第八章 T矩阵.docx

第八章 T矩阵.docx

《第八章 T矩阵.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八章 T矩阵.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第八章T矩阵

第八章—矩阵

一内容概述

1基本概念

1—矩阵设p是一个数域，是一个文字，则称以数域P上的多项式作为元素的矩阵为—矩阵，记为A（）,B（）等。

2—矩阵的运算：

加法，减法，乘法，数乘和转置等，伴随矩阵，行列式，—矩阵的秩。

可逆—矩阵，—矩阵的初等变换，—矩阵的等价。

3行列式因子：

设m*n的—矩阵A（）的秩为r，对于正整数k,1kr在A（）中所有k级子式的首项系数为1的最大公因式称为A（）的K级行列式因子。

记为D（）.

4—矩阵的标准形，不变因子

r1,d（）（i=1,2….r）是首项系数为1的多项式且d（）|d（）（i=1,2,…r-1）称为A（）的标准形。

d（）,d（）,…d（）称为A（）的不变因子。

5）行列式因子与不变因子的关系：

D（）=d（）…d（）k=1,2,…r.d（）=D（）

d（）=K=2,3…r

6）初等因子，设A与n*n矩阵，把A的每个次数大于0不变因子分解成互不相同的一次因式之方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）称为A的初等因子。

A的初等因子和不变因子相互唯一决定。

7）若当标准形J为若当块

2.矩阵等价的充分必要条件：

设A与B都是sn的--矩阵则AB

〈=〉PAQ=B其中P和Q都是可逆矩阵

⇔A与B有相同的标准形

〈=〉A与B有相同的行列式因子

〈=〉A与B有相同的不变因子

3．矩阵相似的充分必要条件：

设A,B都是n阶方阵则

〈=〉E-AE-B

〈=〉A与B有相同的初等因子

〈=〉A与B有相同的不变因子

〈=〉E-A与E-B有相同的标准形

4矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件：

（1）有个线性无关的特征向量

（2）初等因子全是一次的

（3）最小多项式无重根

5如何求矩阵A的若当标准形。

方法步骤；

（1）利用出倒变换把E-A化成对角形，分解主独角戏上的多项式就得到E-A的全部初等因子

（2）相应于每个初等因子作出一个m阶若当块

（3）把全部若当块合起来

既求得矩阵A的若当标准形.

二．例题选讲。

例1下列阶矩阵是否为满秩矩阵？

是否可逆矩阵？

若可逆试求其逆。

（1）A=;

（2）A=

解

（1）==-2！

=0秩=3但不可逆

（2）==2!

