勾股定理拓展与拔高.docx

勾股定理拓展与拔高.docx

《勾股定理拓展与拔高.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理拓展与拔高.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

勾股定理拓展与拔高

勾股定理拓展与拔尖

一、

知识构造

直角三角形的判别方法:

:

假设三角形的三边满足那么它是一个直角三角形.

二.知识点回忆

1、勾股定理的应用：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：

〔1〕直角三角形的两边求第三边

〔2〕直角三角形的一边与另两边的关系。

求直角三角形的另两边

〔3〕利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形

（1）先确定最大边〔如c〕

（2）验证

与

是否具有相等关系

（3）假设

=

，那么△ABC是以∠C为直角的直角三角形；假设

≠

那么△ABC不是直角三角形。

3.勾股数：

满足

=

的三个正整数，称为勾股数

如〔1〕3，4，5；〔2〕5，12，13；〔3〕6，8，10；〔4〕8，15，17〔5〕7，24，25〔6〕9,40,41

三．典型题剖析：

针对训练、延伸训练

考点一证明三角形是直角三角形

1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=

BC，求证：

ÐEFA=90°.

针对训练：

1、：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

考点二运用勾股定理的逆定理进展计算

例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，

求△ABC的周长。

针对训练：

1、.：

如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：

四边形ABCD的面积.

考点三勾股定理的折叠问题

例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，那么CE的长为     ．

针对训练：

1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，那么线段DE的长为〔　　〕

A．3         B．

        C．5         D．

考点四勾股定理的卡车通过大门问题

例、某工厂的大门如下图，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD＝2.3m，AB＝2m，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5m，宽1.6m，试猜测这辆大卡车能否通过厂门？

请说明理由．

考点五勾股定理的探究和应用问题

例、如下图，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：

　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？

假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请说明理由.

　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延

　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？

假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请说明理由.

针对训练：

1观察以下图形，答复以下问题：

问题〔1〕：

假设图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，那么正方形M的面积为。

问题〔2〕：

如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是；〔用图中字母表示〕问题〔3〕：

如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影局部的面积．

考点六勾股定理的设计问题

例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进展电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

针对训练：

1如下图，铁路上有A、B两点〔看做直线上两点〕相距40千米，C、D为两村庄〔看做两个点〕，AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？

考点七勾股定理的最短路径问题

例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如下图的圈数缠绕，那么丝带的最短长度为cm．〔结果保存π〕

针对训练：

1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是〔　　〕

A．5cm

B．5.4cm

C．6.1cm

D．7cm

考点八勾股定理的勾股数问题

常见的勾股数及几种通式有：

（1）〔3，4，5〕,〔6，8，10〕……3n,4n,5n（n是正整数）

（2）〔5，12，13〕,〔7，24，25〕,〔9，40，41〕……

（3）（8，15，17）,（12，35，37）……

（4）m2－n2,2mn,m2＋n2（m、n均是正整数，m>n）简单列出一些：

课堂小测试〔8分钟〕

1.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，以下说法中正确的选项是〔〕

A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为10

2．一个Rt△的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是〔　　〕

A、25B、14C、7D、7或25

3．以下各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是〔　　〕

A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=5

3．三角形的三边长为〔a+b〕2=c2+2ab,那么这个三角形是（）

A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.

4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，那么这个三角形最长边上的高是（）

A．4B．

C.

D．

5．Rt△ABC中，∠C=90°，假设a+b=14cm，c=10cm，那么Rt△ABC的面积是〔　　〕

A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2

6、直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm，那么它的面积为（）。

A．12

B．6

C．8

D．9

7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，那么三角形的面积为〔　　〕

A、56B、48C、40D、32

8．Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数，那么Rt△的周长为〔　　〕

A、121B、120C、90D、不能确定

9．，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，那么两船相距〔　　〕

A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里

10.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，假设小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为〔〕。

A、600米B、800米C、1000米D、不能确定

勾股定理独立作业〔20分钟〕

1．以下各组数据中，可以构成直角三角形的是〔〕

A．13、16、19B．17、21、23C．18、24、36D．12、35、37

2．有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒，可搭成〔首尾连接〕直角三角形的个数为〔〕

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，那么S△ABC为〔〕

A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm2

4．假设线段a、b、c能组成直角三角形，那么它们的比可以是〔〕

A．1︰2︰4B．1︰3︰5C．3︰4︰7D．5︰12︰13

5．假设直角三角形的两直角边的长分别是10cm、24cm，那么斜边上的高为〔〕

A．6cmB．17cmC．

cmD．

cm

6．有下面的判断：

①△ABC中，

，那么△ABC不是直角三角形。

②△ABC是直角三角形，∠C=90°，那么

。

③假设△ABC中，

，那么△ABC是直角三角形。

④假设△ABC是直角三角形，那么

。

以上判断正确的有〔〕

A．4个B．3个C．2个D．1个

7．Rt△ABC的两边长分别是3和4，假设一个正方形的边长是△ABC的第三边，那么这个正方形的面积是〔〕

A．25B．7C．12D．25或7

8．一个三角形的三边之比是3︰4︰5，那么这个三角形三边上的高之比是〔〕

A．20︰15︰12B．3︰4︰5C．5︰4︰3D．10︰8︰2

9．在△ABC中，如AB=2BC，且∠B=2∠A，那么△ABC是〔〕

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

10．如图是一个边长为60cm的立方体ABCD—EFGH，一只甲虫在菱EF上且距F点10cm的P处，它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是〔〕

A．130B．

C．

D．不确定

11．假设△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，那么此三角形的形状为〔〕

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定

12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的选项是〔〕

A．

B．

C．

D．