全国二卷理科数学高考真题版.docx
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全国二卷理科数学高考真题版
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
3•我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯,
且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
B.3盏
D.9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90
B.63
C.42
D.36
2x
3y3
0,
5.设x、y满足约束条件
2x
3y3
0,则z
2xy的最小值是
y
30,
A.15
B
9
C
6.安排3名志愿者完成4项丄作，母人至少完成
1项，每项工作由1人完成，则不同
C.24种
的女排方式共有
A.12种
B
.18种
D.36种
理科数学试题第1页（共4页）
7•甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：
你们四人中
有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲
的成绩.看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩•根据以上信息，则
12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，贝UPA（PBPC）的最小值是
A.2B
D.1
、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100
次，X表示扌由至V二等品件数，贝UDX.
2L3
14.函数f（x）sinx..3cosx（x[0,-]）的最大值是.
42
15.等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410,贝U
k1Sk
16.已知F是抛物线C:
y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，贝UFN.
理科数学试题第2页（共4页）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。
第22/23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17.（12分）
2BABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（AC）8sin•
（1）求cosB;
⑵若ac6，ABC的面积为2，求b.
18.（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽
取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg），其频率分布直方图如下:
新养殖法
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量＜50kg
箱产量》50kg
旧养殖法
新养殖法
2
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.
n（adbe）
（ab）（ed）（ae）（bd）
理科数学试题第3页（共4页）
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等
1边三角形且垂直于地面ABCD，ABBC-AD，
2
BADABC90,E是PD的中点.
（1）证明：
直线CEII平面PAB;
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值.
20.（12分）
2
设O为坐标原点，动点M在椭圆C:
—y21上，过M作x轴的垂线，垂足
2
为N，点P满足NP..2NM.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ1.证明：
过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.
21.（12分）
已知函数f（x）axaxxlnx，且f（x）0.
（1）求a;
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点x°，且e
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做则按所做的第一题计分。
22.［选修44:
坐标系与参数方程］（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的极坐标方程为cos4.
（1）M为曲线Ci上的动点，点P在线段OM上，且满足OMOP|16，求点P
的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，-），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.
3
23.［选修45:
不等式选讲］（10分）
已知a0，b0,a3b32.证明:
（1）（ab）（a5b5）4；
（2）ab2.
理科数学试题第4页（共4页）
三、解答题
17.
（1）由ACB得sinB8sin2~B，即cos旦4sin~B，
222tan旦1，得tanB—，贝U有cosB15.
241517
8i17
（2）由
（1）可知sinB—，贝USabc-acsinB2，得ac一,
1722
18.
（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为
（0.0120.0140.0240.0340.040）50.62，
新养殖法箱产量不低于50kg的频率为
（0.0680.0460.0100.008）50.66，
而两种箱产量相互独立，则P（A）0.620.660.4092.
（2）由频率分布直方图可得列联表
箱产量＜50kg
箱产量》50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
则k2200（62663438）215.7056.635，
10010096104所以有99%勺把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为（0.0040.0200.044）50.340.5，
产量低于55kg的面积为（0.0040.0200.0440.068）50.680.5，
19.
（1）取PA中点F，连结EF、BF.因为E为PD中点，贝UEF//丄AD.而由题可知
2
1
BC/2ad，则EF/BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以EC/FB.又
EC面PAB，FB面PAB，故CE/面PAB.
（2）因为ABAD，则以A为坐标原点，
AB、AD所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.
取AB1，设CMCP（01）则得
A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），P（0，，3），则
CP（1,0小3）,CM（,0,..3），可得点M（1,,3），所以BM（,3）.
J2
20.
（1）设P（x,y），则M（x,——y），将点M代入C中得
2X
2
y
1,
所以点P的轨迹
2
2
2
方程为xy22.
（2）由题可知F（1,0），设Q（3,t）,P（m,n），则OQ
（3,
t）,
PF
（1m,n）
OP（m,n）,PQ（3m,tn）.
由OPOQ1得
3m
2m
tn
n21，由
（1）有m?
n?
2，则有33mtn
0,所以OQ
PF
3
3m
tn
0，即过点
P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点
F.
21.
（1）f（x）的定义域为（0,），贝Uf（x）
0等价于ax
a
lnx
0.
设g（x）axalnx，贝Ug（x）a
1
—.由题可知
a
0,
则由
g（x）
0解得
x
x丄，所以g（x）为（-,）上的增函数，为（0,丄）上的减函数•则有
aaa
1
gmin（x）g（—）
a
1aIna0,解得a1.
（2）由
（1）可知f（x）xxxlnx，则f（x）2x2lnx.
111
设h（x）2x2lnx，则h（x）2-由h（x）0解得x—,所以h（x）为（—，）
x22
11
上的增函数，为（0,罗上的减函数.又因为h（-）ln210,h
（1）0,则h（x）在
22.
（1）设P极坐标为（，）（0）,M极坐标为（°）（!
0）.则OP
0）.所
OMi.由OMOP16得C2的极坐标方程为4cos（
cos
以C2的直角坐标方程为（x2）2y24（x0）.
（2）设B极标为（2,）（20），由题可知OA2,24cos，则有
SOAB
^OA2
sin（
2
sin（2i）三
243
即当
祕时，
OAB
面积的最大值为2<3.
（a3b3）22a3b3ab（a4b4）4ab（a2b2）2
4
（2）因为（ab）3a33a2b3ab2b3
23ab（ab）
2
3（ab）
3（ab）3
所以（ab）38，解得ab2.
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