线性空间知识点归纳及其注释.docx
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线性空间知识点归纳及其注释
线性空间-知识点归纳及其注释
第五章
知识点:
n维数组向量,向量空间,线性空间,线性组合,线性表示,向量组等价,线性相关,线性无关,极大无关组,秩,生成子空间,子空间,基,维数,坐标,基变换,坐标变换,同构,交子空间,和子空间,直和,线性方程组的解空间,基础解系,特解,通解。
#n维数组向量#简称为n维向量,是指由数域Fn个数naaa,,,21组成的n元有序数组,常记为12（,,,）Tnaaa或）,,,（21naaa,又称为n元（数组）向量。
由数域F上所有n维数组向量所构成的线性空间称为n维（元）（数组）向量空间,记为nF。
#线性组合#表达式1122sskkkααα+++称为向量组sααα,,,21的系数分别为12,,,（）skkkF∈的线性组合,skkk,,,21称为线性组合系数。
#线性表示#向量α可由向量组sααα,,,21线性表示（出）是指存在数域F的数skkk,,,21,使1122sskkkαααα=+++。
向量组sααα,,,21可由向量组12,,,tβββ线性表示是指每个iα（1,2,...,is=）都可由向量组12,,,tβββ线性表示。
显然,向量组的线性表示具有传递性。
在nF,向量α可由向量组sααα,,,21线性表示⇔线性方程组
1122
ssxxxαααα+++=有解⇔1212（,,
,）（,,
）ssrankrankααααααα=。
#向量组等价#向量组sααα,,,21与向量组12,,,tβββ等价是指向量组
sααα,,,21与向量组12,,,tβββ可以相互线性表示。
显然,向量组等价是
等价关系,即具有自反性、对称性和传递性。
若矩阵A经过有限次行初等变换成为B,则A与B的行向量组等价。
#线性相关#向量组sααα,,,21线性相关是指存在数域F不全为零的数
skkk,,,21,使02211=+++sskkkααα;否则称为线性无关。
对一个向量,线性相关即为零向量,线性无关即为非零向量;
12,,,
（2）ssααα≥线性相关当且仅当其一个可以有其余s-1个线性表示。
若向量组sααα,,,21线性无关,而12,,,,sαααα线性相关,则α可由向量组
sααα,,,21唯一地线性表示。
若向量组sααα,,,21线性相关,则12,,,,sαααα线性相关;若向量组
12,,,,sαααα线性无关,则sααα,,,21线性无关。
在nF,向量组sααα,,,21线性相关⇔齐次线性方程组11220ssxxxααα+++=有非零解⇔12（,,,）sranksααα<;向量组sααα,,,21线性无关⇔齐次线性方程组11220ssxxxααα+++=只有零解
⇔12（,,
）sranksααα=;当sn>时,sααα,,,21一定线性相关。
设12（,,...,）TniiiinaaaFα=∈,121（,,...,）iiiininaaaaβ+=,,1,2,...,is=;那么,
sααα,,,21线性无关⇒12,,,sβββ线性无关;12,,,sβββ线性相关
⇒sααα,,,21线性相关。
若矩阵A经过有限次行初等变换成为B,则A的列向量组sααα,,,21与B的列向量组12,,,sβββ具有完全相同的线性关系,即
1122
112
2
00sssskkkkkkαααβββ+++=⇔+++=,其12,,,（）skkkF∈;从而
sααα,,,21线性相（无）关⇔12,,,sβββ线性相（无）关;1
2
,,r
iiiααα是sααα,,,21的极大无关组⇔1
2
,,r
iiiβββ是12,,,sβββ的极大无关组。
若向量组sααα,,,21可由向量组12,,,tβββ线性表示,且s>t,则
sααα,,,21线性相关;
若向量组sααα,,,21可由向量组12,,,tβββ线性表示,且sααα,,,21线性无关,则st≤;向量组sααα,,,21与向量组12,,,tβββ等价,且都线性无关,则s=t。
#极大线性无关向量组#简称极大无关组,是指向量组（A）的一个部分向量组12,,...,rααα,其本身线性无关,但从（A）任意添加一个向量（如果还有的话）
1rα+,则121,,...,,rrαααα+都线性相关。
一个向量组与其任一极大无关组等价;
一个向量组的任意两个极大无关组等价,从而所含向量的个数相等。
#秩#向量组（A）的秩是指其任一极大无关组所含向量的个数;记为rank（A）。
矩阵的行（向量组的）秩,等于其列（向量组的）秩,也等于其秩（最高阶非零子式的阶）。
#线性空间#又称向量空间,是指数域F上一非空集合V,连同其定义的两个满足以下八条法则的运算（分别称为加法和数乘,记为+和⋅,统称为线性运算）,记为（）VF,其的元素称为向量:
αββα+=+;
