泛函分析中的概念和命题.docx
《泛函分析中的概念和命题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泛函分析中的概念和命题.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
泛函分析中的概念和命题
泛函分析中的概念和命题
赋范空间，算子，泛函
定理：
赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach空间.
定理：
M是赋范线性空间X,||||的一个真闭线性子空间，则0,yX,||y||1,使得：
||yx||1,xM
定理：
设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则
1.fX*Nf{xX|fx0}是X的闭线性子空间
2.非零线性泛函fx是不连续的Nf在X中稠密
定理：
X,Y是赋范空间，X{},则Y是Banach空间BX,Y是Banach空间
X,Y,Z是赋范空间，ABX,Y,BY,Z,则ABBX,Z,且||AB||||A||||B||可分B空间：
LP0,1,lp1p,c,c0,Ca,b可分L0，1,l不可分
Hahn-Banach泛函延拓定理
设X为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若：
（1）pxypxpy,x,yX,则称p为次可加泛函
（2）pxpx,0,xX，则称p为正齐性泛函
（3）px||px,K,xX，则称p为对称泛函
实Hahn-Banach泛函定理:
设X是实线性空间，px是定义在X上的次可加正齐性泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的实线性泛函且满足f0xpxxX0，则必存在一个定义在X上的实线性泛函f，且满足：
1．f0xpxxX
2.fxf0xxX0
复Hahn-Banach泛函定理:
设X是复线性空间，px是定义在X上的次可加对称泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的线性泛函且满足|f0x|pxxX0，则必存在一个定义在X上的线性泛函f，且满足：
1．|f0x|pxxX
2.fxf0xxX0
定理:
设X是线性空间，若X{}，则在X上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach延拓定理:
设X是赋范线性空间，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X上的有界线性泛函f，满足：
1．||f||||f0||X0
2.fxf0xxX0
定理：
设X是赋范线性空间，M是X的线性子空间，x0X,x0,Md0,则必有
fX*，满足：
（1）fx0,xM；
（2）fx0d；（3）||f||1
定理：
设X是赋范空间，x0X{},必fX*,使fx0||x0||,||f||1
定理：
设X是赋范空间，x0X,必有||x0||sup{|f（x0）|：
fX*,||f||1}
凸集分离定理
极大线性子空间：
一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间
超平面：
它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形
承托超平面：
凸集E在点x0的承托超平面L是指E在L的一侧，且与L有公共点x0
Minkowski泛函：
设X是线性空间，M是X的含有点的凸子集，在X上作一个
x
取值于[0,]的函数：
pxinf{0|M},xX
与M对应，称函数p为M的Minkowski泛函
定理：
L是赋范空间X的（闭）超平面存在X上的非零（连续）线性泛函f及rR,使LHrf,其中Hfr{xX|fxr}
Hahn-Banach定理的几何形式:
设X是赋范空间，E是X的具有内点的真凸子集，又设x0XE,则必存在一个超平面分离E与x0
定理：
设X是赋范空间，E和F是X的两个非空凸集，E具有内点，且E0F；则
sR及fX*{},使得超平面Hfs分离E和F
Ascoli定理：
设X是赋范空间，E是X的真闭凸子集，则x0XE,fX*,R适
合fxfx0，xE
Mazur定理：
设X是赋范空间，E是X的一个有内点的凸子集，F是X的一个线性流形，又设E0F,则存在一个包含F的闭超平面L，使E在L的一侧
定理：
设X是赋范空间，E是X的一个含有内点的闭凸集，则通过E的每个边界点都可以作出E的一个承托超平面
基本定理
定理：
设X,Y是Banach空间，TBX,Y是满射，则0,使得TB,1O,
开映射定理：
设X,Y是Banach空间，TBX,Y是满射，则T是开映射
Banach逆算子定理：
设X,Y是Banach空间，TBX,Y是双射，则T1BX,Y
等价范数定理：
设X是线性空间，||?
||1和||?
||2是X上的两个范数，若X关于这两个范数都成为Banach空间，而且||?
||2强于||?
||1，则||?
||1也强于||?
||2，从而||?
||1和||?
