第三章 32 第二课时 零点的存在性及其近似值的求法.docx

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第三章32第二课时零点的存在性及其近似值的求法

第二课时　零点的存在性及其近似值的求法

课标要求

素养要求

1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间.

2.了解二分法求函数的近似零点.

3.能解决二次函数零点分布问题.

1.通过判定零点所在区间及二分法求零点的近似值，培养数学运算素养.

2.通过零点个数的判定、二次函数零点分布问题，培养逻辑推理、直观想象素养.

教材知识探究

如图，已知A，B是函数y＝f（x）图像上的两点且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线：

问题　

（1）函数y＝f（x）在[a，b]上一定存在零点吗？

（2）若函数y＝f（x）在[a，b]上单调，则f（x）在[a，b]上有几个零点？

（3）若函数y＝f（x）在[a，b]上只有一个零点，则y＝f（x）在[a，b]上一定具有单调性吗？

（4）若函数y＝f（x）在[a，b]上有两个零点，则y＝f（x）在[a，b]上具有单调性吗？

提示　

（1）y＝f（x）在[a，b]上一定存在零点.

（2）只有一个零点.

（3）y＝f（x）在[a，b]不一定具有单调性.

（4）y＝f（x）在[a，b]上不具有单调性.

1.函数零点存在定理,

满足定理两个条件，一定有零点；不满足两个条件，也可能有零点）

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）<0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即∃x0∈（a，b），f（x0）＝0.

2.二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.

3.二分法求函数近似零点的步骤

在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f（a）f（b）<0），给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下：

第一步　检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝

，计算结束；如果不成立，转到第二步.

第二步　计算区间（a，b）的中点

对应的函数值，若f

＝0，取x1＝

，计算结束；若f

≠0，转到第三步.

第三步　若f（a）f

<0，将

的值赋给b

，回到第一步；否则必有f

f（b）<0，将

的值赋给a，回到第一步.

这些步骤可用如图所示的框图表示.

教材拓展补遗

[微判断]

1.若函数y＝f（x）在[a，b]上图像连续，且f（a）f（b）>0，则y＝f（x）在（a，b）内一定没有零点.（×）

提示　不正确.如函数f（x）＝x2在[－1，1]上有零点为0.

2.若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，则f（a）f（b）<0.（×）

提示　不正确.如

（1）中的例子.

3.若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[a，b]上至多有一个零点.（√）

4.二分法可求所有函数的近似零点.（×）

提示　当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点.

[微训练]

1.函数f（x）＝x3＋x－

的零点所在区间是（　　）

A.（－1，0）　　　　　B.（0，1）

C.（1，2）D.（－2，－1）

解析　∵f（－2）＝（－2）3＋（－2）－

<0，f（－1）＝（－1）3＋（－1）－

<0，f（0）＝－

<0，f

（1）＝1＋1－

>0，f

（2）＝23＋2－

>0，

∴f（0）f

（1）<0，又f（x）的图像在[0，1]上是连续不断的，故由函数零点存在定理知f（x）在（0，1）上存在零点.

答案　B

2.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是（　　）

A.1个B.2个

C.0个D.无法确定

解析　∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.

答案　B

3.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是（　　）

解析　对于选项A，图像与x轴无交点，不存在零点；对于选项B，图像与x轴有公共点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点.故选C.

答案　C

[微思考]

1.有的同学认为，对于函数f（x）＝x＋

，有f

（1）f（－1）<0，则函数f（x）一定有零点.你认为正确吗？

提示　f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），它在（－1，1）上不是连续的，不能用零点存在定理判定.

事实上，∵f（x）∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），∴f（x）无零点.

2.若函数y＝f（x）不满足零点存在定理的两个条件，这个函数可能有零点吗？

提示　可能有零点，也可能没有零点.

题型一　函数零点存在定理的应用

【例1】　求证函数f（x）＝x3－3x＋2至少有一个零点.

