高中数学换元法解题案例及练习题.docx

1、高中数学换元法解题案例及练习题高中数学换元法解题案例及练习题解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化，这叫换兀法。换兀的实质是转化，关键是构造 元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至 新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题 简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以 把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联 系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超 越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列

2、、三角等问题中有 广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又 称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个 字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如 解不等式：4x + 2x- 2 0,先变形为设2x = t (t0 )，而变为熟悉的 一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利 用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y= -x+ d -x 的值域时，易发现 x 0,1，设 x = sin 2 a ,a 0,，问2题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中

3、主要应 该是发现值域的联系， 又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2 +y = r2 (r0 )时，则可作三角代换 x = rcos B、y = rsin B化为三角问题。均值换兀，如遇到x+ y = S形式时，设x = + t , y = t等等。 2 2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0和口 0,-。2I、再现性题组：1.y = sinx cosx + sinx+cosx 的最大值是 。2.设 f(x 2 + 1) = log a (4 x4) ( a1)

4、,贝U f(x)的值域是3.已知数列a n中，a1 = 1, a.1 a. = a“ 1 a.，则数列通项a.=4.设实数 x、y满足x 2 + 2xy 1 = 0,贝U x + y的取值范围是。x5.方程 x = 3的解是 。1+3 6.不等式log 2 (2 x 1) log 2 (2心2) 2的解集是。3小题：已知变形为 丄=1,设bn =丄,则b1 = 1,b n = 1an 卑 an an+ (n 1)(-1) = n,所以 an =丄;n4小题：设 x + y = k，则 x2 2kx + 1 = 0, = 4k2 4 0,所以 k 1或 k 1;5小题：设 3x = y，贝3y2

5、 + 2y 1 = 0,解得 y = 1，所以 x = 1;36小题：设 log 2(2 x 1) = y,则 y(y + 1)2，解得-2y1，所以 x (log 25,log 23)。4H、示范性题组：例 1.实数 x、y 满足 4x2 5xy + 4y2 = 5 (式)，设 S= x2 +y2，求丄+丄的值。（93年全国高中数学联赛题） Smax Smin【分析】 由S= x2 + y2联想到cos2 a + sin 2 a = 1,于是进行三角换解得S = 叱一8 5sin 2 a-1 sin2 a 1-3 w 8 5sin2 aW 13W W W13 85si n：103此种解法后面

6、求 S最大值和最小值，还可由 sin2a=心的有界S性而求，即解不等式：I 8 | W 1。这种方法是求函数值域时经常用S到的“有界法”。【另解】 由 S= x2 + y2，设 x2 = I +1 , y2 = | -1 , t - | , |,则xy = J |4 -12代入式得：4I 5咅-12 =5,移项平方整理得 100t 2 +39S2 - 160S+ 100 = 0。 39S 2 - 160S+ 100 0 解得：10 S0,求 f(x) = 2a(sinx + cosx)sinx-cosx =t2 -1 f(x) = g(t) = *(t 2a)2 + 1 (a0), t - 4

7、2,42t = - 2 时，取最小值：一 2a2 2 2 a -2当2aV2时，t = V2，取最大值：2a2 + 2占a ;当02a 2时，t = 2a,取最大值： 。f(x) 的最小值为2a 2.2a -1 ,最大值为1(0 0恒成立，求a的取值范围4a(87年全国理)2(a 1)2 4a2三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】设log 2旦=a +12 = log 2 = 3+ log 2=a 2a 2a(a 1)2 a 12 右=2log 2 =4a 2at ,则 log3 log 2 2 = 3 t , log-2t ,代入后原不等式简化为(3 t) x2

8、 + 2tx 2t0 ,它对一切实数x恒成 立，所以： t0 即 log 2-vOa +1弋 ，解得r3或，4t 8t(3 t)：0 t：0 或 t 6Ov 互 1,解得 0va1。a 1么会想到换兀及如何设兀，关键是发现已知不等式中log 2 4(a 1)a【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什2log 2互、log 2色昙 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，a +1 4a使用了 “判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地， 解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可 能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元， 这是我们思考解法时要注意的一点。 2 . 2例 5.已知 sin = 且 J2 + = 2(式)，求-x y x y 3(x + y ) y的值。【解】 设 sin =