||2等价
闭算子：
设X,Y是赋范空间，T是DTX到Y的映射，若T的图像{x,Tx|xDT}是赋范线性空间XY中的闭集，则称T是闭映射或闭算子
闭算子判别定理：
设X,Y是赋范空间，T是DTX到Y的映射，则T是闭映射
{xn}DT,若xnx0X,Txny0Y,则x0DT，且y0Tx0
闭图像定理：
设X,Y是Banach空间，T是DTX到Y的线性映射，而且是闭算子，若
DT是X的闭线性子空间，则T是连续的
定理：
设X,Y是Banach空间，T是X到Y的线性算子，则T连续T是闭算子
共鸣定理：
设X是Banach空间，Y是赋范空间，TBX,Y,.如果xX，都有
自反空间与共轭算子
除声明外下面的X,Y都是一般的赋范线性空间
共轭空间：
（LP）*Lq,（lp）*lq,，c*（c0）*l1,Ca,b*V0a,b，1p,p,q共轭
伴随算子:
TBX,Y，f*xfTx，T*ff*，T*BY*,X*，||T*||||T||
1.TBX,记T**T**,若将X看成X**的子空间,则T**是T的延拓且||T**||||T||
1
2.TBX,Y，则T有有界逆T*有有界逆，且此时（T1）*T*1
3.映射AA*是由BX,Y到BY*,X*的保范线性算子
***
4.若ABX,Y,BBY,Z,则AB*B*A*
定理：
若X*可分，则X可分。
（L1，l1不自反）；X是Banach空间，X*自反X自反
自反空间的闭线性子空间是自反空间
自然嵌入映射：
xx**是赋范空间X到X**的保范的有界线性算子，即：
||x**||||x||
Riesz表示定理：
设X是局部紧空间，fCcX时，||f||sup{|fx|：
xX},则
（1）若是CcX上的正线性泛函，则存在X上一个正则Borel测度u，使得对任fCcX都有ffdu
（2）若CcX*，则存在X上一个广义正则Borel测度u，使ffdu
（3）若CcX是X上具有紧支集的复连续函数空间，则对CcX上任一有界复线性泛函，存在复正则Borel测度u，使ffdu
弱收敛和弱列紧
基本概念：
弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧
定理：
设X,Y是Banach空间，{Tn}BX,Y强收敛于某个TBX,Y当且仅当：
1.{||Tn||}有界，即有M0，使||Tn||Mn1,2,3,
2.存在X中的稠集D，使xD，{Tnx}收敛
定理：
设X是Banach空间，{fn}X*,则{fn}*弱收敛于某个fX*当且仅当：
1.
{||fn||}有界；
2.
存在X中的稠集D，使x
D，{fnx}收敛
定理：
设X是赋范空间，则{xn}
X弱收敛于某个xX当且仅当：
1.
{||xn||}有界；
2.
存在X*中的稠集D，使f
D，有{fxn}收敛于fx
定理：
设X是赋范空间，{xn}X弱收敛于某个xX,则存在由{xn}的凸组合构成的点列使其强收敛到x，且||x||lim||xn||
n
定理：
可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的
HilbertSpace基本概念：
除声明外下面所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX
内积：
一个（数域K上）线性空间X上的内积指的是共轭双线性泛函：
XXK，它满足正定
性和共轭对称性。
内积空间：
定义了内积的线性空间。
定义了内积的复（实）线性空间称为复（实）
内积空间。
内积导出的范数满足平行四边形公式。
内积（按内积导出的范数）是XX上的连续函
数.若由内积导出的范数
是完备的，
这样的内积空间称为
Hilbert
空间
定理：
设X,,
是内积空间，||||是由内积,
导出的范数，
则||
||与,
满足如下关系：
当X是实线性空间时，
x,y
12
1||xy||2||x
4
y||2,
x,y
X
当X是复线性空间时，
x,y
12
1||xy||2||x
4
y||2
i||x
iy||2
i||x
iy||2,x,yX
极化恒等式：
Ax,y
1Ax
4
yAxyiA
xiy
iAx
iy
，Ax
Ax,x
定理：
为了在赋范线性空间
X,||||中引入内积
使得由
导出的范数就是||||，当且
仅当||||满足平行四边形公式：
||xy||2||xy
||22
||x||2
||y||
2
定理：
设X,,
是内积空间，M是X的非空子集，
x,y,y
nn
1,2,
X，则
1.xy||xy||2
||x||2
||y||22.x
ynn
1,2,
yn
y
xy
3.xMxspanM
4.M
M
M
M
5.
