人教A版高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题.docx
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人教A版高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线x－y＝0的倾斜角为（ ）
A．45° B．60°
C．90°D．135°
2．若三点A（0，8），B（－4，0），C（m，－4）共线，则实数m的值是（ ）
A．6B．－2
C．－6D．2
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
4．已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则直线l的方程为（ ）
A．x＋y－4＝0B．x－y－4＝0
C．x＋y＋4＝0D．x－y＋4＝0
5．已知直线l1：
（a－1）x＋（a＋1）y－2＝0和直线l2：
（a＋1）x＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
6．和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．5x＋4y＋1＝0B．5x＋4y－1＝0
C．－5x＋4y－1＝0D．－5x＋4y＋1＝0
7．直线2ax＋（a2＋1）y－1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
∪
C.
∪
D.
∪
8．直线l过点A（3，4）且与点B（－3，2）的距离最远，那么l的方程为（ ）
A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0
9．过点（3，－6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x＋y＝0B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋3＝0D．x＋y＋3＝0或2x＋y＝0
10．设点A（3，－5），B（－2，－2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≥1或k≤－3B．－3≤k≤1
C．－1≤k≤3D．以上都不对
11．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）
A．第一、第二、第三象限
B．第一、第二、第四象限
C．第一、第三、第四象限
D．第二、第三、第四象限
12．如图所示，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________________．
14．已知斜率为2的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（－1，b）三点，则a，b的值分别为________．
15．已知直线l在y轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．
16．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0（ab≠0，a≠b），则下列各示意图形中，正确的是______（填序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知直线l1：
ax＋by＋1＝0（a，b不同时为0），l2：
（a－2）x＋y＋a＝0，
（1）若b＝0，且l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当b＝3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
18．（本小题满分12分）当m为何值时，直线（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y＝4m－1满足下列条件？
（1）倾斜角为45°；
（2）在x轴上的截距为1.
19.（本小题满分12分）如图所示，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：
x－2y＋2＝0上．
（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
20．（本小题满分12分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．
21．（本小题满分12分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）．
（1）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）证明：
不论a为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；
（3）证明：
不论a为何值，直线恒过第四象限．
22．（本小题满分12分）已知直线l：
2x－y＋1＝0和点O（0，0），M（0，3），试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．
高中数学必修2第三章《直线与方程》单元测试题
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线x－y＝0的倾斜角为（ ）
A．45° B．60°
C．90°D．135°
解析：
因为直线的斜率为1，所以tanα＝1，即倾斜角为45°.
答案：
A
2．若三点A（0，8），B（－4，0），C（m，－4）共线，则实数m的值是（ ）
A．6B．－2
C．－6D．2
解析：
因为A、B、C三点共线，所以kAB＝kAC，
所以
＝
，所以m＝－6.
答案：
C
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
解析：
由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.
答案：
D
4．已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则直线l的方程为（ ）
A．x＋y－4＝0B．x－y－4＝0
C．x＋y＋4＝0D．x－y＋4＝0
解析：
由截距式方程可得l的方程为
＋
＝1，即x＋y－4＝0.
答案：
A
5．已知直线l1：
（a－1）x＋（a＋1）y－2＝0和直线l2：
（a＋1）x＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
解析：
因为l1⊥l2，所以（a－1）（a＋1）＋2a＋2＝0，
所以a2＋2a＋1＝0，即a＝－1.
答案：
A
6．和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为（ ）
A．5x＋4y＋1＝0B．5x＋4y－1＝0
C．－5x＋4y－1＝0D．－5x＋4y＋1＝0
解析：
设所求直线上的任一点为（x，y），则此点关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），因为点（x，－y）在直线5x－4y＋1＝0上，所以5x＋4y＋1＝0，故所求直线方程为5x＋4y＋1＝0.
答案：
A
7．直线2ax＋（a2＋1）y－1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
∪
C.
∪
D.
∪
解析：
设直线2ax＋（a2＋1）y－1＝0的倾斜角为θ，
则tanθ＝－
，
a＝0时，tanθ＝0，可得θ＝0，
a＞0时tanθ≥－
＝－1，当且仅当a＝1时取等号，
所以θ∈
，
a＜0时，tanθ≤1，当且仅当a＝－1时取等号，
所以θ∈
，
综上可得，θ∈
∪
.
答案：
D
8．直线l过点A（3，4）且与点B（－3，2）的距离最远，那么l的方程为（ ）
A．3x－y－13＝0B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0D．3x＋y＋13＝0
解析：
因为过点A的直线l与点B的距离最远，所以直线AB垂直于直线l，直线l的斜率为－3，由点斜式可得直线l的方程为3x＋y－13＝0.
答案：
C
9．过点（3，－6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A．2x＋y＝0B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋3＝0D．x＋y＋3＝0或2x＋y＝0
解析：
当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点（3，－6）代入得k＝－2，此时直线方程为2x＋y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为
＋
＝1，将（3，－6）代入得a＝－3，此时直线方程为x＋y＋3＝0.
答案：
D
10．设点A（3，－5），B（－2，－2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．k≥1或k≤－3B．－3≤k≤1
C．－1≤k≤3D．以上都不对
解析：
如图所示，直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3，
结合图形可知k≥1或k≤－3.
