高中数学《三角函数的图象和性质》教案6新人教A版必修4.docx
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高中数学《三角函数的图象和性质》教案6新人教A版必修4
2019-2020年高中数学《三角函数的图象和性质》教案6新人教A版必修4
一、教学目标：
1．知识目标：
正弦函数的图象
2．能力目标：
（1）会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象
（2）会用五点法画出正弦函数的简图
3．情感目标：
发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系
二、教学重点、难点：
重点：
用五点法画正弦曲线
难点：
利用单位圆中的正弦线画正弦曲线
三、教学方法：
借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。
以讲授法为主。
四、教学过程：
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习前面所学的正弦函数的对应法则、定义域、正弦线，诱导公式一等内容。
教师提问：
正弦函数的对应法则、定义域、正弦线，诱导公式一分别是什么？
学生回答：
正弦函数的对应法则是；定义域是R；正弦线即把正弦值几何化；诱导公式一是
教师点评：
只有明白以上的基本知识，才能为后续的学习提供条件。
温故知新
图
象
的
形
成
1．如何画出正弦函数的图象
2．学生比较所画图象
3．用正弦线作图象
4．用五点法画正弦函数的简图
1．教师提问：
初中学习过的画函数的基本方法是什么？
你能否使用该方法画出图象
学生作图：
教师在此过程中引导学生在列表的过程中比较以度为单位和以弧度为单位哪一种更简洁，进而描点、连线。
该过程中要适时的指点学生并加强学生与学生之间的和讨论和交流。
2．学生相互比较所画的图象，因各自所画图象不尽相同，故产生疑问
教师提出问题：
谁画的图象最准确？
怎样才能使所画图象更准确？
有没有更好的方法？
3．第一步：
列表，首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线（这等价于描点法中的列表）．
第二步：
描点。
我们把x轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．
第三步：
连线。
用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
因为所以正弦函数在，，时的图象与的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把y=sinx，x∈[0，2π]的图象沿x轴平移，就可以得到y=sinx，的图象。
4．教师提问：
观察图象，你认为在x∈[0，2π]这一区间上，其关键作用的点有几个，分别是什么？
学生回答：
这五个点分别是
教师提问：
你以后再画正弦函数图象会采取什么办法？
学生回答：
画出以上的五点，在用光滑的曲线连结即可。
教师总结：
以上方法称为“五点法”，是最常用的画正弦函数图象的方法。
1．复习初中所学的描点作图法，进而引出如何才能更准确地画出正弦函数图象的问题。
2．交流、置疑
3．准确地画出正弦函数在上的图象，但是此方法比较耗时，不太实用。
4．让学生在体验、比较各种方法之后，得出“五点法”
是常见、易用的方法，发展学生归纳概括的能力
应
用
举
例
例1．用“五点法”作函数，在上的简图
学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导。
让学生巩固“五点法”，记住五点的坐标。
归
纳
小
结
知识：
正弦函数图象的画法
方法：
“五点法”作图
让学生谈一谈本节课的收获并进行反思
教师归纳
关注学生自主体验，反思和发表本节课的体验和收获
布
置
作
业
层次一：
练习A的1、2
层次二：
练习B的1、2
作业分两个层次：
层次一要求所有的学生都要完成；层次二要求学有余力的学生完成
通过分层作业要求学生巩固本节课所学内容
必修41.3.1正弦函数的图象性质
（2）
教学目标：
1．知识与技能
（1）理解正弦函数的性质
（2）理解周期函数与最小正周期的意义
2．过程与方法
通过正弦函数的图像，进一步体会数形结合的思想方法。
3．情感、态度与价值观
通过正弦函数性质的学习，培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。
教学重点：
正弦函数的性质
教学难点：
正弦函数的周期性
教学方法：
引导学生正弦函数的图像，观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。
首先由形及数，数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳正弦函数的性质，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数的性质的全面的理解与认识。
教学过程：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1．复习的图像
2．函数的性质有哪些？
教师提出问题，
学生回答。
为学生认识函数
的性质作好准备。
性质教学
正弦函数的值域与最值
正弦函数的图像
值域：
观察正弦曲线分布在两条平行直线和
之间，这表明
最值：
当且仅当
时，正弦函数取得最大值；
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
动态演示正弦线的运动：
当且仅当
时，正弦函数取得最大值；
观察正弦线的变化得：
值域：
正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度，这表明
最值：
当角的终边与轴的正半轴重合时，正弦函数取得最大值，
即当且仅当
时，正弦函数取得最大值；
当角的终边与轴的负半轴重合时，正弦函数取得最小值，
即当且仅当
时，正弦函数取得最小值；
从正弦曲线与正弦线两种途径探索正弦函数的性质，加深对二者的巩固与复习，体会数形结合思想在函数中的作用
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
正弦函数的周期性
正弦曲线连续不断无限延伸的形状
图
（1）
图
（2）
图
（2）
图（3）
演示前一节所做图象并提出问题
（1）：
上节课我们研究的正弦曲线和以往的函数图象有什么不同？
正弦图象和图
（2）、（3）有什
么相同点和不同点？
如何描述图
（1）、图（3）的图象特征
教师结合课件提问，从具体到抽象从特殊到一般。
观察图
（1）可知：
观察图（3）可知：
（1）引导学生进入探究的思维场
（2）对比思维
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.