证明　法一　∵f（x）＝x3－3x＋2＝x3－1－3（x－1）＝（x－1）2（x＋2），

∴f（x）有两个零点为－2，1.故f（x）至少有一个零点.

法二　由f（x）＝x3－3x＋2，得f（0）＝2，f（－3）＝－16，又∵f（x）图像在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f（x）在[－3，0]上至少有一个零点.

规律方法　1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.

2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图像进行判定.

【训练1】　

（1）判断函数f（x）＝

－x2零点的个数；

（2）求证函数f（x）＝x3＋x＋1只有一个零点.

解　

（1）法一　∵f（x）＝

－x2＝

，∴f（x）只有一个零点

.

法二　令y1＝

，y2＝x2，在同一坐标系中作出它们的图像如图.

两函数图像只有一个交点，故f（x）只有一个零点.

（2）因为x3，x＋1在R上均为增函数，∴f（x）＝x3＋x＋1在R上单调递增且在R上图像是一条连续曲线.又∵f（－1）＝－1，f（0）＝1，

∴f（x）在（－1，0）上有且只有一个零点.

故f（x）＝x3＋x＋1只有一个零点.

题型二　二分法求函数零点的近似值

【例2】　求函数f（x）＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点（精确到0.1）.

解　由于f

（1）＝－6＜0，f

（2）＝4＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间.

用二分法逐次计算，列表如下：

端点或中点横坐标

计算端点或中

点的函数值

定区间

a0＝1，b0＝2

f

（1）＝－6，f

（2）＝4

[1，2]

x1＝

＝1.5

f（x1）＝－2.625＜0

[1.5，2]

x2＝

＝1.75

f（x2）≈0.2344＞0

[1.5，1.75]

x3＝

＝1.625

f（x3）≈－1.3027＜0

[1.625，1.75]

x4＝

＝1.6875

f（x4）≈－0.5618＜0

[1.6875，1.75]

x5＝

＝1.71875

f（x5）≈－0.171＜0

[1.71875，1.75]

x6＝

＝1.734375

f（x6）≈0.03＞0

[1.71875，1.734375]

至此可以看出，区间[1.71875，1.734375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.

规律方法　1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.

2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.

【训练2】　求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点（精确到0.1）.

解　由于f

（1）＝1－1－1＝－1＜0，

f（1.5）＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，

∴f（x）在区间[1，1.5]内存在零点，

取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，

用二分法逐次计算，列表如下：

端点或中点横坐标

计算端点或中点的函数值

定区间

a0＝1，b0＝1.5

f

（1）＝－1，

f（1.5）＝0.875

[1，1.5]

x0＝

＝1.25

f（x0）＜0

[1.25，1.5]

x1＝

＝1.375

f（x1）＞0

[1.25，1.375]

x2＝

＝1.3125

f（x2）＜0

[1.3125，1.375]

x3＝

＝1.34375

f（x3）＞0

[1.3125，1.34375]

∵区间[1.3125，1.34375]内的所有值精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.

题型三　二次函数零点的分布

【例3】　函数f（x）＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.

解　由题意知k≠0，当k＞0时，需f

（1）<0，解得k>－4，故k>0；

当k<0时，需f

（1）>0，解得k<－4.

综上k的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.

规律方法　1.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）的零点分布问题：

（1）两零点都大于m⇔

（2）两零点在（m，n）内⇔

（3）一零点比m大，一零点比m小⇔f（m）＜0；

（4）一零点比m小，一零点比n大（m≤n）⇔f（m）＜0且f（n）＜0；

（5）一零点在（m，n）内，一零点在（p，q）内（m＜n≤p＜q）⇔

2.二次方程根的分布问题可转化为对应的二次函数的零点分布问题.

【训练3】　若函数f（x）＝kx2－（2k＋1）x－3在（－1，1）和（1，3）内各有一个零点，求实数k的取值范围.

解　∵函数f（x）＝kx2－（2k＋1）x－3的图像是连续曲线，∴由题意可知f（－1）f

（1）<0且f

（1）f（3）<0，

即

即

解得k<－4或k>2.

