西南大学2019秋[0158]《高等代数》辅导资料.docx

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判断题

学年学季：

20192

课程代码：

0158

西南大学 网络与继续教育学院

1、一个线性变换的两个不变子空间之和仍是它的不变子空间。

1. A.√

2. B.×

2、线性空间上的线性变换是单射当且仅当是它满射。

1. A.√

2. B.×

3、与对称矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵。

1. A.√

2. B.×

4、两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相等。

1. A.√

2. B.×

5、交换正交矩阵的任意两列所得到的矩阵仍是正交矩阵。

1. A.√

2. B.×

6、欧式空间中保持向量夹角不变的线性变换是正交变换。

1. A.√

2. B.×

7、若n阶方阵A和B的特征多项式相同,则A与B相似.

1. A.√

2. B.×

8、对任意实数a，向量（a,0,1）与向量（-1,1,a）都是线性无关的.

1. A.√

2. B.×

9、n维线性空间V中任意n个线性无关的向量都是V的基.

1. A.√

2. B.×

10、如果两个n阶矩阵相似，那么它们一定合同。

1. A.√

主观题

2. B.×

11、高等代数第一次作业.doc

参考答案：

高等代数第一次作业参考答案

叙述下列概念

1.数域P上多项式p（x）在P上不可约。

答：

p（x）为数域P上多项式，¶（p（x））³1，如果p（x）不能表成数域P上两个次数比p（x）的次数低的多项式的积，则称p（x）为数域P

上不可约多项式。

2.数域P上n维向量组a1,a2,L,am线性相关。

答：

若存在不全为零的数k1,k2,L,kmÎP，使得k1a1+k2a2+L+kmam=0，则称向量组a1,a2,L,am线性相关。

3.数域P上n维向量组a1,a2,L,am的秩。

答：

向量组a1,a2,L,am的极大无关组所含向量的个数称为a1,a2,L,am的秩。

4.矩阵A可逆。

答：

设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

AB=BA=E，

则称A是可逆的，也称A为可逆矩阵。

5.线性空间V的维数

答：

设V为P上线性空间，若在V中有n个线性无关的向量但没有更多数目的线性无关的向量，则称V为n维的，也说V的维数为

n。

6.线性空间V的线性变换。

答：

设V为P上线性空间，A为V的变换，满足

（1）对任何a,bÎV，有A（a+b）=A（a）+A（b）；

（2）对任何kÎP,aÎV，有A（ka）=kA（a）。

则称A为V的线性变换。

12、高等代数第二次作业.doc

参考答案：

高等代数第二次作业参考答案

计算题

1.设f（x）=4x3-3x2+2x-1，g（x）=x2-2x+3为有理数域上的多项式，求g（x）除f（x）的商式q（x）和余式r（x）。

解：

由算式

x2-2x+3

4x3-3x2+2x-1

4x+5

4x3-8x2+12x

5x2-10x-1

5x2-10x+15

-16

得q（x）=4x+5，r（x）=-16。

2.计算下面行列式的值：

（1）D=

1

c

b+a

1

a

c+b

1

b ；

a+c

0

1

L

1

1

0

L

1

L

1

L

1

L

L

L

0

，3，…，n行

解：

将第2行加到第3行，则新行列式的1，3行成比例，所以D=0。

（2）Dn= 。

解：

将第2

都加到第1行，并从第1行提公因子（n-1）得

1

1

L

1

1

0

L

1

L

1

L

1

L

L

L

0

将第1行的（-1）倍分别加到第2，3，…，n行得

Dn=（n-1） ，

1

1

L

1

0

-1

L

0

L

L

L

L

0

0

L

-1

Dn=（n-1） ，

所以Dn=（-1）n-1（n-1）。

æ11

ç

ç

3．设A=ç01

1

è 0

0ö

÷

-1÷，试判断A是否可逆，若可逆，则求出A–1。

2

÷

ø

解：

因为A=1¹0，所以A可逆。

计算A中各元素的代数余子式可得A的伴随矩阵为



é2 -2

ê

A*=ê-1 2

êë-1 1



-1ù

ú

1ú，

1úû

所以A-1=

é2 -2

A

ê

1A*=A*=ê-1 2

êë-1 1

-1ù

ú

1ú。

1úû

4．设a1=（1,0,2,3），a2=（0,1,5,0），a3=（3,2,0,4），a4=（1,1,7,3）为F4中一个向量组，求该向量组的一个极大线性无关组及该向量组

