泛函分析中的概念和命题.docx

1、泛函分析中的概念和命题泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理： 赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个 范数是等价的；有限维赋范线性空间是 Banach 空间 .定理： M 是赋范线性空间 X,| | 的一个真闭线性子空间，则 0, y X,| y| 1,使得：| y x| 1 , x M定理： 设 X 是赋范线性空间， f 是 X 上的线性泛函，则1.f X * N f x X | f x 0是X的闭线性子空间2.非零线性泛函 f x 是不连续的 N f 在 X中稠密定理： X ,Y是赋范空间， X , 则Y是Banach空间 B X,Y 是B

2、anach空间X ,Y, Z是赋范空间， A B X,Y ,B Y,Z ,则AB B X,Z ,且 |AB | | A|B | 可分 B空间 ： LP 0,1,l p 1 p ,c,c0,C a,b 可分 L 0，1,l 不可分Hahn-Banach 泛函延拓定理设 X 为线性空间， p是定义在 X上的实值函数 ，若：(1)p x y p x p y , x, y X ,则称 p为次可加泛函(2)p x p x , 0, x X ，则称 p为正齐性泛函(3)p x | | p x , K, x X ，则称 p为对称泛函实 Hahn-Banach 泛函定理 : 设 X 是实线性空间， p x 是

3、定义在 X 上的次可加正齐性泛函， X0是 X 的线性子空间， f 0是定义在 X 0上的实线性泛函且满足 f0 x p x x X0 ，则必存 在一个定义在 X 上的实线性泛函 f ，且满足：1 f0 x p x x X2. f x f0 x x X0复 Hahn-Banach 泛函定理 : 设 X 是复线性空间， p x 是定义在 X 上的次可加对称泛函， X 0 是 X 的线性子空间， f0 是定义在 X 0上的线性泛函且满足 | f0 x | p x x X0 ，则必存在一 个定义在 X 上的线性泛函 f ，且满足：1 | f0 x | p x x X2. f x f0 x x X0定

4、理: 设X是线性空间， 若X ， 则在 X上必存在非零线性泛函。Hahn-Banach 延拓定理 : 设 X 是赋范线性空间， X0是 X 的线性子空间， f0是定义在 X0上 的有界线性泛函，则必存在一个定义在 X 上的有界线性泛函 f ，满足：1| f | | f0|X02. f x f0 x x X0定理： 设 X 是赋范线性空间， M 是 X 的线性子空间， x0 X, x0,M d 0, 则必有f X* ，满足：(1)f x 0, x M； (2)f x0 d； (3)| f | 1定理： 设X是赋范空间， x0 X ,必 f X*,使f x0 |x0|,| f | 1定理： 设X是

5、赋范空间， x0 X,必有 |x0| sup| f(x0)|：f X*,| f | 1凸集分离定理极大线性子空间： 一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间超平面： 它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形承托超平面： 凸集 E在点x0的 承托超平面 L是指 E在L的一侧，且与 L有公共点 x0Minkowski 泛函： 设 X是线性空间， M是 X的含有 点的凸子集，在 X上作一个x取值于 0, 的函数 ： p x inf 0| M, x X与 M 对应，称函数 p 为 M 的 Minkowski 泛函定理： L是赋范空间 X的(闭)超平面 存在 X 上的非

6、零 (连续)线性泛函 f及 r R,使L Hrf ,其中Hfr x X | f x rHahn-Banach 定理的几何形式 : 设 X 是赋范空间， E 是 X 的具有内点的真凸子集，又设 x0 X E,则必存在一个超平面分 离 E与x0定理： 设 X 是赋范空间， E和 F是 X的两个非空凸集， E具有内点，且 E 0 F ；则s R及f X* ,使得超平面 H fs分离E和FAscoli 定理：设 X 是赋范空间， E是 X 的真闭凸子集， 则 x0 X E, f X*, R 适合 f x f x0 ， x EMazur 定理： 设 X 是赋范空间， E是 X 的一个有内点的凸子集， F

7、 是 X 的一个线性流形， 又设 E0 F ,则存在一个包含 F的闭超平面 L，使 E在L的一侧定理： 设 X 是赋范空间， E 是 X 的一个含有内点的闭凸集，则通过 E 的每个边界点都可以 作出 E 的一个承托超平面基本定理定理： 设X ,Y是Banach空间， T B X,Y 是满射，则 0,使得 TB ,1 O ,开映射定理： 设X ,Y是Banach空间， T B X ,Y 是满射，则 T是开映射Banach逆算子定理： 设X ,Y是Banach空间， T B X,Y 是双射，则 T 1 B X,Y等价范数定理： 设 X 是线性空间， | ? |1和| ?|2是 X 上的两个范数，若