M在X中稠M{}
6.M是X的闭线性子空间，且MspanM
定理：
设X是希尔伯特空间，M是X的非空闭凸子集，则xX,唯一的yoM，使得||xy0||x,Minf{||xy||：
yM}
正交分解定理：
设M是希尔伯特空间X的一个闭线性子空间，xX，存在唯一的正交分解：
xx0x1,（x0M,x1M）,即：
XMM
定理：
设X,,是希尔伯特空间，M是X的线性子空间，则：
1.MM2.M在X中稠M{}
定理：
Hilbert空间H（H{}）中必存在完备标准正交系
定理：
假定S{e|}是Hilbert空间H中的标准正交系，那么xH.有Parseval
不等式：
||x||2||c||2
定理：
S{e|}是Hilbert空间H中的完备标准正交系，xH.有Fourier
其中：
cx,e称为x的Fourier系数。
若S{},则称S完备
定理：
S{e|}是Hilbert空间H中的完备标准正交系，x,yH.有：
x,yx,ey,e
定理：
标准正交系S{e|}完备Parseval等式xH成立
定理：
可分Hilbert空间H中的完备标准正交系一定是可数的。
定理：
无穷维可分Hilbert空间与Hilbert空间l2同构；实（复）有穷维可分Hilbert空间都与Hilbert空间RnCn同构
Riesz表示定理：
设X,,是希尔伯特空间，f是X上的连续线性泛函，则必有唯一的
yX，使得：
fxx,y,xX.而且||f||||y||
有界双线性泛函：
x,yAx,yx,A*y，A被唯一确定
Hermite双线性泛函：
x,yy,xAA*
命题：
若C0,使双线性泛函x,xC||x||2,则x,y有界,且||||C
HilbertSpace中的算子
常见算子（除声明外下面所涉及的空间都是RealorComplexHilbertSpaceX）
0．正规算子：
AA*A*A。
酉算子：
等距满射算子。
自伴算子：
Ax,yx,Ay，x,yX
||A||2||A*||2||AA*||；A是酉算子AA*A*AIAx,Ayx,y,x,yX
AA*AA*
1．ABX,有唯一分解AA1iA2,其中A1,A2自伴，A1,A2
22i
ABX,有分解AUP,（称为A的极分解）,其中U为部分等距算子，P为正算子
A正规||A2||||A||2；A是有界线性算子,则,R,eiAeiA*是正规算子
A正规在A的极分解AUP中,U和P可交换，且U可取为酉算子
A正规对xX,有||Ax||||A*x||在直角坐标分解AA1iA2中，A1，A2可换
A正规酉算子U,使A*UA；A2A,且A正规A自伴
2．当考虑复空间时，有结论：
A自伴,即AA*对xX,Ax,x是实数
设A,B是自伴投影算子，则AB自伴投影ABBA
设{An：
nN}是X上的自伴算子序列，若||AnA||0,则A是自伴算子
设A是自伴算子，则它的特征值是实数（Axx），且不同的特征值对应的特征向量正交
设A是自伴算子，则Ker（A）Rang（A）.
设A是自伴算子，则||A||sup{|Ax,x|：
xX,||x||1}
3．设ABX为自伴算子，若对xX,都有Ax,x0,则A称为正算子，记作：
A（当考虑复空间时,自伴算子的条件可去掉，极化恒等式）
设自伴算子T1T2,S1S2,常数c0,则T1S1T2S2,cT1cT2
设{An}为一致有界的单调自伴算子列，则存在唯一的自伴算子A，使{An}强收敛到A
11
设A是正算子，则存在唯一的正算子S，使S2A，称S为A的正平方根，记为A2；A2是
1A的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限，与A可换的算子必与A2可换.
