FIR数字滤波器的设计等波纹最佳逼近法.docx
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FIR数字滤波器的设计等波纹最佳逼近法
FIR数字滤波器的设计--等波纹最佳逼近法
一、等波最佳逼近的原理简介
等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，即最大误差最小化准则，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。
用等波纹最佳逼近法设计的FIR数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度，这就是等波纹的含义。
最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。
与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。
阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。
等波纹最佳逼近法的设计思想 。
用
表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,
必须满足线性相位约束条件。
用
表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。
定义加权误差函数
为
式中，
为幅度误差加权函数，用来控制不同频带（一般指通带和阻带）的幅度逼近精度。
等波纹最佳逼近法的设计在于找到滤波器的系数向量
，使得在通带和阻带内的最大绝对值幅度误差
为最小，这也就是最大误差最小化问题。
二、等波纹逼近法设计滤波器的步骤和函数介绍
1.根据滤波器的设计指标的要求：
边界频率，通带最大衰减，阻带最大衰等估计滤波器阶数n，确定幅度误差加权函数
2.采用Parks-McClellan算法，获得所设计滤波器的单位脉冲响应
实现FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法的MATLAB信号处理工具函数为firpm和firpmord。
firpm函数采用数值分析中的多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的FIR数字滤波器的单位脉冲响应
。
firpmord根据逼近指标,计算采用Parks-McClellan算法等波纹最佳逼近滤波器的最低阶数，误差加权向量w,归一化边界频率向量f。
3对firpm和firpmord的说明
firpm
函数功能：
采用Parks-McClellan算法设计FIR滤波器
函数格式：
hn=firpm（n,f,m,w）
n是滤波器的阶
hn是数字滤波器的单位脉冲响应，其长度为n+1
f是希望滤波器的边界频率向量，要求f是单调增向量，并且从0开始，以1结束，1对于数字频率
m是与f对应的希望滤波器的幅度向量，m和f的长度相等，
表示希望滤波器在频率点
上的幅频响应，m和f给出了希望滤波器的幅度特性。
w是误差加权向量，其长度为f的一半。
表示对m中第i个频率段幅度逼近精度的加权值。
w缺省时，函数默认w全为1，即每个频率段的逼近误差加权值相同。
firpmord函数
函数功能：
根据逼近指标，计算采用Parks-McClellan算法等波纹最佳逼近滤波器的最低阶数n，误差加权向量w和归一化边界频率f。
其返回参数作为firpm函数的调用参数。
函数格式：
[n,f,m,w]=firpmord（f,m,rip,fs）
f可以是归一化边界数字频率向量，也可以是模拟边界频率向量，但必须以0开始，以1结束或fs/2结束，并且其中省略了0和fs/2两个频率点。
fs是时域采样频率，单位Hz。
fs缺省时,函数默认fs=2Hz.但这是f的长度（包括省略0和fs/2两个频率点）是m的两倍，即m中的每个元素表示f给定的一个逼近频段上的希望逼近的幅度值。
rip表示f和m描述的各逼近段允许的波纹振幅（幅频响应最大偏差）。
4.注意事项：
省略fs时，f必须是归一化的数字频率
有时计算的阶数n略小，使设计结果达不到指标要求，这时要取n+1或n+2
三、程序
低通滤波器设计
%Lowpassfilter:
wp=,ws=,N=26
%peakpassbandrippleis,peakstopbandrippleis
clc;clear;clearall;
wp_l=*pi;ws_l=*pi;N1=26;deltal_1=;deltal_2=;%初始化参数
f_l=[0wp_lws_lpi]/pi;%设定归一化的firpm函数参数
deltal=[deltal_1,deltal_2];
a_l=[1100];%幅值
[n,f,m,w_l]=firpmord（f_l（2:
3）,[10],deltal）;%计算权值
fil_l=firpm（N1,f_l,a_l,w_l）;%生成滤波器
figure
（1）;
stem（fil_l,'.'）;
title（'impulseresponseoflowpassfilter'）;xlabel（'timesequence'）;ylabel（'amplitude'）;
fft_l=fft（fil_l,1024）;
db_l=20*log10（abs（fft_l））;%对数表示
figure
（2）;
plot（[0:
length（fft_l）-1]/length（fft_l）,db_l）;%将横坐归化到0-1,单位为1/1024
title（'Log-magnituderesponseoflowpassfilter'）;xlabel（'Normalizedfrequency'）;ylabel（'Magnituderesponse（dB）'）;
axis（[0-10010]）;%设坐标轴的范围，只取0-2pi的一半
afl=abs（fft_l）;%取傅变的幅值
afl_p=zeros（1,1024/2）;afl_s=zeros（1,1024/2）;%初始化两个一行512列的零序列
afl_p（1:
fix（（wp_l/（2*pi））*1024））=afl（1:
fix（（wp_l/（2*pi））*1024））-1;%将通带幅值赋给序列一
afl_s（fix（（ws_l/（2*pi））*1024）+3:
end）=afl（fix（（ws_l/（2*pi））*1024）+3:
end/2）;%将阻带幅值赋给序列二
figure（3）;
plot（[0:
1024/2-1]/1024,afl_p+afl_s）;%将通带和阻带的波形显示到一幅图像上
title（'passbandandstopbandapproximationerroroflowpassfilter'）;xlabel（'Normalizedfrequency'）;ylabel（'Passbandandstopbandripple'）;
带通滤波器设计
%Bandpassfilter:
ws1=,wp1=,wp2=,ws2=,N=80
%peakpassbandrippleis,eachpeakstopbandrippleis
ws_b1=*pi;wp_b1=*pi;wp_b2=*pi;ws_b2=*pi;N2=80;deltab_1=;deltab_2=;deltab_3=;
deltab=[deltab_1,deltab_2,deltab_3];
f_b=[0ws_b1wp_b1wp_b2ws_b2pi]/pi;
a_b=[001100];
[n,f,m,w_b]=firpmord（f_b（2:
5）,[010],deltab）;
fil_b=firpm（N2,f_b,a_b,w_b）;
figure（4）;
stem（fil_b,'.'）;
title（'impulseresponseofbandpassfilter'）;xlabel（'timesequence'）;ylabel（'amplitude'）;
fft_b=fft（fil_b,1024）;
db_b=20*log10（abs（fft_b））;
figure（5）;
plot（[0:
length（fft_b）-1]/length（fft_b）,db_b）;
title（'Log-magnituderesponseofbandpassfilter'）;xlabel（'Normalizedfrequency'）;ylabel（'Magnituderesponse（dB）'）;
axis（[0-10010]）;
afb=abs（fft_b）;
afb_p=zeros（1,1024/2）;afb_s=zeros（1,1024/2）;
afb_p（fix（（wp_b1/（2*pi））*1024）+3:
fix（（wp_b2/（2*pi））*1024））=afb（fix（（wp_b1/（2*pi））*1024）+3:
fix（（wp_b2/（2*pi））*1024））-1;
afb_s（fix（（ws_b2/（2*pi））*1024）+2:
end）=afb（fix（（ws_b2/（2*pi））*1024）+2:
end/2）;
afb_s（1:
fix（（ws_b1/（2*pi））*1024））=afb（1:
fix（（ws_b1/（2*pi））*1024））;
figure（6）;plot（[0:
1024/2-1]/（1024）,afb_p+afb_s）;
title（'passbandandstopbandapproximationerrorofbandpassfilter'）;xlabel（'Normalizedfrequency'）;ylabel（'Passbandandstopbandripple'）;
高通滤波器设计
%Highpassfilter:
ws=,wp=,N=34
%peakpassbandrippleis,peakstopbandrippleis
ws_h=*pi;wp_h=*pi;N3=34;deltah_1=;deltah_2=;
deltah=[deltah_1,deltah_2];
f_h=[0ws_hwp_hpi]/pi;
a_h=[0011];
[n,f,m,w_h]=firpmord（f_h（2:
3）,[01],deltah）
fil_h=firpm（N3,f_h,a_h,w_h）;
figure（7）;
stem（fil_h,'.'）;
title（'impulseresponseofhighpassfilter'）;xlabel（'timesequence'）;ylabel（'amplitude'）;
fft_h=fft（fil_h,1024）;
db_h=20*log10（abs（fft_h））;
figure（8）;
plot（[0:
length（fft_h）-1]/length（fft_h）,db_h）;
title（'Log-magnituderesponseofhighpassfilter'）;xlabel（'Normalizedfrequency'）;ylabel（'Magnituderesponse（dB）'）;
axis（[0-10010]）;
afh=abs（fft_h）;
afh_p=zeros（1,1024/2）;afh_s=zeros（1,1024/2）;
afh_p（fix（（wp_h/（2*pi））*1024）+5:
end）=afh（fix（（wp_h/（2*pi））*1024）+5:
end/2）-1;
afh_s（1:
fix（（ws_h/（2*pi））*1024））=afh（1:
fix（（ws_h/（2*pi））*1024））;
figure（9）;
plot（[0:
1024/2-1]/（1024）,afh_p+afh_s）;
title（'passbandandstopbandapproximationerrorofhighpassfilter'）;xlabel（'Normalizedfrequency'）;ylabel（'Passbandandstopbandripple'）;
仿真图
1）以下三幅图依次为低通滤波器的冲激响应，对数幅频响应和通带阻带波纹
2）以下三幅图依次为带通滤波器的冲激响应，对数幅频响应和通带阻带波纹
3）以下三幅图依次为高通滤波器的冲激响应，对数幅频响应和通带阻带波纹
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