数学建模实验.docx
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数学建模实验
数学建模实验
数学建模课程实验报告
专题实验7
班级
数财系1班
学号
23
姓名
李丛文
实验题目
常微分方程数值解
实验目的
1．掌握用MATLAB求微分方程初值问题数值解的方法；
2．通过实例学习微分方程模型解决简化的实际问题；
3．了解欧拉方法和龙格库塔方法的基本思想。
实验内容
（包括分析过程、方法、和代码，结果）
1.用欧拉方法和龙格库塔方法求下列微分方程初值问题的数值解，画出解的图形，对结果进行分析比较
解；M文件
functionf=f（x,y）
f=y+2*x;
程序；
clc;clear;
a=0;b=1;%求解区间
[x1,y_r]=ode45（'f',[ab],1）;%调用龙格库塔求解函数求解数值解；
%%以下利用Euler方法求解
y
（1）=1;N=100;h=（b-a）/N;
x=a:
h:
b;
fori=1:
N
y（i+1）=y（i）+h*f（x（i）,y（i））;
end
figure
（1）
plot（x1,y_r,'r*',x,y,'b+',x,3*exp（x）-2*x-2,'k-'）;%数值解与真解图
title（'数值解与真解图'）;
legend（'RK4','Euler','真解'）;
xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;
figure
（2）
plot（x1,abs（y_r-（3*exp（x1）-2*x1-2））,'k-'）;%龙格库塔方法的误差
title（'龙格库塔方法的误差'）
xlabel（'x'）;ylabel（'Error'）;
figure（3）
plot（x,abs（y-（3*exp（x）-2*x-2））,'r-'）%Euler方法的误差
title（'Euler方法的误差'）
xlabel（'x'）;ylabel（'Error'）;
4.单摆运动是一个我们熟悉的物理模型，可以看作工程技术中一些振动问题的简化，图8中一根长l的（无弹性的）细线，一端固定，另一端悬挂一质量为m的小球，在重力作用下小球处于竖直的平衡位置，使小球偏离平衡位置一根小的角度
，然后让它无初速度的放开，小球就会沿圆弧摆动，在不考虑空气阻力的情况下建立
关于时间t的微分方程，设l=25cm，在
等于
和
两种情况下求方程的数值解，并与近似解
比较。
解；实验原理与数学模型：
在小球摆动过程中的任一位置θ，小球所受重力沿运动轨迹方向的分力为-mgsinθ（负号表示力的方向与θ的正方向相反），利用牛顿第二定律即得微分方程
描述单摆运动规律的微分方程
（1）是2阶微分方程，无解析解，但可用Matlab或其它软件编程求其数值解，但都需要先将它化成方程组的形式。
令
则微分方程
（1）化为
初始条件转化为
在前面的两式中，g=，l=，x10为10o=（弧度）及30o=（弧度）两种情况.
周期
根据上原理，可以建立模型，用matlab编程求解，过程如下，程序以单摆的两个周期来计算作图。
M文件；
functiondx=danbai（t,x）
g=;l=;
dx=[x
（2）;-g/l*sin（x
（1））];
程序；
一.当
时
ts=0:
:
2;
a0=;
x0=[a0,0];
[t,x]=ode23（@danbai,ts,x0）;
y=a0*cos（sqrt（40）.*t）;
[t,x（:
1）,y]
subplot（1,2,2）,plot（t,x（:
1）,'-k*'）,title（'摆角10度数值解'）
subplot（1,2,1）,plot（t,y,'b*'）,plot（t,y,'-r*'）,title（'摆角10度近似解'）
ans=
0
二.当
时，
ts=0:
:
2;
a0=;
x0=[a0,0];
[t,x]=ode23（@danbai,ts,x0）;
y=a0*cos（sqrt（40）.*t）;
[t,x（:
1）,y]
subplot（1,2,2）,plot（t,x（:
1）,'-k*'）,title（'摆角30度数值解'）
subplot（1,2,1）,plot（t,y,'b*'）,plot（t,y,'-r*'）,title（'摆角30度近似解'）
ans=
0
从数据可以看出，角度为10o时精确（数值）解与近似解相差不大，而初始角度为30o时，随着时间的增加差别很大
实验结果分析或者实验总结和体会
龙格库塔方法和Euler方法求解常微分方程都能获得比较好的数值解，相比较而言龙格库塔方法的数值解的精度远远要比Euler方法的数值解的精度高。
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