等边三角形解答题.docx

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等边三角形解答题

等边三角形

一．解答题（共30小题）

1．（2013秋•广州校级期中）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

2．（2013秋•西湖区校级期中）如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=10厘米，DC=4厘米．如果点M以3厘米/秒的速度运动．

（1）如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．

①经过2秒后，△BMN和△CDM是否全等？

请说明理由．

②当两点的运动时间为多少时，△BMN是一个直角三角形？

（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是　　　　　　厘米/秒．（直接写出答案）

3．（2013秋•西安校级月考）已知等边三角形AOB的边长为32，以AB边上的高OA1为边按顺时针方向做等边三角形OA2B2，与OB相交于A2，如图，按此做法进行下去．

（1）求线段OA1，OA2的长度；

（2）写出OA3，OA4，OA5的长，你能用一句话或一个等式描述各三角形边长之间的关系吗？

（3）用你发现的规律，求△OA6B6的周长和面积．

4．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

5．（2012•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．

（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；

（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，

（1）中结论是否成立？

若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；

（3）若AC=3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？

如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．

6．（2012•保定一模）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：

△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？

若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？

若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

7．（2012•麻城市校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．

8．（2012•西青区二模）Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA，OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为x轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内做等边△ODE．

（1）如图

（1），当E点恰好落在线段AB上，求E点坐标；

（2）在

（1）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移如图，图中是否存在一条与线段OO′始终相等的线段？

如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；

（3）若点D从原点出发沿x轴正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

9．（2012•仪陇县模拟）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

10．（2012•惠山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（﹣4，0），点B在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）连接DP，猜想△APD的形状，并加以说明；

（2）当点P运动到点

时，求此时DP的长；

（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于

？

若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2012•牡丹江模拟）已知：

等边△ABC中，当点D在BC边上，点E在AC边上，且BD=CE，连接AD、BE，交于点F，如图

（1）易证：

∠AFE=∠ABD．当点D在BC的延长线上，点E在CA的延长线上；当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上．而其它条件不变时，∠AFE与∠ABD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并选出一种情况加以证明？

12．（2012•淮安模拟）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，OB=4，以O点为原点，OB边所在直线为x轴，建立直角坐标系．在x轴上取一点D（2，0），作一个边长为2的等边△PDE，此时P点与O点重合，E点在线段AB上（如图）．将△PDE沿x轴向右平移，直线AB与直线ED交于点F，回答下列问题：

（1）找出一条与OP始终相等的线段，并说明理由；

（2）设点P与原点的距离为x，此时等边△PDE与Rt△AOB重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（图2，图3为备用图）

13．（2012•河东区一模）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．

（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

14．（2012•绍兴三模）已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．

（1）如图1，若AB=

，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

（3）若AB=

，设BP=4，求QF的长．

15．（2012•哈尔滨模拟）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F分别在边AB，AC上．

（1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：

AE+AF=

BC．

（2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．

（3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对

（1），

（2）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD）的长．

16．（2012秋•宝应县校级期中）如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC在∠MON内部，但两顶点A、B分别在边OM、ON上滑动，点D是AB边中点

（1）求CD的长度；

（2）探究：

△ABC在滑动的过程中，点C与点O之间的最大距离是多少．

17．（2012秋•洪山区期中）如图，等边△ABC和等边△DEC，CE和AC重合，CE=

．

（1）求证：

AD=BE；

（2）若CE绕点C顺时针旋转30°，连BD交AC于点G，取AB的中点F边FG．求证：

BE=2FG．

18．（2012秋•洪山区期中）

（1）如图，在等边△ABC中，N为ABC中，N为BC边上任意一点（不含B、C两点），CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线．若∠ANM=60°，求证：

AN=NM．

（2）如图，在等边△ABC中，N为BC延长线上任意一点，CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，若∠ANM=60°，请问AN=NM是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

19．（2011•房山区一模）已知：

等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：

PA+PD+PC＞BD．

20．（2011•锦州一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，P为BC边上任意一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为边做等边△PCF和等边△PQE，连接EF．

（1）试探索EF与AB位置关系，并证明；

（2）如图2，当点P为BC延长线上任意一点时，

（1）结论是否成立？

请说明理由．

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=m°，P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分别以CP、PQ为腰做等腰△PCF和等腰△PQE，使得PC=PF，PQ=PE，连接EF．要使

（1）的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？

为什么？

21．（2011•洪湖市校级模拟）如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．

（1）如图，当BP=BA时，∠EBF=　　　　　　°，猜想∠QFC=　　　　　　°；

（2）如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．

22．（2011•永安市质检）

（1）请阅读材料并填空：

问题：

如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=

，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：

将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．

根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=　　　　　　°，等边△ABC的边长为　　　　　　．

（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

，BP=

，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

23．（2011•阳江模拟）

（1）如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CF平分∠ACG，E是CF上一点，若∠ADE=60°求证：

DA=DE

（2）如图2，四边形ABCD是正方形，M为AB上的一点，BF平分∠CBG，E是BF上一点，若DM⊥ME，与

（1）中类似的结论是什么？

（不必证明）

（3）在

（2）若将DM⊥ME换为MD=ME，能不能证明DM⊥ME？

说明理由．

24．（2011•黑龙江模拟）等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．

（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：

CE+CD=AB；

（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？

请加以证明．

25．（2011秋•庐江县期末）如图，点O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a，以OC为一边作等边△OCD，连接AD．

（1）当a=150°，证明：

△AOD是直角三角形；

（2）探究：

当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

26．（2010秋•泰兴市校级期中）△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．

（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：

①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？

试证明你的结论．

②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？

若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；

（2）当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：

①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．

27．（2010秋•枝江市校级期中）如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞a＞0），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．

（1）求证：

OC=AD．

（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？

若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．

（3）当C点运动到使OA：

AC=1：

3时，求出此时D点的坐标．

28．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．

29．（2010秋•武昌区期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．

（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；

（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

30．（2010春•北京校级期末）如图1，点A在y轴的正半轴上，以OA为边作等边三角形AOC．

（1）点B是x轴正半轴上的一个动点，如图1当点B移动到点D的位置时，连接AD，请你在第一象限内确定点E，使△ADE是等边三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）在

（1）的条件下，在点B的运动过程中，∠ACE的大小是否发生变化？

若不变，求出其度数；若变化，请说明理由．

（3）如图2，把你在

（1）中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转，使点E落在y轴的正半轴上E′的位置，得到正△AE′D′，连接CE′、OD′交于点F．现在给出两个结论：

①AF平分∠CAD′；②FA平分∠OFE′，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，并进行证明．