椭圆单元教学设计(道县二中何澄).doc
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普通高中课程标准实验教科书《数学选修1-1》第二章《圆锥曲线与方程》
2.1《椭圆》教学设计
道县二中何澄
一、教学目标
1、知识与技能：
理解并掌握椭圆的定义、椭圆的标准方程及其特征、椭圆的几何性质；掌握求圆锥曲线方程的常见的四种方法，会用其求椭圆的方程。
2、过程与方法：
通过观察，分组合作动手画图，小组成员及组与组之间合作探究分析出变化的点中含有的不变的规律，进而归纳出椭圆的定义；在探究椭圆标准方程的过程中，采用启发式教学法；用问题串引导和推动上课的进程；适时的总结，升华对知识的认识；在参数a,b,c的几何意义和椭圆的几何性质中体会数形结合的思想：
用代数式子来研究形的特征，用形来刻画代数式子的关系。
3、情感态度价值观：
在教学中，用问题引起学生的思考，集中学生的注意力，提起学生学习研究的兴趣；在实例中，让学生体会数学模型在生活中的应用；让学生在观察、探究规律、发现规律、认知规律的过程中积累认知规律的方法，获得成功的感受；让学生在自主学习，合作探究，归纳总结的过程中，在班级课堂上贡献一份力量，收获一份快乐。
二、重点与难点
1、重点：
椭圆的定义；椭圆的标准方程及其特征；求椭圆方程的方法；椭圆的简单几何性质；研究数学问题时数形结合的思想。
2、难点：
椭圆标准方程的推导（复杂根式的化简）；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法；离心率对椭圆圆扁的刻画；数形结合思想方法的正确运用。
三、教学准备：
1、学生准备：
一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板
2、老师准备：
一根绳子，两颗铁钉，圆锥，用几何画板制作的相关课件，多媒体课件
四、课时安排：
本节内容分4个课时。
第一课：
椭圆的定义及其标准方程
一、教学引入：
（情境引入）
1、看一看：
图片展示：
科学、生产、生活中的椭圆。
（椭圆广泛存在于我们的生活中）
2、切一切：
实物展示：
与圆锥体的轴斜交的平面截圆锥体的截面图形是椭圆。
（椭圆在不经意间就得到了）
3、画一画：
按教材第32页的方法，三人一组自已动手画一画椭圆。
并抽查一组上台演示。
（椭圆是可以想办法画出来的）
二、新课学习：
探究问题一：
对画椭圆的过程进行分析和研究，探究、归纳椭圆的定义。
1、椭圆的定义：
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
焦点：
、焦距：
=2c
常数记为２a,即（M为椭圆上任意一点）2a>2c>0
探究问题二：
（直线和圆在直角坐标系中都可以用一个方程来表示）参照圆的标准方程来探究椭圆的标准方程。
焦点在x轴上的椭圆：
焦点在y轴上的椭圆：
令则得：
2、椭圆的标准方程：
焦点在x轴上的椭圆：
（a>b>0）
X
Y
F1
F2
A1
B1
A2
B2
M
O
焦点在y轴上的椭圆：
（a>b>0）
探究问题三：
如图，探究参数a,b,c在椭圆中的几何意义。
3、椭圆中参数a,b,c的几何意义及关系：
（1）2c=c=
（2）2b=b=
（3）2a=a=
（4）
问题四：
发现并总结椭圆的标准方程的特征。
4、椭圆的标准方程的特征：
（1）方程的右边是1，左边是关于和两个单项式的和；
（2）和的系数是个正分数，分子为1，分母为和，a>b>0；
（3）焦点在x轴上，则的系数的分母是，的系数的分母是；焦点在y轴上，则的系数的分母是，的系数的分母是
5、典例分析：
例1：
已知椭圆的焦点（-4，0）、（4，0），椭圆上任一点到、的距离之和为10，求椭圆的标准方程。
例2、根据椭圆的标准方程，求a,b,c的值，并求焦点的坐标。
（1）
（2）（3）
6、课堂巩固练习（要求学生展示）：
教材第36页“练习”第1题，第2题，第3题。
7、课堂小结：
本节课要求同学们掌握三个知识点：
（1）椭圆的画法及定义；
（2）椭圆的标准方程及其特征；
（3）椭圆中的三个参数a,b,c的几何意义及其关系。
8、课后作业：
教材第42页，习题2.1，A组，第1题，第2题。
三、课后反思
第二课：
求椭圆的标准方程
一、教学引入：
（复习引入）
问题一：
请回顾上一节课我们学习的椭圆的定义和标准方程。
1、椭圆定义：
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
2、椭圆的标准方程：
焦点在x轴上的椭圆：
（a>b>0）焦点：
（-c,0）、（c,0）
焦点在y轴上的椭圆：
（a>b>0）焦点：
（0,-c）、（0,c）
其中：
二、新课学习：
1、典例分析：
例1：
教材第34页例1。
方法总结：
待定系数法求椭圆的标准方程。
例2：
教材第34页例2。
（用几何画板探究点M的轨迹形状，再用数学的方法求其轨迹方程，得到其轨迹图像。
数形互相印证）
方法总结：
相关点代入法求椭圆的方程。
例3：
教材第35页例3。
（用几何画板探究点M的轨迹形状，再用数学的方法求其轨迹方程。
数形互相印证）
方法总结：
