、证明与拓广
授课人：
课型：
新授课
授课时间：
教学目标
1．经历猜想、证明、拓广的过程,增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发展的新体验．
2．在问题解决过程中，综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．
3．在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的重要性．
4．在合作交流中扩展思路，发展推理能力．
5．学会用多种方法解决同一个问题，并对方法进行优化．
教学重点与难点：
重点：
体验“问题情境—猜想—验证—发现规律—证明—拓广”的过程，学习处理问题的策略和方法．
难点：
在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法,体会证明的重要性．
教法与学法指导：
本节课是在学生学习了证明
（一）
（二）（三）、一元二次方程、反比例函数等知识后的一节探究性活动课，旨在让学生用以上知识解决一个探究性问题；从而体会数学知识之间的内在联系，初步体验数学的研究方法．
体验、探索式教学法．
课前准备：
教师准备：
多媒体课件．
学生准备：
（课前布置的作业）：
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
你是怎样做的？
你有哪些解决方法？
你能提出新的问题吗？
教学过程
一、预习检查
教师出示第一张幻灯片（课前布置的作业）：
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
你是怎样做的？
你有哪些解决方法？
你能提出新的问题吗？
（设计意图：
问题的提出旨在激起学生的思考欲望,为学生提供充分的思考空间,让学生自由想象,同时为下面的研究作好铺垫.）
师：
同学们，老师布置的预习作业完成了吗？
生：
完成了．
师：
咱们来看第一个问题：
这样的正方形存在吗？
生：
不存在！
师：
你是怎么做的？
请把你的解决方法展示给大家！
生1：
我举了一个例子：
若一个正方形的边长为4，则它的周长和面积分别为16和16．如果周长变为原来的2倍32，即边长为8，则此时面积变为64，也就是面积变为原来的4倍了．列表如下：
边长
周长
面积
原正方形
4
16
16
新正方形
8
32
64
所以，这样的正方形不存在．
师：
这位同学举了一个具体的例子，而且用表格形式表示，清楚明了．但他因此就下结论“这样的正方形不存在”，同学们觉得有说服力吗？
生2：
多举几个例子就行了！
师：
多举几个例子当然会增加说服力，但你毕竟不能举尽所有的正方形呀！
谁有更好的办法？
生3：
我设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2．当周长变为原来的两倍时，面积变为原来的4倍了．列表如下：
边长
周长
面积
原正方形
a
4a
a2
新正方形
2a
8a
4a2
所以，这样的正方形不存在．
师：
你认为这样就有说服力了吗？
生3：
是的.这里的a表示一切符合题意的数，既包括刚才同学的例子，也包括同学们未举出的例子，所以我认为有说服力．
（掌声）
师：
同学们！
大家同意生3的观点吗？
生：
同意！
师：
我很赞成生3的做法，但如果你刚开始想不到用字母，也可以先用具体的数据，然后再过渡到字母，这是咱们解决数学问题的一种方法，先具体再抽象，由特殊到一般．先从非常熟悉的简单数字开，再慢慢过渡到抽象字母，从而让你的验证过程具有说服力．还有其他方法吗？
生4：
我还有一种解决方法，我用相似的知识来解决．所有的正方形都相似，而相似图形的面积比等于周长比的平方，因此周长变为原来的2倍时，面积一定变为原来的4倍．所以周长和面积同时变为原来的2，这样的正方形是不存在的．
（掌声想起！
）
师：
生4太聪明了，用非常简单的知识解决了问题，让我们心服口服！
现在第一个问题解决了，大家意见一致，这样的正方形不存在！
那么你提出新的问题了吗？
生5：
是否存在一个正方形，它的周长和面积同时变为原来的一半？
生6：
是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的2倍？
生7：
是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的一半？
生8：
是否存在一个菱形，它的周长和面积同时变为原来的3倍？
生9：
是否存在一个梯形，它的周长和面积同时变为原来的一半？
师：
同学们太棒了，能提出问题就说明有一定的创新意识．现在咱们尝试解决生6提出的问题．
二、课题探究
中心问题：
是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的2倍？
师：
同学们，我提一个问题：
所有的矩形都相似吗？
生：
不一定．
师：
那么用生4说的相似知识能解决这个问题吗？
生：
不能．
师：
那么咱们应该如何探究这个问题呢？
生：
从具体的数字开始！
师：
说得非常好．下面各组给自己探究的矩形规定一个具体的长和宽.
