数学建模高校奖学金评定.docx
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数学建模高校奖学金评定
2011年数学建模竞赛选拔
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.
我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。
如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
B
队员签名：
1.
2.
3.
日期：
年月日
2011年数学建模竞赛选拔
编号专用页
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2011年数学建模竞赛选拔
高校综合奖学金的评定
摘要
随着高等教育事业的发展，人们越来越要求高校奖学金评定公平、公正。
本文正是针对奖学金评定，本着公平公正的原则，综合考虑成绩、卫生、学生工作、获奖情况及学生民主投票的结果对综合评估的影响。
将奖学金综合测评中的指标合理量化，运用层次分析法（AHP）构建综合评价模型。
对于问题一，学生的智育分由考试课成绩、考查课成绩和每门课学分所决定。
但由于考试课成绩和考查课成绩对学生综合成绩的影响程度不一样，所以我们通过层次分析法并运用MATLAB软件求解，可以得到两者对综合成绩的影响权重。
然后用Excel软件将每门课成绩乘以其对应学分再进行加权求和，学分也进行加权求和，然后两者相除，所得结果即为每个人的智育分。
对于问题二，结合我省高校的实际情况，采用层次分析法通过MATLAB软件求解，确定每种因素对奖学金评定影响的权重。
对于问题三，将综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票进行量化，结合问题二求出的各因素的权重，进行加权求和。
得出该班学生的综合排名，前九名即为相应奖学金获得者，确定其名单。
对于问题四，我们将综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票的量化公式和第三问当中计算最终成绩的公式罗列出来。
通过Excel的简单运算即可得到奖学金评定的最终结果。
关键词：
层次分析法、综合评价模型、线性加权法
一、问题重述
奖学金评定工作是对学生最广泛、最深入、最重要的综合考察和鼓励措施。
奖学金评定工作的质量成为当代大学生最关注的问题之一。
学生奖学金是对大学生一学年学习情况的综合总结，也是一项重要的个人德、智、体全方位一评。
而评估是否合理将直接影响到学生的全面素质发展，影响到学生的学习积极性。
奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。
奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。
本题论述的问题就是合理制定一种奖学金标准，让奖学金制度能够做到公平、公正，能充分调动广大学生的学习积极性，发挥他们的特长。
据调查，人们往往是依靠“民主加集中”的原则，常规方法基于看似民主的评选方法和过程，评出的结果常常令许多人不满意，抱怨。
在评选过程中，还可能出现很难定夺的剧烈竞争局面。
这种情况下若采用简单方法评选就更易引起学生的不满。
为了真正体现“公开，公平，公正”的原则，并能通过评选过程着实让受奖者和评选者都能受到一次教育，让综合素质优秀及单方面能力出众的学生获得奖励，本文通过对奖学金评选相关资料的研究，及大学中现行评选制度分析，最终提出用层次分析法（AHP）来解决此疑难问题。
运用层次分析法，将学生的综合测评问题层次化，根据奖学金评定的要求和要达到的目的，将奖学金评定问题分解成不同的组成因素，包括学习成绩，卫生，学生工作及获奖情况，并根据资料中所给数据进行分析，确定奖学金获得者名单。
二、问题分析
奖学金，顾名思义，所奖者“学”也。
但这个学不但表现在学业上，还包括其他各种表现，担任学生职务，参加比赛，发表论文，获得荣誉等即可加分，当然还有适当的减分体制，通过德、智、体、美、劳对学生进行客观和科学的综合评定。