直接点法求椭圆的方程。
（建系，设动点坐标，列等式，变为方程，化简方程）
例4：
如图，圆C：
（x＋1）2＋y2＝16及点A（1，0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
（用几何画板探究点M的轨迹形状，再用数学的方法求其轨迹方程。
数形互相印证）
方法总结：
定义法求椭圆方程的基本思路是：
首先分析几何图形所揭示的几何关系，判断动点的轨迹是椭圆；然后根据题中条件求出a，b的值；再直接写出椭圆标准方程．
2、课堂小结：
今天介绍的待定系数法，相关点代入法，直接点法，定义法这四种求椭圆方程的方法，也是求圆锥曲线方程的常用的方法。
同学们要吃透这几种方法的适用环境和用法，在具体的问题中，选择恰当的方法，进行正确的求解。
3、课堂巩固练习（要求学生展示）：
教材第36页“练习”第4题。
4、课后作业：
教材第42页，习题2.1，A组，第7题，第8题。
三、课后反思：
第三课：
椭圆的简单几何性质
X
Y
F1
F2
O
一、教学引入：
（复习引入）
问题一：
列出椭圆的标准方程并画出相应的椭圆。
焦点在x轴上的椭圆：
（a>b>0）
X
Y
F1
F2
O
焦点在y轴上的椭圆：
（a>b>0）
这节课，我们从方程、图像两个方面来研究椭圆的几何性质（课堂上讨论焦点在x轴上的椭圆，焦点在y轴上的椭圆同学们可类似研究）。
二、新课学习：
探究问题二：
从椭圆的标准方程（a>b>0）中，你能得到x,y的范围吗？
并把你得到的结论，在图形中印证。
1、x,y的范围：
，。
从图形中也可得到椭圆位于直线和所围成的矩形框里。
探究问题三：
从椭圆的标准方程的图形中可知，椭圆关于x轴，y轴对称；关于原点对称。
你能在方程上对这个对称性进行证明吗？
X
Y
F1
F2
A1
B1
A2
B2
O
2、椭圆关于x轴，y轴对称；关于原点对称。
（从数形两个方面理解）
曲线与其对称轴的交点称为曲线的顶点。
探究问题四：
从方程上求出椭圆的顶点坐标；从图形中指出其顶点位置。
3、椭圆的顶点：
长轴：
线段，短轴：
线段，||=2a，||=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
探究问题五：
探究影响椭圆圆扁的因素。
并总结它是怎么影响椭圆圆扁的。
（用几何画板制作动画探究：
a,b,c三个量中，任何两个量都会影响椭圆的圆扁。
但为今后研究圆锥曲线的统一性，我们着重研究a,c这两个量对椭圆圆扁的影响。
）
4、离心率（）：
e越大，越接近于1，则椭圆越扁；e越小，越接近于0，则椭圆越圆。
当c=0时，a=b，此时两个焦点重合，图形变为圆（方程为：
）。
5、典例分析：
例1：
（教材40页例4）求椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。
并画出这个椭圆的草图。
6、课堂巩固练习（要求学生展示）：
教材第41页“练习”第1题，第2题，第3题，第5题。
7、课堂小结：
这节课我们研究了椭圆的
（1）x,y的范围；
（2）对称性；（3）顶点；（4）离心率这四个方面的性质。
要求同学们能从数与形两个方面来理解椭圆的这四个方面的性质。
8、课后作业：
教材第42页，习题2.1，A组，第3题，第4题。
三、课后反思：
第四课：
椭圆、椭圆的方程及其几何性质习题课
一、教学引入：
（复习引入）
问题一：
回顾椭圆这一节的四个方面的知识：
（1）定义；
（2）标准方程；（3）求椭圆方程的方法；（4）几何性质。
1、椭圆的定义：
平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
X
Y
F1
F2
O
2、椭圆的标准方程：
焦点在x轴上的椭圆：
（a>b>0）
X
Y
F1
F2
O
焦点在y轴上的椭圆：
（a>b>0）
3、求椭圆标准方程的方法：
（1）定义法；
（2）待定系数法；（3）相关点代入法；（4）直接法。
4、椭圆的几何性质：
（1）x,y的范围：
，。
（2）椭圆关于x轴，y轴对称；关于原点对称。
（3）椭圆的顶点：
（4）离心率（）：
e越大，越接近于1，则椭圆越扁；e越小，越接近于0，则椭圆越圆。
这节课在把握椭圆的基础上，应用椭圆的这些知识解题。
二、新课学习：
1、典例分析：
例1：
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P（-3，0），Q（0，-2）
（2）长轴长等于20，离心率等于
方法总结：
求椭圆的方法，应先确定焦点的位置，再来选择恰当的方程形式。
若焦点位置定不下来，则有可能有两种情况。
例2：
教材第40页例5。
（椭圆知识在现实生活中的应用）
例3：
教材第41页例6。
（先用几何画板展示M点的轨迹，再用直接法求椭圆的方程。
引出椭圆的第二定义。
）
2、课堂练习（要求学生展示）：
教材第42页，习题2.1，A组，第5题，第6题，第9题。
3、课后练习：
基础训练第29页到第39页（完成好后，互相检查）。
三、课后反思：
7
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