一元二次方程及根的定义.docx
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一元二次方程及根的定义
元二次方程及根的定义〔曲
程，解方程求出另一个根即可
解：
将=-代入原方程，得''-
解方程，得」_1
当'1■-—时，原方程都可化为
存-6^+8=0
解方程，得・二0-4.
所以方程的另一个根为4，-’•或-1.
举一反三:
【变式1】已知一元二次方程「二二.1I的一个根是：
；：
，求代数式
思路点拨：
抓住二为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题解：
因为住是方程…」二二--的一个根，
所以-I一_-L_：
u1一故J■一J二匚_、
2004tS=—1+曲
2005
所以
-2004a-hr
/十1
“2005
-1+应■+
总结升华：
方程”即是一个等式”在等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一
种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验
=2004.
类型二、一元二次方程的解法临
2.用直接开平方法解下列方程:
22
（1）3-27x=0；
（2）4（1-x）-9=0.
2
解:
（1）27x=3
宀丄$
2
（2）
4（1-x）=9
3.用配方法解下列方程：
圖
（1）J「r；；
（2）/--J.'.工L
解:
（1）由叮r,，
得-■:
■，
xa-H67+31-32十？
所以A'+?
：
==-,
故•一-亠.
（2）由，亠一':
-i---
得厂-■:
--
F+2屈+（歼=（励+4
（工1②2=6
?
所以'■1:
J
故T二・、：
I_/-
C»4.用公式法解下列方程：
解：
⑴这里'-■L-•
并且1屮一［丨:
■-1（.-
_g±J&2_斗舲1±Vs
X==：
所以二-,
1+75冈i—工1二
所以2,.
（2）将原方程变形为■'■'：
-,
.-；■
-畠±3—4盘-2士屈-1±屈-罷土愿
2^-r-4=0
这里"-1
并且•.“I--■:
--■:
-
_£±_4舲1±V33
X=:
二
所以LS-
所以1|
总结升华：
公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对
我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材
5.用因式分解法解下列方程：
曲
⑴'，\；⑵…■-
（3）|凶］.
I|上l・”rc\jr■一T
解：
（1）将原方程变形为，
提取公因式，得—，
因为上「，所以-1
所以:
=•或T—1二-,
⑵直接提取公因式，得肚-现更
所以I1_|-或Z'i厂、，（即T"A
（3）直接用平方差公式因式分解得
［（x十&）+2口］［（工+总）-加=0
所以•或上■■_-
举一反三：
【变式1】用适当方法解下列方程.
（1）2（x+3）2=x（x+3）;
（2）x2-2x+2=0;
22
⑶X-8x=0;（4）x+12x+32=0.
2
解:
（1）2（x+3）=x（x+3）
2
2（x+3）-x（x+3）=0（x+3）[2（x+3）-x]=0
（x+3）（x+6）=0
xi=-3,X2=-6.
—右土J带_4游2昉土应
x=
X2=l-'
（3）x（x-8）=0
xi=0,X2=8.
（4）配方，得
2
x+12x+32+4=0+4
（x+6）2=4
x+6=2或x+6=-2
X1=-4，X2=-8.
点评：
要根据方程的特点灵活选用方法解方程
6.若「「L'一7,求丄匚的值孟
思路点拨：
观察，把握关键：
换元，即把-I:
:
看成一个整体
解：
由'：
'-|：
得L
..!
■I-P
〔/+,）-呼=16
所以計-
故亠L「或门〕-（舍去）,
所以-：
'-■-.
总结升华：
把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
7.（武汉）一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是（）訓
A.有两个相等的实数根；B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根；D.没有实数根
解析：
因为△=3-4>4*2）>0,所以该方程有两个不相等的实数根答案:
B.
丰宀卄*十孙一2*
8.（重庆）右关于x的一兀一次方程x+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取
值范围是（）^3
丄丄丄丄
A.m>1-B.mv1二C.m>-匸D.mv」-
思路点拨：
因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足-'「.
2
解：
由题意，得△=1-4>>-3m）>0,
解得m>-I_.
答案:
C.
举一反三：
【变式1】当m为什么值时，关于x的方程，1；'1；；•有实根.
思路点拨：
题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分
仁」、—•|和二.,两种情形讨论.
解：
当厂「
4-°即滋一土乙时，「仪+1）-0，方程为一元一次方程，总有实根;
2__
当;」4/:
即t工±2时，方程有根的条件是:
△二2佃十1）『一4佃？
一4）二尿+20工0
—
•••当：
且记工11时，方程有实根
综上所述：
当［时，方程有实根•
【变式2】若关于x的一兀二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.
思路点拨：
要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值
._22
是正、负或0•因为一兀二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）-4（a-2）（a+1）v0就可求出a的取值范围.
解：
•••关于x的一兀二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根.（-2a^-4（a-2）（a+1）=4a2-4^+4a+8v0
一满足-丁.
■/ax+3>0即ax>-3
.所求不等式的解集为•
类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值
9.（河北）若xi,X2是一元二次方程2x〔3x+仁0的两个根，则x^+x^的值是（）§,,!
A.〜B.「C.二D.7
思路点拨：
本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入xi2+x；，求得其值•但一般
不解方程，只要将所求代数式转化成含有X计X2和X1X2的代数式，再整体代入.
解：
由根与系数关系可得Xi+X2=二,XiX2=t,Xi2+X22=（xi+X2）2-2xiX2=
（二）2-2X="答案:
A.
总结升华：
公式之间的恒等变换要熟练掌握•
类型五、一元二次方程的应用临
考点讲解：
1.构建一元二次方程数学模型：
一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通
过审题弄清具体
问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.
2.注重解法的选择与验根：
在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要
对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.
C»10.（陕西）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一
幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方
程是（危
解析：
在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为（80+2x）cm，?
宽为
2
（50+2x）cm，由题意，可得（80+2x）（50+2x）=5400，整理得x+65x-350=0.答案:
B.
11.（海口）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出
500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少
20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价
多少元庄
解：
设每千克水果应涨价x元，依题意，得（500-20x）（10+x）=6000.
2
整理，得x-15x+50=0.解这个方程，x1=5,X2=10.
要使顾客得到实惠，应取x=5.
答：
每千克应涨价5元.
总结升华：
应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.
12.（深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为
130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围
栏，求花圃的长和宽.蹴
-33^+130=0x1=10.帀=〒
13
:
不合题意，舍去.
答：
花圃的长为13米，宽为10米.
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