高校设立奖学金制度，是为了能全面科学的培养高素质人才，提高大学生的综合素质。
而大学生的素质包括人的道德素质、智力素质、身体素质、审美素质、劳动技能素质等。
评估是否合理将直接影响到学生的全面素质发展，影响到学生的学习积极性。
传统的评估结果很容易受到利益、个人感情等有违社会道德的行为的影响，因此综合评估更能显示出公平公正的原则，更能让评估结果说服人心。
高校一般的综合评估成绩的计算公式为：
综合测评成绩=德育分×20％＋智育分×80％。
针对这种情况，我们采用层次分析法，将决策有关的元素分为目标、准则、方案三个层次，即从学生成绩、宿舍卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票这五个方面进行定性和定量分析。
决策系统中很多因素之间的比较往往无法用定量的方式描述，此时需要将半定性、半定量的问题转化为定量计算问题，用层次决策中引入权重，通过逐级比较各种关联因素的重要性来分析决策，提供定量的依据。
元素层次结构图
三、模型假设与符号说明
3.1）模型基本假设
①.假设考查课成绩依《河南科技大学本科学分制学生学籍管理细则》中规定将“优秀、良好、中等、及格”依次量化为百分制分数表示：
分别为95、85、75、65分：
宿舍扣分按负分。
②.假设奖学金的评定除受体中所给因素影响外不受其他条件影响。
③.假设有考查课或考试课单科成绩不及格者，不具有参加奖学金评选的资格。
④.假设民主投票皆有效，所得数据符合规定标准。
⑤.假设“学生工作”数据中只关注所担当职务，不考虑具体工作的担当情况。
⑥.假设评定结果客观真实
⑦.假设学生干部的加分处理都按照加分规定进行。
⑧.假设学生加分为：
基本分60加上职务加分，无职务的学生为60分。
X1
综合成绩标准分
X2
学生民主投票标准得分
X3
获奖标准得分
X4
学生工作标准得分
X5
卫生状况标准得分
Xij
第j个同学第i项影响因素的标准得分
wi
各影响因素在参评奖学金时所占的权重（i=1，2，3，4，5）
a
考试成绩的权重
b
考查成绩的权重
c
参加竞赛所加绩点的最小值
d
参加竞赛所加绩点的最大值
A1j
考试成绩的分数
B1j
考试成绩的学分
A2j
查成绩的分数
B2j
考查成绩的学分
x4
民主选举得票数
x5
卫生状况扣分数
Y
奖学金评判综合得分
Yj
第j个同学奖学金评判综合得分
3.1）模型符号说明
四、模型建立与求解
为了找到一种合理的方法来解决奖学金综合评判问题，本题要求用合理的方法计算出学生的综合成绩，并给出具体的排名。
表格1学生考试课成绩表
姓名
考试课1（1.0）
考试课2（3.5）
考试课3（2.5）
考试课4（5.5）
考试课5（3.5）
考试课6（2.5）
学生A
82
93
91
95
94
94
学生B
87
95
96
97
84
91
学生C
96
82
80
85
85
80
学生D
87
74
85
70
76
78
学生E
85
79
75
70
73
79
学生F
81
95
76
86
85
86
学生G
92
84
90
76
83
82
学生H
85
85
91
88
82
84
学生I
84
96
88
88
81
86
学生J
77
92
89
80
82
89
学生K
74
83
89
80
78
80
学生L
90
85
80
92
88
87
学生M
70
72
75
71
72
76
学生N
98
97
92
96
95
93
依据相关规定将考查课所得成绩“优秀、良好、中等、及格”依次量化为百分制分数表示：
分别为95、85、75、65分记，以便于定量性计算，其结果如下：
表格2学生考查课成绩表
姓名
考查课1（0.5）
考查课2（2.0）
考查课3（2.0）
考查课4（1.0）
考查课5（1.0）
考查课6（3.5）
学生A
65
95
95
95
95
95
学生B
65
85
95
95
95
85
学生C
65
95
75
95
95
85
学生D
65
95
95
85
75
75
学生E
65
95
95
95
85
75
学生F
65
85
95
95
85
85
学生G
65
95
85