小组报数：
第一组2和1，第二组3和1，第三组3和2，第四组1和2，第五组3和2，第六组2和1．
师：
各小组选的数据非常好，在研究具体数字的时，数越简单越好，现在各小组成员先独立思考，再合作交流．
小组活动，教师巡视，发现有个别小组和个别同学无从下手．教师参与这个小组的合作讨，然后继续巡视指导．
（设计意图：
在巡视指导时对于有困难的小组及学生给予第一种方法的指导.巡视时,注意每一组的方法,是不是把几种方法都涉及了,若没有涉及,及时进行指导,以便在学生展示成果时,让学生有成功的体验.）
师：
下面请各小组选一名代表来展示小组的研究成果．
第一组：
我们有两种方法，先说第一种方法．设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
2
1
6
2
新矩形
x
6－x
12
4
x（6－x）＝4，
x2－6x＋4＝0．
b2－4ac＝36－4×1×4＝36－16＝20＞0，
∴这个方程有解．
∴这样的矩形存在．
（设计意图：
通过简单情况的研究,积累经验,为后面的证明提供方法.）
师：
这种方法非常好，列表使人一目了然．第二种方法呢？
第一组：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
2
1
6
2
新矩形
x
12
4
，
x2－6x+4=0．
以下与第一种解法相同．
（若学生在展示时没有涉及第二种方法,教师要给予补充.）
师：
这两种方法看上去好像一样，但有所不同．同学们找找不同点在哪？
生10：
方法一是用周长关系表示宽、面积关系列方程；而方法二是以面积关系表示宽、周长关系列方程．方法一列的是一元二次方程，而方法二列的是分式方程．.
师：
这两种方法都很好.同学们选择一下，哪一种方法在具体做题时不易出差错？
生：
方法一．
师：
为什么？
生：
方法二还须检验，麻烦！
师：
好，第一组的成果很好，而且他们有了一个肯定的结论.和他们的方法不一样的继续展示．
第六组：
设新矩形的长为x、宽为y，则
长
宽
周长
面积
原矩形
2
1
6
2
新矩形
x
y
12
4
2（x+y）=2，
xy=4．
化简得x+y=6，①
xy=4．②
由①，得y=6-x．③
把③代入②，得x（6-x）=4，
x2-6x+4=0．
以下与第一组的方法一相同．
师：
这个小组是用方程组来做的，也很好．还有不同的方法吗？
第二组：
设新矩形的长为x，宽为y，则
长
宽
周长
面积
原矩形
3
1
8
3
新矩形
x
y
16
6
∴
图象如图所示，两个图象有交点．
∴这样的矩形存在.
（若学生展示时没有涉及这种方法,教师可视时间情况予以补充）
师：
这个小组把咱们学过的一次函数的图象及反比例函数的图象结合在一起解决今天的问题,值得表扬.还有其他方法吗？
生：
没有了．
师：
现在咱们将这几种方法进行比较，有共同点吗？
请小组合作讨论并回答．.
生11：
前三种方法最后都出现了一元二次方程x2-6x+4=0，但方法二和方法三是列分式方程或二元方程组后转化为一元二次方程的，不如第一种方法直接得到一元二次方程好．最后一种方法在实际操作时，出现误差的可能性很大．
师：
大家认同他的观点吗？
生：
认同！
（设计意图：
从不同角度分析和解决问题,培养学生的创新思维.同时使学生体会解决问题方法的多样性及在合作交流中获得知识的愉悦．）
师：
咱们继续这节课的探究．刚才大家都给自己的研究一个肯定的结论，这样就可以给咱们的中心问题一个肯定的结论吗？
生：
不行．
师：
那怎么办？
生：
由特殊到一般，由具体的数字到抽象的字母．
师：
说得好,再给你探究的矩形一个长和宽,咱们先让长和宽其中一个为字母．
小组报数：
第一组n和1，第二组m和1，第三组1和a，第四组1和b，第五组m和2，第六组a和1．
师：
好，现在各小组开始探究．
小组合作，教师参与其中．
师：
成果展示．
第三组：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
1
a
2+2a
a
新矩形
x
2+2a-x
4+4a
2a
x（2+2a-x）=2a，
x2-（2+2a）x+2a=0．
[-（2+2a）]2-4×1×2a
=4+8a+4a2-8a
=4+4a2＞0，
∴这个方程有解．
∴这样的矩形存在．