故所求的实数k的取值范围是（－∞，－4）∪（2，＋∞）.

一、素养落地

1.通过本课内容，主要训练数学运算和逻辑推理素养.

2.判定零点个数，若函数的零点易求，可直接求出零点，否则，一种方法是利用零点存在定理并结合函数性质（如单调性），另一种方法是把f（x）转化为f1（x）－f2（x），作出在同一坐标系中f1（x）和f2（x）的图像，观察判断它们交点的个数.

3.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.

二、素养训练

1.设用二分法求方程f（x）＝0在x∈（1，2）内的近似解的过程中得f

（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（　　）

A.（1，1.25）B.（1.25，1.5）

C.（1.5，2）D.不能确定

解析　∵f（1.5）f（1.25）＜0，

∴方程的根落在区间（1.25，1.5）上.

答案　B

2.在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（　　）

A.0.68B.0.72

C.0.7D.0.6

解析　已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝（0.64＋0.72）/2，且f（0.68）＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.

答案　C

3.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________.

解析　令f（x）＝x3－2x－5，f（x）图像在[2，3]上连续不断，

∵f

（2）＝－1＜0，f（3）＝16＞0，f（2.5）＝5.625＞0，

∴f

（2）f（2.5）＜0，

故下一个有根区间是[2，2.5].

答案　[2，2.5]

4.下列函数图像均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________（填序号）.

解析　图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.

答案　③

5.已知函数f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，求实数a的取值范围.

解　由于函数f（x）的图像开口向上，对称轴是x＝－

∉（0，1），因此有

即

所以－2＜a＜0，即a的取值范围为（－2，0）.

基础达标

一、选择题

1.对于函数f（x）在定义域内用二分法求零点的过程如下：

f（2017）＜0，f（2018）＜0，f（2019）＞0，则下列叙述正确的是（　　）

A.函数f（x）在（2017，2018）内不存在零点

B.函数f（x）在（2018，2019）内不存在零点

C.函数f（x）在（2018，2019）内存在零点

D.函数f（x）在（2017，2018）内可能存在零点

解析　由于只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点，所以在不清楚f（x）的图像是不是连续的情况下，选项C不一定正确.只有选项D正确.

答案　D

2.用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（　　）

A.[－2，1]B.[－1，0]

C.[0，1]D.[1，2]

解析　由于f（－2）＝－3＜0，f

（1）＝6＞0，故可以取区间[－2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.

答案　A

3.下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，正确的是（　　）

A.若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点

B.若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值

C.函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点

D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解

解析　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.

答案　A

4.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（x∈R，a≠0）的部分对应值如下表：

x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

y

6

m

－4

－6

－6

－4

n

6

不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根所在区间是（　　）

A.（－3，－1）和（2，4）B.（－3，－1）和（－1，1）

C.（－1，1）和（1，2）D.（－∞，－3）和（4，＋∞）

解析　由表格中数据可知f（－3）f（－1）＜0，

f

（2）f（4）＜0，又二次函数的图像是连续不断的，故选A.

答案　A

5.若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f

（1）f

（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是（　　）

A.函数f（x）在区间（0，1）内有零点

B.函数f（x）在区间（1，2）内有零点

C.函数f（x）在区间（0，2）内有零点

D.函数f（x）在区间（0，4）内有零点

解析　由f

（1）f

（2）f（4）<0知，f

（1），f

（2），f（4）中有一个或三个小于0，∴函数f（x）在区间（0，4）内有零点，选D.

答案　D

二、填空题

6.用二分法求函数y＝f（x）在区间（2，4）上的近似零点，验证f

（2）f（4）＜0，给定精度ε＝0.01，取区间（2，4）的中点x1＝

＝3，计算得f

（2）·f（x1）＜0，则此时零点x0∈________（填区间）.

