春八年级数学下册第19章四边形193矩形菱形正方形1932菱形第2课时菱形的判定练习新版沪科版.docx

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春八年级数学下册第19章四边形193矩形菱形正方形1932菱形第2课时菱形的判定练习新版沪科版

课时作业（二十七）

[19.32.　第2课时　菱形的判定]

一、选择题

1．2017·河南如图K－27－1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的是（）

A．AC⊥BDB．AB＝BC

C．AC＝BDD．∠1＝∠2

图K－27－1

图K－27－2

2．2017·聊城如图K－27－2，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是

（）

A．AB＝ACB．AD＝BD

C．BE⊥ACD．BE平分∠ABC

3．2017·临沂如图K－27－3，在△ABC中，D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）

A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形

B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形

C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形

D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形

图K－27－3

图K－27－4

4．如图K－27－4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是（）

A．4B．6C．8D．10

图K－27－5

5．如图K－27－5，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）

A．AB＝ADB．AC＝BD

C．AD＝BCD．AB＝CD

6．如图K－27－6①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：

甲：

如图②，连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN,CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：

如图③，分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法可判断（）

图K－27－6

A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误

C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误

二、填空题

7．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为菱形．你添加的条件是________．（填写一个即可）

8．▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝

，AO＝1，OB＝2，则AC，BD的位置关系是______________，四边形ABCD是菱形的根据是__________________________．

9．如图K－27－7，在▱ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．

图K－27－7

图K－27－8

10．如图K－27－8，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列三种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；

③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．

其中正确的有________（只填写序号）．

三、解答题

11．2018·遂宁如图K－27－9，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：

四边形AECF是菱形.

图K－27－9

12．如图K－27－10，在▱ABCD中，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN.过点M作ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G.求证：

四边形CEGF是菱形.

图K－27－10

13．如图K－27－11，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，AE＝AB.

（1）求证：

∠ABE＝∠EAD；

（2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：

四边形ABCD是菱形．

图K－27－11

14．2018·南京如图K－27－12，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：

（1）∠BOD＝∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

图K－27－12

探究题小宇将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉如图K－27－13①放置，发现重叠部分是一个菱形．

（1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形；

（2）小宇又发现：

如图②放置时，菱形ABCD的周长最小，等于________；

（3）如图③放置时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．

图K－27－13

详解详析

【课时作业】

[课堂达标]

1．[解析]C　选项A，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形．选项B，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形．选项C，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．选项D，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ACB.∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，故选C.

2．[解析]D　当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形．理由：

∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE.∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．又∵BD＝DE，∴▱DBFE是菱形．其余选项均无法判定四边形DBFE是菱形，故选D.

3．[解析]D　根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，所以A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，所以B错误；若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，所以C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF＝DF.又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形，故D正确．

4．[解析]C　由条件知四边形CODE是菱形，OC＝2，故其周长是8.

5．[解析]D　∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，∴EF＝GH＝

AB，EH＝FG＝

CD.∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选D.

6．[解析]C　甲的作法：

首先证明四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定四边形ANCM是菱形；乙的作法：

可根据角平分线的定义和平行线的定义，证得AB＝AF，AB＝BE，再由AF∥BE可推出四边形ABEF是菱形．

7．[答案]答案不唯一，如AB＝BC或AC⊥BD等

8．[答案]AC⊥BD　对角线互相垂直的平行四边形是菱形

9．[答案]8

10．[答案]①②③

11．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵DE＝BF，∴AE＝CF.

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形．

12．[解析]根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出四边形CEGF为平行四边形，求出GE＝DN＝BM＝FG，根据菱形的判定即可得证．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC∥AD，CD∥AB.

∵ME∥AD，NF∥AB，

∴BC∥ME，CD∥NF，

∴四边形CEGF是平行四边形．

由平行四边形的定义知四边形MBFG，NDEG均为平行四边形，

∴FG＝BM，EG＝DN.

又∵BM＝DN，∴FG＝EG，

∴四边形CEGF是菱形．

13．[解析]

（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB＝∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，即可得证；

（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠DBE，然后可证∠ABD＝∠ADB，再根据等角对等边可证AB＝AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

证明：

（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EAD.

∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，

∴∠ABE＝∠EAD.

（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE.

∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，

∴∠ABE＝2∠ADB，

∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD.

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形．

14．证明：

（1）如图，延长AO到点E.

∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.

又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，

∴∠BOE＝2∠BAO.

同理∠DOE＝2∠DAO，

∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2（∠BAO＋∠DAO），

即∠BOD＝2∠BAD.

又∵∠C＝2∠BAD，

∴∠BOD＝∠C.

（2）连接OC，

∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC，

∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.

∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，

∴∠BOC＝

∠BOD，∠BCO＝

∠BCD.

又∠BOD＝∠BCD，

∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.

又∵OB＝OD，BC＝CD，

∴OB＝BC＝CD＝DO，

∴四边形OBCD是菱形．

[素养提升]

解：

（1）证明：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

如图①，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，则AM＝AN.

又∵S▱ABCD＝AM·BC＝AN·CD，

∴BC＝CD，∴▱ABCD是菱形．

（2）8

（3）如图②，设AD＝AB＝x，则AE＝8－x.

在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，

即x2＝（8－x）2＋22，

解得4x＝17，即此时菱形ABCD的周长是17.