85
85
75
学生H
65
85
85
95
85
85
学生I
65
85
85
95
95
85
学生J
65
85
85
95
85
85
学生K
65
95
85
95
85
85
学生L
65
95
85
95
95
95
学生M
65
85
75
85
75
75
学生N
65
95
95
95
95
95
在数学上，为了显示若干量数在总量中所具有的重要程度，分别给予不同的比例系数，这就是加权。
学生考试课与学生考查课成绩两种因素对其智育分影响的比重不同我们采用层次权重分析法进行求解。
课程权重系数表
课程类别
考试课
考查课
课程权重系数
0.75
0.25
国家多数高校所采用的综合评估方法中智育分计算方法为：
公式化带入即为：
用Excel将资料所给数据进行计算智育分：
以学生A为例子：
0.75*（1.0*B2+3.5*C2+2.5*D2+5.5*E2+3.5*F2+2.5*G2）+0.25*（0.5*H2+2.0*I2+2.0*J2+1.0*K2+1.0*L2+3.5*M2）所得结果再除以16.575，所求结果即为学生A所得德育分。
模型所求的结果
姓名
智育分X1
学生N
1
93.7632
学生A
2
91.99849
学生B
3
90.85219
学生L
4
87.05882
学生I
5
86.38763
学生F
6
85.02262
学生H
7
84.81146
学生J
8
83.90649
学生C
9
83.01659
学生G
10
81.42534
学生K
11
80.99548
学生D
12
76.1463
学生E
13
75.65611
学生M
14
72.41327
运用层次分析法计算各影响因素的权重，然后来确定综合成绩得分。
综合成绩得分为各部分所占的权重与考试分数以及所占学分的乘积的和与各部分考试权重与学分的积的和的比值。
影响评定的因素的标准值的确定。
由于学校政策的不同，所以对各种情况的积分不同，以河科大奖学金评定所用的加分办法评定本题。
根据目前我国高等教育的培养目标，综合成绩、民主评议、竞赛获奖、学生工作、卫生状况在参评综合奖学金的过程中，重要性依次递减。
所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。
它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。
层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B，计算满足
BW=
W
的特征根与特征向量。
式中，λmax为B的最大特征值；W为对应于λmax的正规化特征向量；W的分量Wi即是相应因素单排序的权值。
为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，定义
CI=
显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0。
λmax-n越大，CI越大，一致性越差。
为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要CI与平均随机一致性指标RI进行比较。
运用乘幂法计算权重及判断矩阵的最大特征值
乘幂法计算步骤：
对于
阶判断矩阵A
a.运用乘幂法求解权重及判断矩阵最大特征向量的步骤如下：
求
中各行元素的乘积，得到
其中，
，
b.求
的
次方根，得到:
其中，
，
。
c.对向量
做归一化处理，得到
其中，
，
，
即为权重值。
d.求判断矩阵最大特征值
其中，
。
由此我们建立如下判断矩阵
运用MATLAB计算得
W=[0.51280.26150.12890.06340.0333]
CR=0.0530<0.1因此具有良好的一致性，可以通过矩阵的相容性检验计算的权重是可以接受的。
设
为第
个综合评定的得分值将奖学金评比影响指标乘以权重系数
得总体计算公式
综合得分
的大小与奖学金的获得呈正相关关系，即综合得分Y越大，越应该获得奖学金。
表格4职务加分细则
职务
加分
权限
分团委副书记、正副主席、
分团委学生会办公室主任
11～12分