解析　∵f

（2）f（4）＜0，f

（2）f（3）＜0，

∴f（3）f（4）＞0，故x0∈（2，3）.

答案　（2，3）

7.f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

f

（1）＝－2

f（1.5）＝0.625

f（1.25）＝－0.984

f（1.375）＝－0.260

f（1.4375）＝0.162

f（1.40625）＝－0.054

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确到0.1）为________.

解析　∵f（1.4375）＝0.162，

f（1.40625）＝－0.054，

∴f（1.4375）f（1.40625）＜0，

即方程有一个近似解在（1.40625，1.4375）内.

又（1.40625，1.4375）内的所有值精确到0.1都为1.4，所以1.4就是所求方程精确到0.1的近似根.

答案　1.4

8.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量稍轻），现在只有一台天平，请问：

最多需要称________次就可以发现这枚假币.

解析　由二分法的原理可得，最多需要4次.

答案　4

三、解答题

9.用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点（精确到0.1）.

解　f

（1）＝－2＜0，f

（2）＝5＞0，因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，见下表：

端点或中点横坐标

计算端点或中点的函数值

定区间

a0＝1，b0＝2

f

（1）＝－2，f

（2）＝5

[1，2]

x0＝

＝1.5

f（1.5）＝0.375

[1，1.5]

x1＝

＝1.25

f（1.25）＝－1.0469

[1.25，1.5]

x2＝

＝1.375

f（1.375）＝－0.4004

[1.375，1.5]

x3＝

＝1.4375

f（1.4375）＝－0.0295

[1.4375，1.5]

x4＝

＝1.46875

f（1.46875）＝0.1684

[1.4375，1.46875]

x5＝

＝1.453125

f（1.453125）＝0.06838

[1.4375，1.453125]

x6＝

＝1.4453125

f（1.4453125）＝0.0192

[1.4375，1.4453125]

∵1.4375与1.4453125精确到0.1时，近似值都为1.4，∴函数f（x）＝x3－3精确到0.1的近似正零点为1.4.

10.若函数f（x）＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，求实数a的取值范围.

解　当a＝0时，f（x）＝－x－1，

令f（x）＝0，得x＝－1，符合题意；

当a>0时，此函数图像开口向上.

又f（0）＝－1<0，结合二次函数图像（略）知符合题意；

当a<0时，此函数图像开口向下.

又f（0）＝－1<0，从而有

即a＝－

.

综上可知，实数a的取值范围为[0，＋∞）∪

.

能力提升

11.已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f

（1）＞0.

（1）证明a＞0；

（2）利用二分法证明方程f（x）＝0在[0，1]内有两个实根.

证明　

（1）∵f

（1）＞0，∴3a＋2b＋c＞0，

即3（a＋b＋c）－b－2c＞0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，

则－b－c＞c，即a＞c.

∵f（0）＞0，∴c＞0，则a＞0.

（2）在[0，1]内选取二等分点

，

则f

＝

a＋b＋c＝

a＋（－a）＝－

a＜0.

∵f（0）＞0，f

（1）＞0，

∴f（x）在区间

和

上至少各有一个零点，

又f（x）最多有两个零点，从而f（x）＝0在[0，1]内有两个实根.

12.已知函数f（x）＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的实数a的取值范围.

（1）函数f（x）没有零点；

（2）函数f（x）有两个零点；

（3）函数f（x）有三个零点；

（4）函数f（x）有四个零点.

解　令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g（x）＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g（x）＝|x2－2x|的图像（如图所示），由图像可知：

（1）当a＜0时，函数y＝a与y＝g（x）的图像没有交点，

即函数f（x）没有零点.

（2）当a＝0或a＞1时，函数y＝a与y＝g（x）的图像有两个交点，即f（x）有两个零点.

（3）当a＝1时，函数y＝a与y＝g（x）的图像有三个交点，即f（x）有三个零点.

（4）当0＜a＜1时，函数y＝a与y＝g（x）的图像有四个交点，即f（x）有四个零点.