线性代数课后习题答案全)习题详解.docx
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第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）；
（2）;（3）；（4）.
解
（1）
==
（2）
（3）
（4）
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
（1）1234；
（2）4132；
（3）3421；（4）2413；
（5）13…24…；
（6）13……2.
解
（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：
41，43，42，32
（3）逆序数为5：
32，31，42，41,21
（4）逆序数为3：
21，41，43
（5）逆序数为：
321个
52，542个
72，74，763个
…………………
2，4，6，…，个
（6）逆序数为
321个
52，542个
…………………
2，4，6，…，个
421个
62，642个
…………………
2，4，6，…，个
3.写出四阶行列式中含有因子的项.
解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．
由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为
或
和为所求.
4.计算下列各行列式：
（1）；
（2）；（3）；（4）
解
（1）==
=0
（2）=0
（3）===
（4）=
==
5.证明:
（1）=;
（2）=;
（3）;
（4）;
（5）.
证明
（1）
（2）
（3）
（4）=
=
=
=
=
（5）用数学归纳法证明
假设对于阶行列式命题成立，即
所以，对于阶行列式命题成立.
6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得
，，，
证明.
证明
同理可证
7.计算下列各行列式（）：
（1）,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；
（2）;
（3）;提示：
利用范德蒙德行列式的结果．
（4）;
（5）;
（6）,.
解
（1）
（）
（2）将第一行乘分别加到其余各行，得
再将各列都加到第一列上，得
（3）从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，
经次行交换，得
此行列式为范德蒙德行列式
（4）
由此得递推公式：
即
而
得
（5）
=
（6）
8.用克莱姆法则解下列方程组：
解
（1）
;
（2）
（）
．
9.有非零解？
解，齐次线性方程组有非零解，则
即得
不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.
10.有非零解？
解
齐次线性方程组有非零解，则
得
不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.
解由已知:
故,
.
2.已知两个线性变换
,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
解由已知
所以有.
3.设,,求3AB-2A及ATB.
解
.
4.计算下列乘积:
（1）;
解.
（2）;
解=（1´3+2´2+3´1）=（10）.
（3）;
解.
（4）;
解.
（5）;
解
=（a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3）
.
5.设,,问:
（1）AB=BA吗?
解AB¹BA.
因为,,所以AB¹BA.
（2）（A+B）2=A2+2AB+B2吗?
解（A+B）2¹A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以（A+B）2¹A2+2AB+B2.
（3）（A+B）（A-B）=A2-B2吗?
解（A+B）（A-B）¹A2-B2.
因为,,
而,
故（A+B）（A-B）¹A2-B2.
6.举反列说明下列命题是错误的:
（1）若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A¹0.
（2）若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A¹0且A¹E.
（3）若AX=AY,且A¹0,则X=Y.
解取
,,
则AX=AY,且A¹0,但X¹Y.
7.设,求A2,A3,×××,Ak.
解,
××××××,
.
8.设,求Ak.
解首先观察
××××××,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立，则k+1时，
由数学归纳法原理知:
.
9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
（AB）T=（BA）T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:
因为AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以
AB=（AB）T=BTAT=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
（1）;
解.|A|=1,故A-1存在.因为
故.
（2）;
解.|A|=1¹0,故A-1存在.因为
所以.
（3）;
解.|A|=2¹0,故A-1存在.因为
所以.
（4）（a1a2×××an¹0）.
解,由对角矩阵的性质知
.
12.解下列矩阵方程:
（1）;
解.
（2）;
解
.
（3）;
解
.
（4）.
解
.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
（1）;
解方程组可表示为
故,
从而有.
（2）.
解方程组可表示为
故,
故有.
14.设Ak=O（k为正整数）,证明（E-A）-1=E+A+A2+×××+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=（E-A）（E+A+A2+×××+Ak-1）,
所以（E-A）（E+A+A2+×××+Ak-1）=E,
由定理2推论知（E-A）可逆,且
（E-A）-1=E+A+A2+×××+Ak-1.
证明一方面,有E=（E-A）-1（E-A）.
另一方面,由Ak=O,有
E=（E-A）+（A-A2）+A2-×××-Ak-1+（Ak-1-Ak）
=（E+A+A2+×××+Ak-1）（E-A）,
故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+×××+Ak-1）（E-A）,
两端同时右乘（E-A）-1,就有
（E-A）-1（E-A）=E+A+A2+×××+Ak-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及（A+2E）-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A（A-E）=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E
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