答案：
A
11．已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）
A．第一、第二、第三象限
B．第一、第二、第四象限
C．第一、第三、第四象限
D．第二、第三、第四象限
解析：
因为ab＜0，bc＜0，
所以a，b，c均不为零，在直线方程ax＋by＋c＝0中，
令x＝0得，y＝－
＞0，
令y＝0得x＝－
，
因为ab＜0，bc＜0，所以ab2c＞0，所以ac＞0，
所以－
＜0，所以直线通过第一、第二、第三象限．
答案：
A
12．如图所示，已知两点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2
解析：
易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1（4，2），点P关于y轴对称的点为A′（－2，0），则光线所经过的路程即A1（4，2）与A′（－2，0）两点间的距离．
于是|A1A′|＝
＝2
.
答案：
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．与直线7x＋24y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是________________．
解析：
设所求直线为7x＋24y＋m＝0（m≠－5）．
把直线7x＋24y＝5整理为一般式得7x＋24y－5＝0.
由两平行直线间的距离公式得：
＝3，解得m＝70或m＝－80，故所求直线方程为7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0.
答案：
7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0
14．已知斜率为2的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（－1，b）三点，则a，b的值分别为________．
解析：
由题意得
即
解得a＝4，b＝－3.
答案：
4，－3
15．已知直线l在y轴上的截距是－3，它被两坐标轴截得的线段的长为5，则此直线的方程为______________________________．
解析：
设所求的直线方程为
＋
＝1，则此直线与x轴交于点（a，0），与y轴交于点（0，－3），由两点间的距离公式解得a＝±4，故所求的直线方程为
＋
＝1，即3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.
答案：
3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0
16．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，l2的方程是bx－y－a＝0（ab≠0，a≠b），则下列各示意图形中，正确的是______（填序号）．
解析：
①中l1要求a＞0，b＞0，而l2要求a＜0，b＜0，故①不正确；②中l1要求a＞0，b＜0，而l2要求b＞0，a＜0，故②不正确；③中l1要求a＜0，b＞0，而l2要求a＜0，b＜0，故③不正确；④中l1要求a＜0，b＞0，而l2要求b＞0，a＜0，故④正确．
答案：
④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知直线l1：
ax＋by＋1＝0（a，b不同时为0），l2：
（a－2）x＋y＋a＝0，
（1）若b＝0，且l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当b＝3，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
解：
（1）当b＝0时，直线l1的方程为ax＋1＝0，由l1⊥l2，知a－2＝0，解得a＝2.
（2）当b＝3时，直线l1的方程为ax＋3y＋1＝0，当l1∥l2时，有
解得a＝3，
此时，直线l1的方程为3x＋3y＋1＝0，
直线l2的方程为x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0.
故所求距离为d＝
＝
.
18．（本小题满分12分）当m为何值时，直线（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y＝4m－1满足下列条件？
（1）倾斜角为45°；
（2）在x轴上的截距为1.
解：
（1）倾斜角为45°，则斜率为1.
所以－
＝1，解得m＝－1或m＝1（舍去）．
直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，所以m＝－1.
（2）当y＝0时，x＝
＝1，
解得m＝－
或m＝2，当m＝－
或m＝2时都符合题意，
所以m＝－
或m＝2.
19.（本小题满分12分）如图所示，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：
x－2y＋2＝0上．
（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
解：
（1）由题意可知，E为AB的中点，
所以E（3，2），且kCE＝－
＝1，
所以CE所在直线方程为：
y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
（2）由
得C（4，3），所以|AC|＝|BC|＝2，
AC⊥BC，
所以S△ABC＝
|AC|·|BC|＝2.
20．（本小题满分12分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．
解：
（1）经过已知两直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ（x－2y）＝0，
即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
所以
＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝
或λ＝2.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
（2）由
解得交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）．
所以dmax＝|PA|＝
＝
.
21．（本小题满分12分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）．
（1）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）证明：
不论a为何值，直线恒过某定点，并求出这个定点的坐标；
（3）证明：
不论a为何值，直线恒过第四象限．
（1）解：
将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，欲使l不经过第二象限，
当且仅当
或
成立．
所以a≤－1，故所求a的取值范围为a≤－1.
（2）证明：
方程可整理成a（x－1）＋x＋y＋2＝0，当x＝1，y＝－3时方程a（x－1）＋x＋y＋2＝0对a∈R恒成立，因此，直线恒过点（1，－3）．
（3）证明：
由
（2）知，直线恒过第四象限内的点（1，－3），因此，不论a为何值，直线恒过第四象限．
22．（本小题满分12分）已知直线l：
2x－y＋1＝0和点O（0，0），M（0，3），试在l上找一点P，使得||PO|－|PM||的值最大，并求出这个最大值．
解：
设点O（0，0）关于直线l：
2x－y＋1＝0的对称点为O′（x0，y0），则OO′的中点坐标为
，联立2×
－
＋1＝0和
＝－
，
解得x0＝－
，y0＝
.所以O′
，
则直线MO′的方程为y－3＝
x.
直线MO′与直线l：
2x－y＋1＝0的交点P
即为所求，相应的||PO|－|PM||的最大值为|MO′|＝
.
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