8、 X 关于这两个范数 都成为 Banach空间，而且 | ? |2强于| ? |1 ，则 |? |1也强于 | ?|2 ，从而 |?|1和|?|2等价闭算子： 设X ,Y是赋范空间， T是D T X到Y的映射，若T 的图像 x,Tx |x D T 是 赋范线性空间 X Y 中的闭集，则称 T 是闭映射或闭算子闭算子判别定理： 设 X ,Y是赋范空间， T是D T X到Y的映射，则 T是闭映射xn D T ,若 xn x0 X,Txn y0 Y,则x0 D T ，且y0 Tx0闭图像定理： 设X ,Y是Banach空间，T是D T X到Y的线性映射 ，而且是闭算子，若D T 是 X 的闭线性子空

9、间，则 T是连续的定理： 设X,Y是Banach空间，T是X到Y的线性算子 ，则 T连续 T是闭算子共鸣定理： 设X是Banach空间，Y 是赋范空间， T B X,Y , .如果 x X ，都有自反空间与共轭算子除声明外下面的 X,Y 都是一般的赋范线性空间共轭空间 ： (LP )* Lq,(l p)* lq,，c* (c0)* l1, C a,b * V0 a,b，1 p , p,q共轭伴随算子 : T B X,Y ，f * x f Tx，T* f f*，T* BY*,X*，|T* | |T |1. T B X ,记T* T* *,若将X看成X*的子空间,则T*是T的延拓且 |T* | |

10、T |12. T B X,Y ，则T有有界逆 T *有有界逆，且此时 (T 1)* T* 13.映射A A*是由B X,Y 到BY*,X* 的保范线性算子* * *4.若A B X,Y ,B B Y,Z ,则 AB * B*A*定理：若 X *可分，则 X可分。( L1， l 1不自反 ) ； X 是 Banach空间， X *自反 X自反自反空间的闭线性子空间是自反空间自然嵌入映射 ：x x*是赋范空间 X 到 X *的保范的有界线性算子，即： |x* | |x|Riesz 表示定理 ：设 X是局部紧空间， f Cc X 时，| f | sup| f x |：x X, 则(1) 若 是 Cc

11、 X 上的正线性泛函， 则存在 X上一个正则 Borel 测度 u，使得对任 f Cc X 都有 f fdu(2)若 Cc X * ，则存在 X 上一个广义正则 Borel 测度 u，使 f fdu(3)若Cc X 是X上具有紧支集的复连续函数空间， 则对 Cc X 上任一有界复线性泛函 ， 存在复正则 Borel 测度 u，使 f fdu弱收敛和弱列紧基本概念： 弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的 * 弱收敛； 弱列紧；局部弱列紧； * 弱列紧；局部 * 弱列紧定理： 设 X,Y是Banach空间，Tn B X,Y 强收敛于某个 T B X,Y 当且仅当：1. |Tn | 有

12、界，即有 M 0，使 |Tn | M n 1,2,3,2. 存在 X中的稠集 D，使 x D，Tnx收敛定理： 设 X是Banach空间， fn X*,则 fn *弱收敛于某个 f X *当且仅当：1.| fn |有界；2.存在 X中的稠集 D ，使 xD，fn x 收敛定理：设 X是赋范空间，则 xnX弱收敛于某个 x X当且仅当：1.| xn |有界；2.存在 X *中的稠集 D，使 fD，有 f xn 收敛于 f x定理：设 X是赋范空间， xn X弱收敛于某个 x X ,则存在由 xn 的凸组合构成的点列使其 强收敛到 x，且 |x| lim | xn |n定理： 可分赋范空间的共轭空

13、间是局部 * 弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的Hilbert Space 基本概念： 除声明外下面所涉及的空间都是 Real or Complex Hilbert Space X内积： 一个（数域 K上）线性空间 X 上的内积指的是共轭双线性泛函： X X K ，它满足正定性和共轭对称性。 内积空间： 定义了内积的线性空间。定义了内积的复 （实） 线性空间称为 复（实）内积空间 。内积导出的范数满足 平行四边形公式 。内积（按内积导出的范数 ）是 X X 上的连续函数. 若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert空间定理： 设 X, ,是内积空间， | |是由内积 ,导出的范