=0秩=2且可逆

==亦可用初等变换法求逆。

例2求矩阵A=的标准形

解；因为

A

所以，的标准形为diag（1,,+）

3求矩阵A=的不变因子与行列式因子

解由于A的左下角有一个n-1阶子式等于非零常数故D=1

从而d=d=…=d=1而=+a+…+a+a=f

故d=D=f

例4证明A与A’相似从而有相同的特征值，但特征向量不一定相同（东北师范大学）

证：

设A为n阶矩阵，且E-A的不变因子为d,d,…d.那么存在可逆矩阵P,Q使PQ=

例5求A=的最小多项式

解E-A=

（1）

由

（1）有=1D=1即d=d=1

从

（1）还可以得到D=而D==

d==-16-20

故A的最小多项式为-16-20

例6求A的全体零化多项式集，其中

A=（大连理工大学）

解：

=4A令g（x）=-4x则g（x）是A的一个零化多项式

设A的最小多项式为m（x）则m（x）|-4x而

-4x=x（x+2）（x-2）

因此g（x）首项系数为1的一切因式x,x+2,x-2,+2x.,-2x,-4,-4x

而这些因式中零化多项式只有-2x,和-3x

m（x）=-2x

再设A的零化多项式为M则M=

例7证明：

相似矩阵有相同的最小多项式（湖北大学）

证设A~B即存在可逆矩阵T

使B=AT设m,m分别为A与B的最小多项式

且设

m=+b+…+b+

0=m=+b+bB+bE=TT

m=0,m是A的零化多项式，而m是A的最小多项式

同理可证m|m又由其首项系数均为1，故m=m

例8设A=证明：

有理数多项式f（X）使F（A）=0的充分必要条件是f（x）为

-5x+3的倍式。

证：

先求A=的最小多项式XE-A=D=1d=1

d==x-5x+3

即A的最小多项式为x-5x+3

有理系数多项式f（x）使f（A）=0⇔（x-5x+3）|f（x）

即f（x）为x-5x+3的倍式

例10求C=的若当标准形

解E-C=

由于3阶子式==-4,==

=1D=1d=d=d=1d==

即A的初等因子为故A的若当标准形为

例11求A=的若当标准形

解E-A=

由于3阶子式==

==

由于=1D=1d=d=d=1

而D==

d=D=

例12设4阶方阵A满足A+A-E=0且=2求A的Joedan标准形。

解由AA=AA=E可得A+A-E变为-A-2E=0得

--2=0A的最小多项式m|_-2即m|

故最小多项式m无重根。

故A与角矩阵相似

又A+E!

=0A-2E!

=0而（A+E）（A-2E）=0

A的特征根为-1，2又=-2得A的特征根不可能

为-1两个–1只能是-1，-1，-1，和2

故A的Jordan标准形

为

两边取转置得Q’P’=

从而E-A与E-A’有相同的不变因子，所以A~A’==这说明A与A’有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

但特征向量不一定相同，比如设A=,则A’=

当=1时由（E-A）=0得线性无关的特征向量为=（1,0）’则A属于1的全部特征向量为k其中k为P中非零的任意常数。

当=1时由（E-A’）=0得线性无关的特征向量为=（0,1）’则A’属于1的全部特征向l其中l为P中非零的任意常数。

显然特征向量k与l是不同的，因而它们具有不同的特征向量。

例9求矩阵A=的不变因子初等因子和若当标准形

解因为

E-A=

故d=1.d=d=A的初等因子为,

A的若当标准形为

例13写出以为特征多项式为最小多项式的所有可能的互不相似的若当标准形

解由题设知所求矩阵的阶数为5，而且

D=,d=

于是d=或从而只能有两种类型

d=,d=,d=d=d=1

d=.d=d=d=d=1

因此互不相似的若当标准形有两种：

与

例14判断下列复方阵那些是相似的：

A=B=C=

解先分别计算矩阵A,B,C的特征地下室得

f==f==

f==

只有矩阵A与C才可能相似

再求A与C的标准形得

三个矩阵中仅A与C相似,B与A,B与C均不相似。

例15证明下列三个方阵任何两个都不相似

A=B=C=

证若a=0易见A,B,C的秩互不相同。

故任何两个矩阵都不相似

若A!

=0易见A,B,C的初等因子分别为-a,-a,-a;