说明：
正弦函数是一个周期函数，都是它的周期，是其最小正周期
由图
（2）的分析可知：
当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦函数的值重复出现.
在单位圆中,当角的终边绕原点转动回到原处时,正弦线的数量（长度和符号）不发生变化。
师生共同总结函数周期性的定义。
从感性认识向理性认识从过渡最后抽象概括
并渗透三种语言的转化
性质教学
正弦函数的奇偶性
教师提出问题：
1．如何判断函数的奇偶性？
2．正弦函数具有奇偶性吗？
3．如何判断它的奇偶性？
学生回答：
1．
偶函数
图像关于轴对称；
奇函数
图像关于成中心对称。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
正弦函数的图像
正弦函数的单调性
正弦函数的一个周期内的图像中，如图：
2．正弦函数具有奇偶性。
3．方法一：
由诱导公式
可知，正弦函数是奇函数。
方法二：
正弦函数的图像关于原点成中心对称可知，正弦函数是奇函数。
方法三：
由正弦线知，角的正弦线知，，故正弦函数是奇函数。
教师引导学生观察正弦曲线在一个周期的图像，可以看出：
当由增加到时，由增加到；
当由增加到时，由减小到。
教师根据学生的回答，得出左边的表格，直观体现变化趋势。
教师引导学生从诱导公式、正弦曲线、正弦线三种角度探究正弦函数的奇偶性，温故知新。
从正弦曲线及正弦线双重角度体会正弦函数的单调性，进一步体会三角函数线及正弦曲线的工具性。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
性质教学
动态演示正弦线的运动：
随着正弦线的变化，体会正弦函数的单调性。
学生总结正弦函数的单调性：
单调递增区间：
单调递减区间：
应用举例
例1．设，求的取值范围。
例2．求使下列函数取得最大值和最小值的的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：
（1）
（2）
（3）
例3．求下列函数的周期
（1）
（2）
例4．不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：
（1）；
（2）
师：
例1中体现出什么基础知识？
例2
（1）中体现什么基本方法？
例2
（2）中为什么与同时取得最大值？
例2（3）通过观察题目结构可以利用什么方法转化成什么问题？
例3基本三角函数的最小正周期是什么？
怎样利用换元法解决
（1）
（2）的周期？
对一般的函数
如何求出周期？
使学生巩固掌握正弦函数的性质。
从特殊到一般，类比思维
归纳小结
1．知识：
正弦函数的性质。
2．思想方法：
数形结合思想、换元法、类比法。
学生反思本节内容，对知识进行总结，教师对思想方法进行提炼。
让学生学会学习，学会总结。
布置作业
层次1：
43页A中3、5；B中3。
层次2：
43页A中4。
层次1要求所有学生完成；层次2要求中等以上水平完成。
使学生进一步巩固和应用所学知识。
必修41.3.1正弦函数的图象性质（3）
一、教学目标
（一）、知识与技能：
1、初步认识振幅、周期、频率、初相的概念，认识正弦型函数；
2、会“五点作图”作正弦型函数的图象。
例：
、、、、、等；
3、能够认识以上这些函数与正弦函数图象的关系，即它们是如何通过正弦函数图象平移、伸缩而得到；
4、能够根据图象的特征写出正弦型函数的解析式，并能由解析式求出函数的周期、最值等；
5、明确的物理意义，把数学知识用在解决相关的物理等实际问题中的能力。
（二）、过程与方法：
1、通过“五点作图”法，使得学生掌握作三角函数图象的一种一般方法；
2、通过图象变换的学习，培养运用数行结合思想分析、研究问题的能力，以及探究、创新的能力；
3、通过图象的对比，学生利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析、解决问题；
4、培养逆向思维解决问题的能力；
（三）、情感、态度与价值观：
1、通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃；
2、事物之间总是有联系的，通过现象能够看到不同表象背后的共性，培养概括、归纳的思维习惯；
3、培养动与静的辩证关系；
4、渗透数形结合的思想方法。
二、教学重点、难点
重点：
“五点作图”法；图象的平移与伸缩变换。
难点：
图象的平移与伸缩变换；函数与的图象的关系。
三、教学方法
问题+资料，引导式教学方法
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情景引入
1、放短片---大观览车
学生观看短片
老师提出问题：
问题1：
已知转轮半径为R，转轮距地面最近距离1米，转动的角速为（），有一人在的位置，如图，此时。
当经过t秒后，点到达点的位置，求此时此人的距地面高度。
（座椅的高度不计）
生：
动手解决问题
教师引导归纳：
将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生建模的能力
利用解析法研究问题的能力
概念形成
引出概念
振幅、周期、频率、相位、初相
（幻灯片）函数，表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；称为相位；时的相位称为初相。
老师讲解：
如果以转轮轴心为坐标原点建立坐标系，那么，点P位置的纵坐标是，这种函数我们在前一节见到过：
我们把这种形式的函数称为正弦型函数。
学生看书44页，第一自然段
培养学生自主学习的能力
应用举例
