人教版第二十六章反比例函数教案全章.docx
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人教版第二十六章反比例函数教案全章
第二十六章反比例函数
26.1.1反比例函数的意义
、教学目标
1.使学生理解并掌握反比例函数的概念
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数,并会用待定系数法求函数解析式3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想、重、难点
1.重点:
理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式
2.难点:
理解反比例函数的概念
3.难点的突破方法:
(1)在引入反比例函数的概念时,可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识,这样以旧带新,相互对比,能加深对反比例函数概念的理解
k
(2)注意引导学生对反比例函数概念的理解,看形式y,等号左边是函数y,等
x号右边是一个分式,自变量x在分母上,且x的指数是1,分子是不为0的常数k;看自变量x的取值范围,由于x在分母上,故取x≠0的一切实数;看函数y的取值范围,因为k≠0,且x≠0,所以函数值y也不可能为0。
讲解时可对照正比例函数y=kx(k≠0),比较二者解析式的相同点和不同点。
k1
(3)y(k≠0)还可以写成ykx1(k≠0)或xy=k(k≠0)的形式
x
三、课堂引入
1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?
它们的一般形式是怎样的?
2、体育课上,老师测试了百米赛跑,那么,时间与平均速度的关系是怎样的?
3、阅读书P2思考题
四、例习题分析
例1.P3
k
,再把x=2和y=6代入上式求出x
分析:
因为y是x的反比例函数,所以先设y常数k,即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1.(补充)下列等式中,哪些是反比例函数
k
y(k为常数,k≠0)x
13xx,(6)改写后是y
x
1
6)y3(7)y=x-4
x
分析:
根据反比例函数的定义,关键看上面各式能否改写成
的形式,这里
(1)、(7)是整式,(4)的分母不是只单独含分子不是常数,只有
(2)、(3)、(5)能写成定义的形式
3m2
例2.(补充)当m取什么值时,函数y(m2)x3m是反比例函数?
k1
分析:
反比例函数y(k≠0)的另一种表达式是ykx1(k≠0),后一种写法
x
中x的次数是-1,因此m的取值必须满足两个条件,即m-2≠0且3-m2=-1,特别注意不要遗漏k≠0这一条件,也要防止出现3-m2=1的错误。
解得m=-2
例3.(补充)已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5
(1)求y与x的函数关系式
(2)当x=-2时,求函数y的值
分析:
此题函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答,先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式,再代入数值,通过解方程或方程组求出比例系数的值。
这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同,故不能都设为k,要用
不同的字母表示。
k2k2
略解:
设y1=k1x(k1≠0),y22(k2≠0),则yk1x2,代入数值求得k1=2,
xx
2
k2=2,则y2x,当x=-2时,y=-5
x
五、随堂练习
1.苹果每千克x元,花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为
2.若函数y(3m)x8m是反比例函数,则m的取值是
3.矩形的面积为4,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为
4.已知y与x成反比例,且当x=-2时,y=3,则y与x之间的函数关系式是,
当x=-3时,y=
1
5.函数y中自变量x的取值范围是
x2
六、课后练习
已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=0;当x=4时,y=9,求当x=-1时y的值
答案:
y=4
26.1.2反比例函数的图象和性质
(1)
一、教学目标
1.会用描点法画反比例函数的图象
2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3.体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1.重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质
2.难点:
正确画出图象,通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质
3.难点的突破方法:
画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤,即:
列表、描点、
k连线,其中列表取值很关键。
反比例函数y(k≠0)自变量的取值范围是x≠0,所以
x取值时应对称式地选取正数和负数各一半,并且互为相反数,通常取的数值越多,画出的图象越精确。
连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。
教学时,老师要带着学生一起画,注意引导,及时纠错。
在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数y=kx(k≠0)的图象和性质,来帮助
学生观察、分析及归纳,通过对比,能使学生更好地理解和掌握所学的内容。
这里要强调一下,反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的;反之,双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号,注意让学生体会数形结合的思想方法。
四、课堂引入
提出问题:
1.一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是什么?
其性质有哪些?
正比例函数y=kx(k≠0)呢?