师：
第三组的同学做得非常好．下面咱们请第五组的同学上来展示．
第五组：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
m
2
2m+4
2m
新矩形
ｘ
2m+4-x
4m+8
4m
x（2m+4-x）=4m，
x2-（2m+4）x+4m=0．
[-（2m+4）]2-4×1×4m
=4m2+16m+16-16m
=4m2+16＞0，
∴此方程有解．
∴这样的矩形存在．
师：
这两组同学都对自己探究的问题给出了肯定的结论．其他组呢？
生：
存在这样的矩形．
师：
刚才咱们探究了长和宽其中有一个为字母的情况，同学们都认为这样的矩形存在．那么现在可以给中心问题一个肯定的结论了吗？
生：
不行．
师：
还须做什么工作？
生12：
探究长和宽都为字母的情况！
师：
好，下面咱们再给矩形规定长为m，n，全体同学一起探究这个问题，看看是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原矩形的两倍．
教师巡视学生的探究过程．
（设计意图：
让学生充分体会“从特殊到一般”的研究策略是一种解决数学问题的重要方法,培养学生严谨的数学思维和善于归纳总结的良好学习习惯.）
师：
这样的矩形存在吗？
生：
存在！
师：
请生13来展示一下探究成果．
生13：
设新矩形的长为x，则
长
宽
周长
面积
原矩形
m
n
2m+2n
mn
新矩形
x
2m+2n-x
4m+4n
2mn
x（2m+2n-x）=2mn，
x2-（2m+2n）x+2mn=0．
[-（2m+2n）]2-4×1×2mn
=4m2+8mn+4n2-8mn
=4m2+4n2＞0，
∴这个方程有解．
∴这样的矩形存在．
师：
同学们有成就感吗？
生：
有！
师：
什么成就？
生14：
我现在可以给中心问题一个肯定的结论：
这样的矩形存在，无论给定一个什么样的矩形，我都能找到一个新的矩形，使它的周长和面积同时变为原矩形的两倍．
（全体同学鼓掌！
）
（设计意图：
让学生在一系列的探索过程中,体会猜想、验证、发现规律、证明、拓展的数学化过程,学习处理问题的策略和方法,养成良好的思维习惯．）
三、感悟与收获
师：
同学们，这一节课大家非常投入，用自己的辛劳与努力，猜想并证明了一个问题．在探究的过程中，你有哪些收获？
生15：
我亲身体验了探究的过程，知道了探究一个问题时应该先具体再抽象，先特殊再一般．
生16：
在解决一个问题时，我们应该动脑筋，想出更多的方法．
生17：
数学知识之间是有联系的，如一个问题可以直接用一元二次方程解，也可以列二元方程组转化为一元二次方程解，还可以列分式方程转化为一元二次方程解，或用函数图象求解．
生18：
判断一个问题时不能以点代面，应看它的全部.
师：
同学们说得非常好，老师也有收获．通过这一节课的学习，我再次发现了同学们的聪明与睿智，再次亲身领略了“人人都有闪光点”这句话的真正含义．
（设计意图：
让学生学会在交流的过程中取长补短．）
四、布置作业
1．将各小组的发现整理成小论文．
2．对矩形面积和周长的“减半”问题，用同样的方法进行研究．
3．（选做）对自己提出的问题用同样的方法进行研究．
（根据自己的学习情况，选择所要解决的问题．）
（设计意图：
不同的学生可选择不同的问题,使每个学生都获得成功的体验．）
板书设计：
第五章课题学习猜想、证明与拓广
一、提出问题
二、课题探究
分组展示
教学反思：
1.要精心备好每一节课，具体到每一个环节学生可能出现什么情况．
2.学生的聪明才智不可估量，关键是教师要敢于放手，要让学生真正做课堂的主人．在本节课中，教师鉴于学生素质原因，放手还不够大胆．
3.本节课由于第一环节为第二环节做了铺垫，因此，第二环节进行得很顺利，让学生很容易感受并应用由特殊到一般的方法．
4.第一环节中，学生的答案基本一致，但在讲述自己的做法时，出现了三种方案：
①举例边长为4的正方形即特殊数字；②举例边长为m的正方形即一般字母；③用相似图形的性质．这三种方案教师都给予了肯定，并引导学生感受特殊与一般的区别，以及由特殊到一般的数学思想．
5.在收获与感悟环节，谈出了教师的感悟，增强了师生感情．
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