例1、用五点作图法作下列函数一个周期上的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（一半学生完成例1，另一半学生完成例2，最后互相交流）
解：
（1）易知，函数的周期，作的简图
列表：
描点作图：
X
0
sinx
0
1
0
-1
0
3sinx
0
3
0
-3
0
先复习回顾正弦函数的五点作图法
师：
提问
生：
回答
师：
请同学们用“五点法”作出下列函数在一个周期上的简图
生：
动手做图
（1）、（4）
列表描点连线（光滑曲线）
（2）、（3）可以利用电脑生成，分别放在一个坐标系中与函数的图像分别比较。
师：
（1）请说出每个函数的最大值、最小值、值域，振幅，周期等；
（2）在同一坐标系中，对比这些函数分别与图象的关系，观察图像说出它们（例：
和）分别是由的图象如何变换得到？
（3）学生总结归纳：
的值域是[-3，3]，图象可看作把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）而得到。
师引导归纳：
1、函数的值域是，可知的大小，
巩固、强化学生
动手作图的能力
培养学生类比、归纳的能力
例2、用五点作图法作下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
方案二：
例1课上研究、交流，例2课下作业，学生独立研究完成
反映曲线波动幅度的大小。
2、一般地，函数（其中A）0，且A）的图象，可以看作把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0（4）学生总结：
函数的图象可看作曲线上所有点向左平移个单位长度得到。
师引导归纳：
一般地，把函数的图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）平移个单位长度，就得到函数。
（5）类似，由学生完成总结型
培养学生抽象概括的能力
应用举例
例3、如图，是一个按照正弦规律变化的交流电的图象，根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式。
老师给出问题，图象
学生：
看图、思考并回答问题
读图、提取信息的能力
思维拓展
总结归纳图象变换的一般规律：
由图象经过怎样的变化得到
问题：
由两条途径得到的图象
途径一：
步骤1----由
步骤2-----（沿x轴平移）
步骤3----（）
步骤4----（）
得到:
函数的图象
途径二：
步骤1----由
步骤2-----（所有点的纵坐标不变，横坐标发生变化）
步骤3----（）
步骤4----（）
得到:
函数的图象
培养思维的条理性
使思维向纵深发展，进一步揭示客观事物的内在规律
归纳小结
知识方面：
图象的平移规律；
方法：
1、数形结合的思想；
2、由特殊到一般的研究规律
让学生谈本节课的收获，并进行反思
教师归纳
作业
层次一：
教材49页练习A，T1（4），T2（3）、（4），习题1-3AT7、T8
层次二：
习题1-3BT1、T2、T3、T4
作业分两个层次，第一层次要求所有学生都要完成；第二层次要求学有余力的学生完成。
通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容
板书设计
课后反思
必修41.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
（1）
一、教学目标
1、知识与技能目标：
理解余弦函数的性质，能正确使用“五点法”“几何法”“图象变换法”画出余弦函数的图象。
2、过程与方法目标：
通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
3、情感、态度与价值观目标：
通过图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
二、教学重点、难点：
本小结的教学重点是余弦函数的性质与图象，用“五点法”作函数的图象，并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。
难点是余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及的图象画法。
三、教学方法：
本节教学方法选用类比法，通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质，从而达到温故知新的教学效果。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
复习1、正弦函数的图象与性质
2、回顾图象平移的有关知识
3、画出函数的图象
4回顾公式
引出函数的图象
师：
前面我们学习了正弦函数的图象与性质，请同学们在下面画出正弦函数的图象并写出性质。
生：
学生独立完成。
师：
教师正确点拨。
关于图象平移我们常见的有哪些？
生：
学生回答。
深入浅出，温故知新。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
习
引
入
师：
教师整理。
你能运用图象的平移画出函数的图象吗？
生：
学生试画，教师矫正。
师：
概
念
形
成
由上得出的图象。
性质：
1、定义域：
2、值域：
的最大值为1，最小值为
3、周期：
4、奇偶性：
偶函数，图象关于y轴对称
5、单调性：
单调减区间：
；
单调增区间：
让同学观察图象，通过与函数类比的方法得出的性质。
由学生独立完成，教师完善
通过类比法，学生会轻松得出余弦函数的性质，从而会增加学生学习的自信心，激发学习的兴趣。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