14、数，则 | 与 ,满足如下关系：当 X 是实线性空间时，x,y121 |x y|2 |x4y|2,x,yX当 X 是复线性空间时，x,y121 |x y|2 |x4y|2i |xiy|2i |xiy |2 , x,y X极化恒等式 ： Ax,y1Ax4y A x y iAx iyiA xiy，AxAx,x定理： 为了在赋范线性空间X,| | 中引入内积使得由, 导出的范数就是 | | ，当且仅当 | |满足 平行四边形公式 ：|x y |2 |x y|2 2| x |2| y|2定理： 设 X, ,是内积空间， M 是 X 的非空子集，x,y, ynn1,2,X ，则1. x y |x y|2

15、| x |2|y|2 2. xyn n1,2,ynyxy3. x M x spanM4. MM,MM5.M在 X中稠 M 6. M 是 X的闭线性子空间，且 M spanM定理： 设 X 是希尔伯特空间， M 是 X 的非空闭凸子集，则 x X, 唯一的 yo M ，使 得|x y0 | x,M inf| x y |：y M正交分解定理： 设 M 是希尔伯特空间 X 的一个闭线性子空间， x X ，存在唯一的正交 分解： x x0 x1,(x0 M,x1 M ),即：X M M定理： 设 X, , 是希尔伯特空间， M 是 X 的线性子空间，则：1. M M 2. M在 X中稠 M 定理： H

16、ilb ert 空间H (H )中必存在完备标准正交 系定理：假定 S e | 是Hilb ert 空间H中的标准正交系 ，那么 x H.有 Parseval不等式 ：|x |2 |c |2定理： S e | 是Hilbert空间H中的完备标准正交系 ， x H.有 Fourier其中： c x,e 称为x的Fourier系数 。若S , 则称S完备定理： S e | 是 Hilbert空间 H中的完备标准正交系 ， x,y H.有：x, y x,e y,e定理： 标准正交系 S e | 完备 Parseval等式 x H 成立定理： 可分Hilbert空间 H中的完备标准正交系一 定是可数的

17、 。定理： 无穷维可分 Hilbert 空间与 Hilbert 空间 l 2同构 ；实( 复)有穷维可分 Hilbert 空间都 与 Hilbert 空间 R n C n 同构Riesz 表示定理： 设 X, , 是希尔伯特空间， f 是 X 上的连续线性泛函，则必有唯一的y X ，使得： f x x,y , x X.而且 | f | | y|有界双线性泛函 ： x,y Ax,y x,A* y ， A被 唯一确定Hermite 双线性泛函 ： x,y y,x A A*命题：若C 0,使双线性泛函 x,x C|x|2,则 x,y有界,且 | | CHilbert Space 中的算子常见算子 (

18、 除声明外下面所涉及的空间都是 Real or Complex Hilbert Space X)0正规算子 ： AA* A* A 。酉算子 ：等距满射算子。 自伴算子 ： Ax, y x,Ay ， x,y X|A|2 |A* |2 |AA* |； A是酉算子 AA* A*A I Ax,Ay x,y , x,y XA A* A A*1 A B X ,有唯一分解 A A1 iA2,其中 A1, A2自伴， A1 ,A22 2iA B X ,有分解A UP ,(称为A的极分解),其中U为部分等距算子， P为正算子A正规 |A2| | A|2； A是有界线性算子 ,则 , R,ei A ei A*是正

19、规算子A正规 在A的极分解 A UP中,U和P可交换，且 U可取为酉算子A正规 对 x X ,有| Ax | |A*x| 在直角坐标分解 A A1 iA2中， A1， A2可换A正规 酉算子 U,使A* UA ； A2 A,且A正规 A自伴2当考虑复空间时，有结论： A自伴,即A A* 对x X, Ax,x 是实数设 A,B 是自伴 投影 算子，则 AB 自伴 投影 AB BA设An：n N 是X上的自伴算子序列，若 | An A| 0,则A是自伴算子设 A是自伴算子，则它的特征值是实数 (Ax x) ，且不同的特征值对应的特征向量正交设 A是自伴算子，则 Ker(A) Rang( A) .设

20、 A是自伴算子，则 | A| sup| Ax,x |：x X,|x| 13设 A B X 为自伴算子， 若对 x X,都有 Ax,x 0,则A称为正算子 ，记作： A (当考虑复空间时 , 自伴算子的条件可去掉，极化恒等式 )设自伴算子 T1 T2,S1 S2,常数 c 0,则T1 S1 T2 S2,cT1 cT2设An 为一致有界的单调自伴算子列，则存在唯一的自伴算子 A，使 An 强收敛到 A11设 A是正算子，则存在唯一的正算子 S，使 S2 A，称 S为 A的正平方根，记为 A2； A2是1 A的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限，与 A可换的算子必与 A2 可换.设 A是正算子，