（）（）αβγαβγ++=++;V存在零元素θ,即对V任一元素α,有
αθα+=;V每个元素α都有负元α-,即（）ααθ+-=;1αα⋅=;
（）（）klklαα⋅⋅=⋅⋅;（）klklααα+⋅=⋅+⋅;（）kkkαβαβ⋅+=⋅+⋅,其,,,,VklFαβγ∀∈∈。
#子空间#是指线性空间V的一非空子集W,其对V的加法和数乘封闭,即满足对,,WkFαβ∀∈∀∈,有,kWαβα+∈;其本身也是线性空间。
#生成子空间#由向量组sααα,,,21生成的子空间是指由向量组
sααα,,,21的所有线性组合所构成的子空间;sααα,,,21称为其生成元。
生成的子空间必是子空间;反之,子空间必是其任一极大无关组（基）
生成的生成子空间。
#基#是指线性空间V的任一组极大无关组,如12,,...,nααα;即其本身线性无关,但从V任意加一个向量1nα+,则121,,...,,nnαααα+都线性相关。
线性代数只讨论基为有限个向量的线性空间,即有限维线性空间。
有限维线性空间V的任一线性无关向量组都可以扩充为V的一组基。
#维数#是指线性空间V的任一组基所含向量的个数;记为dimV。
12,,
neee是nF的一组基,从而ndimFn=。
#坐标#在线性空间V,用一组基12,,,nααα（线性）表示一个向量ξ:
1122nnaaaξααα=++
+的（有序）系数组12（,,,）Tnaaa或12（,,,）naaa称为
ξ在基12,,
nααα下的坐标;其ia称为ξ的第i个坐标或分量。
#基变换#是指用线性空间V的一组基（旧基）12,,,nεεε（线性）表示
其另一组基（新基）'''12,,
nεεε的变换
（公式）'11112121'
21212222'1122nnnnnnnnnn
aaaaaaaaaεεεεεεεεεεεε⎧=++
+⎪=++
+⎪⎨⎪⎪=++
+
⎩即11
12121
222'''12121
2
（,,,）（,,
）nnnnnnnnaaaaaaaaaεεεεεε⎛⎫⎪⎪
=⎪⎪⎝⎭
或简记为''
'1212（,,
）（,,,）nnT
εεεεεε=⋅。
其1112121
2221
2
nnnnnnaaaa
aaTaaa⎛⎫⎪⎪
=⎪⎪⎝⎭称为从（旧）基12,,,nεεε到（新）基'''12,,,nεεε的过渡矩阵;它可逆,于是又有'''11212（,,
）（,,,）nnTεεεεεε-=⋅,它是从（新）基'''
12,,,nεεε到（旧）基12,,,nεεε的变换（公式）。
#坐标变换#是指在线性空间V,用一个向量ξ在V的一组基（旧基）
12,,,nεεε下的坐标（旧坐标）X表示其在另一组基（新基）'''
12,,,nεεε下的坐标（新坐标）Y的变换（公式）1
YTX-=,其T为从（旧）
基12,,,nεεε到（新）基'''12,,,nεεε的过渡矩阵,即
'''1212（,,,）（,,,）nnTεεεεεε=。
此时又有XTY=⋅,它是从ξ的（新）坐标Y到其（旧）坐标X的变换（公式）。
#交子空间#是指线性空间V的两个线性子空间12,VV的交集合121
{|VVVαα⋂=∈且2}Vα∈所构成的线性子空间。
#和子空间#是指线性空间V的两个线性子空间12,VV的和集合{}12121122|,VVVVαααα+=+∈∈所构成的线性子空间。
维数公式:
121212（）（）dimVdimVdimVVdimVV+=++⋂。
#直和#子空间的直和是指线性空间V的两个交子空间为零子空间的子空间12,VV的和子空间,记为12VV⊕;此时称1V为2V的补子空间,2V为
1V的补子空间。
#同构#是指两个线性空间之间的保持线性运算的双射。
两个有限维线性空间同构⇔它们等维（维数相等）;V是数域F上的n维线性空间⇔V同构于nF。
#解空间#齐次线性方程组AX=O的解空间是指其所有解构成的子空间。
n元齐次线性方程组AX=O的解空间为nF的n-r维子空间,其r=rank（A）。
#基础解系#齐次线性方程组AX=O的基础解系是指其解空间的任一组基。
若rank（A）=r,且PAQ=diag{Ir,O},其P,Q为可逆方阵,则Q的后n-r列ξξnr,,1+即为AX=O的一组基础解系。
#特解#非齐次线性方程组AX=b的任一特定的解称为其特解。
#通解#（非）齐次线性方程组AX=O（AX=b）的通解是指其所有解的统一表达式。
若ξξnr,,1+为AX=O的一组基础解系,*η为AX=b的一特解,
则AX=O和AX=b的通解分别为11nrrnXkkξξ-+=++和11（,1,,）nrirnXFinrkkkηξξ-+=*+++∈=-,其r=rank（A）。
非齐次线性方程组AX=b的特解*η及其导出方程组AX=O的基础解系ξξnr,,1+都可以通过对其增广矩阵（Ab）作初等变换而直接得到。
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