团委书记
分团委学生会办公室副主任、部长
8～10分
分团委副书记、正副主席
副部长
7～9分
分团委副书记、正副主席
分团委学生会委员
5～7分
团委学生会
年级长、团总支书记
党支部支委
9～11分
辅导员
年级委员会、团总支委员
5～7分
辅导员
团支书、班长
8～9分
辅导员、团委学生会
班级委员
4～6分
辅导员、团委学生会
课代表、宿舍长
1～2分
团支书、班长
姓名
学生工作
得分
学生A
60
学生B
女工委员
66
学生C
学习委员
66
学生D
纪律委员、某社团宣传部长
67
学生E
班长、某社团办公室主任
69
学生F
60
学生G
团支书
69
学生H
60
学生I
文艺委员
66
学生J
60
学生K
劳动委员、某社团组织部长
67
学生L
60
学生M
60
学生N
体育委员
66
参加比赛对标准值的影响
以国家特等奖作为最高标准，为满分一百分计。
以此类推得奖级别越低加分成下降趋势。
对于没得奖的为0分。
一等奖
二等奖
三等奖
省部级
45
40
35
市级
35
30
25
校级
20
15
10
按照标准学生得分如下：
姓名
获奖情况
学生A
学生B
学生C
校三等
10
学生D
学生E
学生F
省二等
40
学生G
学生H
学生I
校二等
15
学生J
学生K
学生L
学生M
学生N
校一等
25
学生民主投票X4标准得分值
由于班里有32人，得32票为满分，所以个人得分为所得票数除以满票再乘以100就为个人获得民主投票所得分数。
姓名
学生投票
民主投票得分
学生A
26
81
学生B
23
72
学生C
28
88
学生D
20
63
学生E
30
94
学生F
24
75
学生G
26
81
学生H
15
47
学生I
14
44
学生J
17
53
学生K
24
75
学生L
18
56
学生M
12
38
学生N
29
91
卫生状况标准得分值X5的确定：
卫生状况在整个评价模型里所占的权重比较小，在不会产生较大的误差的前提下，我们尽可能采用简单的方法进行换算。
通过以下简单的公式将扣分制换算为百分制得分制：
X5i=100-x5i;
学生姓名
宿舍卫生扣分
分数
学生A
（1）
2
98
学生B
（2）
30
70
学生C（3）
0
100
学生D（4）
50
50
学生E（5）
24
76
学生F（6）
0
100
学生G（7）
45
55
学生H（8）
70
30
学生I（9）
5
95
学生J（10）
0
100
学生K（11）
90
10
学生L（12）
95
5
学生M（13）
90
10
学生N（14）
0
100
奖学金评判综合得分综合评价模型的建立
在建立各个评价指标的得分值模型基础上，利用线性加权求和法确定奖学金评判标准的综合得分，即综合得分值Y：
即：
Yj=w1X1j+w2X2j+w3X3j+w4X4j+x5X5j;
其中wi（i=1，2，3，4，5）表示评判指标Xi的权重，Xij表示第j个同学第i个影响因子的标准得分值（i=1，2，3，4，5；j=1,2,3,·····,14）。
姓名
考试
民主评议
获奖
学生工作
宿舍卫生
综合得分
排名
得奖
学生A
93.7632
81
0
60
98
76.33067
2
二等奖
学生B
91.99849
72
0
66
70
72.52023
5
三等奖
学生C
90.85219
88
10
66
100
78.4044
1
一等奖
学生D
87.05882
63
0
67
50
67.03106
8
三等奖
学生E
86.38763
94
0
69
76
75.78598
3
二等奖
学生F
85.02262
75
40
60
100
75.5021
4
二等奖
学生G
84.81146
81
0
69
55
70.87892
7
三等奖
学生H
83.90649
47
0
60
30
60.12075
12
学生I
83.01659
44
15
66
95
63.35831
10
学生J
81.42534
53
0
60
100
62.74841
11
学生K
80.99548
75
0
67
10
65.72778
9
三等奖
学生L
76.1463
56
0
60
5
57.66232