的秩。

解：

以a1,a2,a3,a4为列向量构成矩阵

对A做初等行变换可化为



é10

ê01

A=ê

ê25

3

ê

ë 0



31ù

21ú

ú，

07ú

3

ú

4 û

ê

é10

0

ê 1

ê00

0

ê

ë 0

于是a1,a2,a3为一个极大线性无关组，并且向量组的秩为3。

01ù

01ú

ú，

10ú

0

ú

0 û

1 2 3

5．设V=P3，a=（1,0,0）,a=（1,1,0）,a=（1,1,1），

b1=（0,0,1）,b2=（0,1,1）,b3=（1,1,1），

求由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵。

解：

观察可得

b1=0a1-a2+a3，b2=-a1+0a2+a3。

b3=0a1+0a2+a3。

所以由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵为

é0 -1 0ù

ê ú

ê-1 0 0ú。

êë1 1 1úû

6．求下面的齐次线性方程组的一个基础解系



ìx1+x2+x5=0

ïx+x-x=0。

í1 2 3

ïx+x+x=0

î3 4 5

é1 1 0 0 1ù é1 1 0 0 1ù

解：

A=ê1 1 -1 0 0ú®ê0 0 1 0 1ú，

ê ú ê ú

êë0 0 1 1 1úû êë0 0 0 1 0úû

ìx1=-x2-x5

所以一般解为：

ï x=-x ，其中x,x是自由未知数。

í 3 5 2 5

î

ï x4=0

基础解系为：

h1=（-1,1,0,0,0）,h2=（-1,0,-1,0,1）。

13、高等代数第三次作业.doc

参考答案：

高等代数第三次作业参考答案

证明题

1．设V=Pn´n是数域P上全体n阶方阵关于矩阵加法及数与矩阵的数 乘构成的线性空间，



W={AÎV|Tr（A）=0}。

证

明：

W是V的子空间。

证明：

由于n阶零矩阵在W中，所以W是V的非空子集。

对"A,BÎW，有Tr（A+B）=Tr（A）+Tr（B）=0，所以A+BÎW。

对"kÎP,"AÎW，有Tr（kA）=kTr（A）=0，所以kAÎW。

所以W是V的子空间。

2．设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，证明：

（1）a1可由a2,a3线性表示；

（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。

证明：

（1）由a2,a3,a4线性无关知，其部分组由a2,a3线性表示。

a2,a3线性无关；由于

a1,a2,a3线性相关，而a2,a3线性无关，所以

a1可

（2）若a4能由a1,a2,a3线性表示，由于

（1）a1可由a2,a3线性表示，则

a4能由a2,a3线性表示，这与

a2,a3,a4线性无关矛

盾。

3．设A为n阶矩阵，A的秩R（A）

证明存在n阶非零矩阵B使AB=0。

证明：

因为A的秩R（A）

令h为一个非零解，做n阶矩阵B=（h,0,L,0），则AB=0，且B为零矩阵。

4．设向量组a1,a2,a3线性无关，证明：

向量组a1+a2,a2+2a3,a3+3a1线性无关。

证明：

设

k1（a1+a2）+k2（a2+2a3）+k3（a3+3a1）=0，则

（k1+3k3）a1+（k1+k2）a2+（2k2+k3）a3=0

由于a1,a2,a3线性无关，所以

ìk1+3k3=0

ïk+k=0

í1 2

î

ï2k+k=0

2 3

所以k1=0,k2=0,k3=0，所以a1+a2,a2+2a3,a3+3a1线性无关。