-a,,

其中任二组初等因子均不相同，故任何两个矩阵都不相似。

例16在有理数域。

实数域，复数域中，查明下列矩阵是否相似于对角矩阵？

（1）

（2）（3）

解

（1）==在有理数域内相似于

（2）==-5+17-13=0得=1,=2+3,=2-3

由于B有三个相异的复特征根，所以B在复数域上与对角矩阵相似，但由于它仅有一个实根。

所以B在实数域上不能相似于对角矩阵，因而更不能在有理数域相似于对角矩阵。

（3）==--50+20=0

f（-5）>0f（4）<0f=-f=+

f在（-,-5）,（-5,4）（4,+）内各有一个实数根，从而C在实数域上可与对角矩阵相似，因而在复数域上也与对角矩阵相似。

又f无有理根，B在有理数域上无特征根，因而C在有理数域上不能与对角矩阵相似

例17设A=是复矩阵i）求出A的一切可能的若当标准形。

ii）给出A可以对角化的一个充分必要条件。

解i）|E-A|=（+1）若a0可以验算（A-2E）（A+E）0

A的最小多项式是（+1）不计若当快的次序，A的若当标准形为

若a=0A的最小多项式是（-2）（+1）不计若当快的次序A的若当标准形为

ii）A可对角化A的最小多项式无重根即A的最小多项式为（-2）（+1）a=0

例18设A是一个n阶矩阵，如果多项式g（x）使g（A）=0称g（x）为A的零化多项式。

记（）或m（）为A的最小多项式。

证明f（A）=0m（）|f（）

证：

“”若f（）=m（）q（）+r（）其中（r（））<（m（））或r（）=0.0=f（A）=m（A）q（A）+r（A）又m（）是A的最小多项式，若r（）0而r（A）=0.（r（））<（m（））与m（）是最小多项式矛盾，故r（）=0

m（）|f（）

“”若m（）|f（）则f（）=m（）q（）f（A）=m（A）q（A）=0q（A）=0

例19设A为n阶方阵,证明A的最小多项式m（）是最后一个不变因子,

证:

A的特征多项式为f（）=|E-A|=（）=（）（）

（1）

特征矩阵E-A的伴随矩阵为=M（）

（2）

其中M（）是n阶-矩阵其个元素的最大公因式为1将

（1）

（2）代入

（E-A）=f（）E

得（E-A）M（）=（）（）（）0

（E-A）M（）=（）E（3）

于是由-矩阵的余式定理得（A）=0所以（）=M（）q（）（4）

另一方面因为m（A）=0.所以存在n阶-矩阵使m（）E=（E-A）（）（5）

有（3）（4）（5）得（E-A）M（）=（E-A）（）q（）从而M（）=（）q（）

然后M（）中个元素的最大公因式为1.于是q（）=1,因此m（）=（）

例20设f（）是n阶阵A的特征多项式，m（）是A的最小多项式，证明

1）是A的特征根是是m（）的根

2）若A的特征根两二互异，则f（）=m（）;

3）f（）|

证：

1）充分性显然真。

必要性因为A的特征矩阵E-A的秩是n，易知f（）=|E-A|=

任取A的一个特征根。

由f（）=0知必存在,使=0（1in）,但|于是=0,但m（）=（）,故m（）=（）,是m（）的根

2）由题设知f（）==这里（i=1,2,n）两二互异，由1）有m（）==f（）

3）因为（）=m（）,但每个不变因子都是（）的因式，故|即f（）|

例21证：

1）口零矩阵可以对角化2）口零矩阵不能与对角化矩阵相似

证

（1）设=E，g（x）=-1.则g（A）=0m（）|g（）g（）无重根，m（）无重根因此A可以对角化

（2）反证法，若A与是某一对角矩阵相似，那么存在可逆矩阵P，使A=DP=P而=0,P=0=0D为对角矩阵因而D=0

例22如复数域F上的n阶方阵=A（1

A必与一个对角矩阵相似，若限于实数域，如何？

证由题设条件知A有零化多项式g（）=-,而（g（x）,）=1

最小多项式m（）无重根A必与一个对角矩阵相似。

在实数域上结论不一定成立，比如A=

则=A但|E-A|=（+1）而在实数域上相似于对角矩阵，必须A有5个实特征根，由上式知A只有3个实特征根，故A在实数域上不能与对角矩阵相似。

选取适当的a0.使得|aE-|0.于是，可将表成为aE-（aE-）,其中aE-为非退化矩阵，因A（aE-）=（a-）A,又因数量矩阵aE可与任一矩阵交换，故有A（aE）-A（aE-）=（aE）A-（aE-）A即A=A则A可与任一矩阵交换，因而A是数量矩阵。

例25三阶复方阵ABCD有相同的特征多项式，试证其