21、若x X, Ax, x 0,则Tx设自伴算子 A1, A2与正算子 A可换，且 A1 A2,则AA1 AA24 P是投影算子 P是自共轭算子， P2 P x X, Px, x | Px |2 P是正算子投影算子 P1，P2的投影子空间分别是是 L1，L2 ，则：P1 P2是投影算子 P1P2 P2P1 L1 L2,此时 P1 P2的投影子空间是 L1 L2P1P2是投影算子 P1, P2可换；此时 P1P2的投影子空间是 L1 L2P1P2是投影算子L 2 L1P1P2 P2P1 P2 P2 P1 ；此时 P1 P2的投影子空间是 L 2在 L1 中的正交余空间定理:A是正规算子，则A对 0,

22、 x ,| Ax x | x|A是自伴算子 , 则A| A |,| A|,并且 |A| sup| |：AA是U算子,则A ：| 1定理：设 A是 Hilbert空间H 上的对称紧算子，则必有 x0 H,| x0 |1,使得：| Ax0, x0 | sup|Ax, x |：|x| 1,且Ax0 x0,其中| | |Ax0 ,x0 |定理：设 A是 Hilbert空间H 上的对称紧算子， 则有至多可数个非零的，只可能以 0 为聚点的实数 i ，它们是算子 A的本征值，并对应一组正交规范基 ei （不一定可数 ），使得：x x,ei ei , Ax i x,ei ei线性算子的谱 概念：正则值，点谱

23、，连续谱，剩余谱，预解式，谱半径， T， T p T c T r T 定理： 设 T,T1,T2 B X , X是巴拿赫空间 ，则1. T 开， T 非空 , TTnn1 05.rTlimn1|Tn |n1 inf |Tn |n nmax|:T紧算子P B X,Y 是紧算子 ：P将X中的有界集映成 Y中的列紧集P B X,Y 是 紧算子 ，则 P 是连续的，且 P 的值域可分P B X,Y 是紧算子 ，则P将X中的弱收敛点列映成 Y中的收敛点列P B X,Y 是紧算子 ，则P* BY*,X * 也是紧算子 若P B X,Y ,S BY,Z 中有一个是是 紧算子，则SP是紧算子P B X,Y 是

24、紧算子， X ,Y中至少有一个是无穷维 的，则 P没有有界逆算子Pn B X,Y 是紧算子， Y是巴拿赫空间， |Pn P| 0，则P是紧算子A ；2. A 0 p A 0；3. p A至多以0为聚点 ；X是具有可数基的巴拿赫 空间，则 P B X 是紧算子 存在有限秩算子 Pn B X 使 |Pn P | 0 Fredholm 结论：A B X 是紧算子，令 T I A，则T是闭值域算子，且：1.NTRTX, 即：单 满2.TT*,dim NT dimN T* ,codim R T dim N T3.RTNT*,RT*NT紧算子的谱 ：ABX 是紧算子，则：1. dim X04. 若 dim

25、 X 2,则 A必有非平凡的闭不变子 空间Fredholm 算子定义： 设X ,Y是Banach空间， T B X,Y 称为一个 Fredholm 算子，是指1，R T 是闭的 2，dim N T 3，codimR T定义： 设X ,Y是Banach空间， T B X,Y 是一个 Fredholm 算子，令ind T dim N T codim R T ，并称其为 T 的指标定理：若T B X,Y 是Fredholm算子，则必有 S B Y,X ，以及紧算子 A1 B X 和紧 算子 A2 B Y ,使得 ST IX A1,TS IY A2， I X和I Y分别表示 X，Y上的恒同算子定理：

26、T B X,Y ，又有 R1,R2 B Y,X ，以及紧算子 A1 B X 和紧算子 A2 B Y ， 使得 R1T I X A1,TR2 I Y A2 ,则T是Fredholm算子上面两个定理中 X , Y是Banach空间定理：设X ,Y, Z是Banach空间， T1 B X,Y,T2 BY,Z 是Fredholm算子 ，则有：T2T1 B X,Z 是Fredholm算子，且： ind T2T1 ind T1 ind T2定理：若T B X,Y 是Fredholm算子，则必有 0,使得当 S B X,Y ，且| S | 时，有 T S B X,Y 是 Fredholm 算子，而且 ind T S ind T参考书目：泛函分析讲义 （上册 ） 张恭庆，林源渠实变函数与泛函分析概要 （下册 ） 郑维行，王声望薛昌兴实变函数与泛函分析 （ 下册） 巴拿赫空间引论 定光桂