九年级数学培优材料.docx

九年级数学培优材料.docx

《九年级数学培优材料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学培优材料.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

九年级数学培优材料

九年级数学培优材料（13）

——实际问题与二次函数

Part1利润问题

【考点说明】

将生活中问题转化为数学问题，运用二次函数的知识求出实际问题的最值，解决销售中的最大利润问题。

建立二次函数的数学模型，求出最值。

【讲练结合】

例1.某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。

根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。

现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。

（注：

每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）

（1）求销售量y与x的函数关系

（2）若商场想获得最大利润，每件降价多少元？

每天最大销售毛利润为多少？

（3）若要每天毛利润不低于500元，其定价在什么范围？

练习1、某汽车租赁公司拥有2O辆汽车。

据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）

（1）公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为_______元（用含x的代数式表示）;

（2）当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?

（3）当每日租出多少辆时，才能使公司盈利？

（4）当每日租出的车辆不少于15辆时，租出多少辆车时，公司收益最大？

最大收益为多少？

练习2.某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.（利润=售价-制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？

当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Part2面积问题

【考点说明】

用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题，尤其是已知周长如何使得面积最大化。

【讲练结合】

例1、张大爷用32米长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长为15米），平行于墙的一面开一扇宽度为2米的门（如图1）。

（注：

门都用其它材料）

（1）设平行于墙的一面长度为y米,垂直于墙的一面长度为x米，试写出y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围

（2）设矩形菜园的面积为S1,则S1的最大值为多少？

（3）张大爷在菜园内开辟出一个小区域存放化肥（如图2），两个区域用篱笆隔开，并有一扇2米的门相连，设此时整个菜园的面积为S2（包括化肥存放处）,则S2的最大值为多少？

若整个菜园的面积不小于81m2,结合图象，直接写出x的取值范围。

图2

图1

例2、（课本26面练习6改编）汉口江滩的空中飞起了形态各异的风筝。

风筝受力面积越大，越容易飞得高。

已知材料的总长度为l,请同学们分析下面用相同长度的同种材料制作的三种风筝中，哪一个的面积最大？

（注：

图形中的实线为风筝的骨架）

（1）一个四边形风筝（图1），中间两根骨架AC、BD互相垂直；

（2）一个“王字型”风筝，AB=CD=EF,GI垂直AB、CD、EF于G、H、I；

（3）

一个扇形风筝；

练习1、如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．

（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；

（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米2．

①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=

时x的值；

②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？

这个值是多少？

练习2、（课本31面练习1改编）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，点F在AD延长线上的一点，BE=DF，四边形AEGF为矩形，矩形AEGF的面积y随BE的长x变化而变化。

（1）直接写出y与x之间的函数关系式____________________

（2）若矩形AEGF的面积y不大于60，求自变量x的取值范围

（3）若矩形AEGF的面积为60时，在EG边取点M，过点M剪下两个正方形，它们的边分别为EM和GM。

若这两个正方形的面积之和为S，试求：

当EM的长为多少时，面积S的值最小？

当EM的长为所少时，面积S最大？

Part3抛物线形·桥洞问题

【考点说明】

用二次函数的知识分析解决有关抛物线形问题。

【讲练结合】

例1、（教材25页探究3改编）如图所示，一个抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽为4米，以桥拱顶端为原点，以抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系

（1）当水面下降1米时，其水面宽度为多少？

增加了多少米？

（2）当水面距离拱顶不低于1米时，水面宽度为多少？

（3）

为了保障桥的安全，水面宽度不少于2米为安全水位，河水上涨的速度为0.1米/小时，几小时候桥会有危险？

（4）一条小船船宽和顶棚宽度均为2米，船底到船顶部的距离为2米，当船的吃水深度（水面到船底的距离）为多少时，船恰好能从拱桥正中间通过？

练习1、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；

（2）求支柱

的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？

请说明你的理由．

练习2、如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：

（1）求水面的宽度CD为多少米？

（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行．

①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？

②若从水面到棚顶的高度为

m的游船刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最大宽度是多少米？

Part4抛物线形·运动问题

【考点说明】

用二次函数的知识分析解决有关抛物线形问题。

二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决

【讲练结合】

例1如图，排球运动员甲站在点O处发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行路线是抛物线的一部分。

当球运动到最高点D时，其高度为2.6m，离甲站立地点O点的水平距离为6m。

球网BC离O点的水平距离为9m,以O为坐标原点建立如图所示的坐标系，乙站立地点M的坐标为（m,0）

（1）

求抛物线的解析式；（不写出自变量的取值范围）

（2）求排球落地点N离球网的水平距离

（3）乙原地起跳可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围？

例2、如图，足球场上守门员在O处开一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B出发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面4米高，球落地后又一次弹起.据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？

（取

=7）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？

（取

=5）

练习1、跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为O.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。

以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；

（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出自变量t的取值范围。

练习2、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？

球会不会出界？

请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

练习3、某学校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高

米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．

⑴建立如图2的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？

（3）若该队员身高1.7米，球出手时距头顶0.3米，那么他需要跳起多高才能投中？

（结果保留一位有效数字）

Part5分段函数问题

【讲练结合】

例1、某商品现在售价为每件60元，每星期可卖300件，已知商品的进价为每件40元。

（1）市场调查反映：

如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件；如何定价才能使利润最大？

（2）市场调查反映：

如果调整价格，当售价在60元到70元之间，每涨价1元，每星期要少卖出10件；当售价在70元以上，每涨价1元，每星期要少卖出16件，如何定价才能使得利润最大？

（售价为整数）

练习1.（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400

元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，

公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种

产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价

均不低于2600元．

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）该公司的销售人员发现：

当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?

（其它销售条件不变）

重难点突破

22．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=

∠BAC.

（1）求证：

AB=AC；

（2）若sin∠BAC=

，求tan∠PCB的值.

22．四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，

且∠AED＝45°．

（1）求证：

CD与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

22、在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且PA＝PC

（1）如图1，求证：

OP∥BC

（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值。

22.如图，AB为⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，E为⊙O的半圆弧上一动点（不与A、B重合），过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点，且CB＝CE．

（1）求证：

CD为⊙O的切线；

（2）若tan∠BAC＝

，求

的值．

23、武汉市黄陂区红岗山茶厂种植“龙井”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y（元/500克）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图甲中的折线表示。

绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z（元/500克）与上市时间t（天）的关系可以近似地用如图乙的抛物线表示。

（1）直接写出图甲中表示的市场销售单价y（元/500克）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式；

（2）求出图乙中表示的种植成本单价z（元/500克）与上市时间t（天）（t＞0）的函数关系式并写出时间t（天）的取值范围。

（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，w（元/500元），问何时上市的绿茶纯收益单价w最大？

24．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，BC=20，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，CE的长为；

（2）当60°＜α＜90°时，是否存在正整数n，使得∠EFD=n∠AEF？

若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

（3）连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．

24．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：

当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得

成立？

并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出

的值．