设A是正算子，若xX,Ax,x0,则Tx
设自伴算子A1,A2与正算子A可换，且A1A2,则AA1AA2
4．P是投影算子P是自共轭算子，P2PxX,Px,x||Px||2P是正算子
投影算子P1，P2的投影子空间分别是是L1，L2，则：
P1P2是投影算子P1P2P2P1L1L2,此时P1P2的投影子空间是L1L2
P1P2是投影算子P1,P2可换；此时P1P2的投影子空间是L1L2
P1
P2是投影算子
L2L1
P1P2P2P1P2P2P1；此时P1P2的投影子空间
是L2
在L1中的正交余空间
定理:
A是正规算子，
则
A
对0,x,||Axx||
||x||
A是自伴算子,则
A
||A||,||A||,并且||A||sup{||：
A}
A是U算子,则
A
{：
|
|1}
定理：
设A是Hilbert
空间
H上的对称紧算子，则必有x0H,||x0||
1,使得：
|Ax0,x0|sup{|
Ax,x|：
||x||1},且Ax0x0,其中|||
Ax0,x0|
定理：
设A是Hilbert
空间
H上的对称紧算子，则有至多可数个非零的，
只可能以0为聚点的实
数{i}，它们是算子A的本征值，并对应一组正交规范基{ei}（不一定可数），使得：
xx,eiei,Axix,eiei
线性算子的谱概念：
正则值，点谱，连续谱，剩余谱，预解式，谱半径，T，TpTcTrT定理：
设T,T1,T2BX,X是巴拿赫空间，则
1.T开，T非空,T
Tn
n10
5.
rT
lim
n
1
||Tn||n
1inf||Tn||nn
max{|
|:
T}
紧算子
PBX,Y是紧算子：
P将X中的有界集映成Y中的列紧集
PBX,Y是紧算子，则P是连续的，且P的值域可分
PBX,Y是紧算子，则P将X中的弱收敛点列映成Y中的收敛点列
PBX,Y是紧算子，则P*BY*,X*也是紧算子若PBX,Y,SBY,Z中有一个是是紧算子，则SP是紧算子
PBX,Y是紧算子，X,Y中至少有一个是无穷维的，则P没有有界逆算子
PnBX,Y是紧算子，Y是巴拿赫空间，||PnP||0，则P是紧算子
A；2.A{0}pA{0}；3.pA至多以0为聚点；
X是具有可数基的巴拿赫空间，则PBX是紧算子存在有限秩算子PnBX使||PnP||0Fredholm结论：
ABX是紧算子，令TIA，则T是闭值域算子，且：
1.
NT
{}
RT
X,即：
单满
2.
T
T*
dimN
TdimNT*,codimRTdimNT
3.
RT
NT*
RT*
NT
紧算子的谱：
AB
X是紧算子，则：
1.dimX
0
4.若dimX2,则A必有非平凡的闭不变子空间
Fredholm算子
定义：
设X,Y是Banach空间，TBX,Y称为一个Fredholm算子，是指
1，RT是闭的2，dimNT3，codimRT
定义：
设X,Y是Banach空间，TBX,Y是一个Fredholm算子，令
indTdimNTcodimRT，并称其为T的指标
定理：
若TBX,Y是Fredholm算子，则必有SBY,X，以及紧算子A1BX和紧算子A2BY,使得STIXA1,TSIYA2，IX和IY分别表示X，Y上的恒同算子
定理：
TBX,Y，又有R1,R2BY,X，以及紧算子A1BX和紧算子A2BY，使得R1TIXA1,TR2IYA2,则T是Fredholm算子
上面两个定理中X,Y是Banach空间
定理：
设X,Y,Z是Banach空间，T1BX,Y,T2BY,Z是Fredholm算子，则有：
T2T1BX,Z是Fredholm算子，且：
indT2T1indT1indT2
定理：
若TBX,Y是Fredholm算子，则必有0,使得当SBX,Y，且||S||时，
有TSBX,Y是Fredholm算子，而且indTSindT
参考书目：
泛函分析讲义（上册）张恭庆，林源渠
实变函数与泛函分析概要（下册）郑维行，王声望
薛昌兴
实变函数与泛函分析（下册）巴拿赫空间引论定光桂
升级会员 