巩
固
概
念
例1求下列函数的最大值或最小值：
（1）
（2）
（3）
例2判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）y=sinxcosx
练习：
第53页练习A的1、2题。
在教师的启发下，尽量由学生完成，最后给出正确的解题步骤。
练习由学生独立完成，大家共同完善正确答案。
让学生感知，如何用学的知识去解决问题。
复
习
引
入
（1）前面我们用五点法画的图象，那么大家能否用五点法画的图象？
请画的简图。
（2）类比的图象的变化性质，讨论的图象的性质。
学生独立画图象，并观察图象，结合前面学过的的图象性质给出相应结论。
教师设问：
（1）在中振幅=？
周期T=？
频率f=？
初相=？
（2）与的图象之间有什么关系？
学生回答：
（1）振幅=
（2）周期T=
（3）频率
（4）初相=
依旧引新，类比推理，降低难度，调动学生主动思考，增加自信、成就感。
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
（5）可以看作是由向左平移得到。
概
念
形
成
（1）振幅
（2）周期T=
（3）频率
（4）初相=
师：
由同学对以上问题的回顾与研究，对于你能得到什么结论？
锻炼学生积极思考、归纳总结的能力
概
念
巩
固
例3：
求函数的周期、振幅、频率、初相。
练习：
求下列函数的振幅、周期、初相。
（1）
（2）
例3以学生为主，教师为辅。
练习由学生独立完成，教师指导。
对学习的新知识进行检测与巩固。
概
念
深
化
练习1：
下列各题中，两个函数的图象之间有什么关系？
（1）与
（2）与
（3）与
师：
学生思考，利用平移变换，如何将
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
（4）与
练习2：
求函数的单调区间。
学生思考，教师指导。
根据学生接受程度增删，意在对所学知识有深刻的全面的理解。
归
纳
小
结
1、知识：
a、余弦函数图象与性质；b、
的图象与性质。
2、数学思想方法：
类比法、数形结合思想。
让学生谈本节课的收获，并进行反思，教师协助归纳。
让学生学会反思、总结、自主学习，重视数学思想方法在研究解决问题中的作用。
布
置
作
业
P53：
练习A
P61：
1、
（2）；2、
（2）；
3、（3）；4、（4）；
8、
（1）（4）。
作业分两个层次，第一层次要求所有学生都要完成；第二层次要求学有余力的学生完成。
通过分层使学生进一步巩固本节课所学内容。
必修41.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
（2）
一、教学目标
1、知识目标
（1）通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象；
（2）借助图象理解正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
2、能力目标
（1）迁移、类比的能力
（2）绘图，观察，类比推理，探索知识。
3、情感目标
（1）渗透数形结合的思想，用数形结合的思想理解和处理问题。
（2）学生养成看问题要从实际出发，尊重客观规律，懂得实践是认知的源泉；发现数学美；体验成功后的喜悦。
二、教学重点、难点
1、教学重点：
正切函数的图象及正切函数的主要性质
2、教学难点：
利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线是此图象的两条渐近线。
3、学好本部分的关键：
充分利用图象说明正切函数的特性，通过一定的训练使学生了解图象性质。
三、教学方法
通过类比正弦、余弦的作图方法，会画出正切函数的图象，利用正切线画出正切函数的图象，并认识到直线是此图象的两条渐近线。
借助单位圆的直观，教师可以引导学生自主地探索三角函数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1、复习我们已经研究了的正弦函数、余弦函数的图象和性质
2、复习单位圆的正切线。
3、利用正切函数与正弦、余弦函数存在商数关系，知道正切函数的周期π。
研究正切函数的和性质只须研究其一个周期里的图象和性质即可.那么如何选择这个周期的左右端点呢？
类比正弦、余弦函数图象的画法，你能否画出正切函数的图象呢？
教师提出提出问题，学生回答。
从已有的知识出发，发现新知。
通过对正切线的复习为研究正切函数的图象做好准备。
概念形
成
一、正切函数的图象
1、根据正切函数的定义域：
，我们常常选择这一周期研究正切函数的图象。
2、做正切函数图象的步骤：
①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．
②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
③找横坐标（把轴上到这一段分成8等份）．
④找纵坐标，正切线平移．
⑤连线．
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”
可以看出，正切曲线是由通过点且与y轴互相平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成。
二、正切函数的性质
1、定义域：
，
2、值域：
R
观察：
当从小于，时，
当从大于，时，。
3、周期性：
4、奇偶性：
奇函数。
5、单调性：
在开区间内，函数单调递增。
1、让学生类比正弦、余弦函数图象的画
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