2、画函数图象的方法是什么?
其一般步骤有哪些?
应注意什么?
3、反比例函数的图象是什么样呢?
五、例习题分析
例2.见教材P4,用描点法画图,注意强调:
(1)列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值
(2)由于函数图象的特征还不清楚,所以要尽量多取一些数值,多描一些点,这样便于连线,使画出的图象更精确
(3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函数图象永远不会与x轴、y轴相交,只是无限靠近两坐标轴
m23
例1.(补充)已知反比例函数y(m1)xm3的图象在第二、四象限,求m值,并指出在每个象限内y随x的变化情况?
分析:
此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即ykx1(k≠0)自变量x的指数是-1,二是根据反比例函数的性质:
当图象位于第二、四象限时,k<0,则m-1
<0,不要忽视这个条件
2
略解:
∵y(m1)xm3是反比例函数∴m2-3=-1,且m-1≠0
又∵图象在第二、四象限∴m-1<0
1
例2.(补充)如图,过反比例函数y(x>0)的图
解得m2且m<1则m2
x象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是较它们的大小,可得()
(C)S1<S2(D)大小关系不能确定
k
分析:
从反比例函数y(k≠0)的图象上任一点P(x,y)向x轴、y轴作垂线段,
x
1
与x轴、y轴所围成的矩形面积Sxyk,由此可得S1=S2=,故选B
五、随堂练习
3k
1.已知反比例函数y,分别根据下列条件求出字母k的取值范围
x
(1)函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内,y随x的增大而增大
a
2.函数y=-ax+a与y(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()
x
y轴的垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积是6,则函数解析式为
七、课后练习
3m
1.若函数y(2m1)x与y的图象交于第一、三象限,则m的取值范围是x
2
2.反比例函数y,当x=-2时,y=;当x<-2时;y的取值范围是
x
当x>-2时;y的取值范围是
a6
3.已知反比例函数
y(a2)x,当x0时,y随x的增大而增大,
求函数关系式
26.1.2反比例函数的图象和性质
(2)
、教学目标
1.使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2.能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系,体会数形结合及转化的思想方法、重点、难点
1.重点:
理解并掌握反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题
2.难点:
学会从图象上分析、解决问题
3.难点的突破方法:
在前一节的基础上,可适当增加一些较综合的题目,帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质,要让学生学会如何通过函数图象分析解析式,或由函数解析式分析图象的方法,以便更好的理解数形结合的思想,最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。
三、课堂引入
复习上节课所学的内容
1.什么是反比例函数?
2.反比例函数的图象是什么?
有什么性质?
四、例习题分析
例3.见教材P7
k
分析:
反比例函数y的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号,因此
x
要先求常数k,而题中已知图象经过点A(2,6),即表明把A点坐标代入解析式成立,所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。
例4.见教材P7
k
例1.(补充)若点A(-2,a)、B(-1,b)、C(3,c)在反比例函数y(k
x<0)图象上,则a、b、c的大小关系怎样?
分析:
由k<0可知,双曲线位于第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增
大,因为A、B在第二象限,且-1>-2,故b>a>0;又C在第四象限,则c<0,所以b>a>0>c
说明:
由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内,因此函数y随x的增减性就不能连续的看,一定要强调“在每一象限内”,否则,笼统说k<0时y随x的增大而增大,就会误认为3最大,则c最大,出现错误。
此题还可以画草图,比较a、b、c的大小,利用图象直观易懂,不易出错,应学会使用。
m
的图象交于
x
A(-2,1)、B(1,n)两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取
值范围
分析:
因为A点在反比例函数的图象上,可先求出反比例函数
2
的解析式y,又B点在反比例函数的图象上,代入即可求出
x
n的值,最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y=-x-1,
第
(2)问根据图象可得x的取值范围x<-2或0的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。
五、随堂练习
1.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则函数
ykb的图象在(
x
A)第一、三象限
C)第三、四象限
B)第二、四象限D)第一、二象限
式正确的是()
B)y1>y3>y2
D)y3>y1>y2
(A)y1>y2>y3(C)y2>y1>y3
六、课后练习
y随自变量