13
学生M
75.65611
38
0
60
10
52.87045
14
学生N
72.44327
91
25
66
100
71.68231
6
三等奖
通过对比发现在评比过程中不是只看考试和考察成绩，还注重学生在班级里和同学的关系以及在发挥个人潜力方面的得奖情况，对学习成绩特别好的同学同样要发展自己的其他方面，这样才能全面发展。
这也比较符合当代大学的培养目标。
奖学金评定说明
高等学校综合奖学金的评定不仅要关注学生学习，还要看重学生的其他能力，具体来说考虑的因素有如下几点：
1.学习成绩X1
2.民主评议X2
3.竞赛获奖X3
4.学生工作X4
5.卫生状况X5
我们综合考虑几方面的因素并根据各因素不同的重要性，我们运用层次分析法经过合理推算得到X1、X2、X3、X4、X5所占的权重分别为：
W=[0.51280.26150.12890.06340.0333]
对不同的影响因素我们采用不同的数学模型进行分数量化，这样可以防止单一量化方法造成的评价模型片面性。
对学习成绩我们综合考虑考试科目以及考查科目，充分考虑不同种类学分和不同学分的学科对学习成绩的贡献度，进行综合加权的X1的分数。
加权公式为：
A1j表示第j门考试科目的考分，B1j表示第j门考试科目的学分数。
A2J表示第j门考查科目的分数，B2j表示第j门考察科目的学分数。
A2j通过如下方法确定：
优秀——95、良好——85、中等——75、合格——65。
对于竞赛加分和学生工作，我们参考大部分学校的加分政策，并通过功效系数法，对数据进行去量纲并换算为标准百分制得到X2和X3的分数，
以国家特等奖作为最高标准，为满分一百分计。
以此类推得奖级别越低加分成下降趋势。
对于没得奖的为0分。
一等奖
二等奖
三等奖
省部级
45
40
35
市级
35
30
25
校级
20
15
10
对于学生工作情况加分标准为每个学生的基础分为60分，有职务的加上职务分，如果没任何职务则只有基础分60分。
职务
加分
权限
分团委副书记、正副主席、
分团委学生会办公室主任
11～12分
团委书记
分团委学生会办公室副主任、部长
8～10分
分团委副书记、正副主席
副部长
7～9分
分团委副书记、正副主席
分团委学生会委员
5～7分
团委学生会
年级长、团总支书记
党支部支委
9～11分
辅导员
年级委员会、团总支委员
5～7分
辅导员
团支书、班长
8～9分
辅导员、团委学生会
班级委员
4～6分
辅导员、团委学生会
课代表、宿舍长
1～2分
团支书、班长
对于卫生情况，由于该影响因素在综合得分里的影响程度非常小，所以我们可以采用简单的方法把扣分制换算为百分得分制。
换算公式如下：
X5=100-x5
X5为卫生扣分数，X5为卫生状况标准得分。
最后我们对各影响因素的分数值，用它们对应的权重进行线性加权求和，得出每个同学的综合得分Y:
加权公式如下：
具体算式为：
Yj=0.5128X1+0.2615X2j+0.1289X3j+0.0634X4j+0.0333X5j
其中Yj表示第j个学生的综合得分，Xij表示第j个同学的第i项指标标准得分。
最后对各的同学综合得分从高到低排序，取名靠前的分派奖学金。
姓名
综合得分
排名
得奖
学生C
78.4044
1
一等奖
学生A
76.33067
2
二等奖
学生E
75.78598
3
二等奖
学生F
75.5021
4
二等奖
学生B
72.52023
5
三等奖
学生N
71.68231
6
三等奖
学生G
70.87892
7
三等奖
学生D
67.03106
8
三等奖
学生K
65.72778
9
三等奖
五、评价及推广
对于本问题要全面考虑几个方面对奖学金评定的影响，学生奖学金不能只看一个方面，对于学校要培养综合型人才，所以要确定不同因素对奖学金的比重。
根据层次分析的基本原理，建立了评定标准合理性评价指标体系的递阶结构，根据本校情况和分析者的认识，建立各级评价指标的判断矩阵，最终求出各级评价的权重系数，通过一致性检验知，各评价指标的权重系数是可以接受的。
最后建立综合的评价模型。
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