高二数学上 76 圆的方程二优秀教案.docx

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高二数学上76圆的方程二优秀教案

2019-2020年高二数学上7.6圆的方程

（二）优秀教案

教学目的：

1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；

2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；

3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；

4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索

教学重点：

圆的一般方程

的形式特征

教学难点：

对圆的一般方程

的认识直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：

圆心坐标和半径

本节为第二课时讲解圆的一般方程

教学过程：

一、复习引入：

1．圆的定义：

平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆

2．求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程）

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;

（4）化方程为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明）

3．建立圆的标准方程的步骤：

建系设点；写点集；列方程；化简方程

4.圆的标准方程：

圆心为，半径为，

若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是

5．圆的标准方程的两个基本要素：

圆心坐标和半径

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决

二、讲解新课：

圆的一般方程：

将圆的标准方程的展开式为：

取

得

①

再将上方程配方，得

②

不难看出，此方程与圆的标准方程的关系

（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；

（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;

（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

综上所述，方程

表示的曲线不一定是圆

只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如

的表示圆的方程称为圆的一般方程

圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

（1）和的系数相同，且不等于0；

（2）没有这样的二次项

但要注意：

以上两点是二元二次方程

表示圆的必要条件，但不是充分条

看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了

1．点与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

直线和圆的方程联立得到一元二次方程，若

三、讲解范例：

例1求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标

分析：

据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程

解：

设所求的圆的方程为：

∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，

即

解此方程组，可得：

∴所求圆的方程为：

；

得圆心坐标为（4，-3）.

或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为（4,-3）

例2已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线

分析：

在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出

解：

在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合

即,

整理得：

所求曲线方程即为：

将其左边配方，得

∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示

例4求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程

解：

设经过两已知圆的交点的圆的方程为

则其圆心坐标为

∵所求圆的圆心在直线上，

∴

∴所求圆的方程为

说明：

此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程

例5如图，已知定点A（2，0），点Q是圆上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程

解：

由三角形的内角平分线性质，得，∴.

设M、Q的坐标分别为、，则

∵Q在圆上，∴＝１，

∴

∴动点M的轨迹方程为

说明：

注意三角形内角平分线性质的应用.

例6．已知直线,曲线有两个公共点，求b的取值范围

解：

由方程组得

消去得,（）

和有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是

解得1≤b＜为所求

点评：

此题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题.此题也可直接画出图形来判断.即在同一坐标系内作出及的图形（如图）易得b的取值范围是１≤ｂ＜

四、课堂练习：

课堂练习

1.下列方程各表示什么图形？

（1）;

解：

此方程表示一个点O（0，0）

（2）

;

解：

可化为:

∴此方程表示以点（1，-2）为圆心，为半径的圆

（3）

解：

可化为：

，

∴此方程表示以（-,0）为圆心，为半径的圆

2.求下列各圆的半径和圆的坐标：

（1）答案：

即，圆心为（3，0），半径为3

（2）答案：

即，圆心为（0，-b），半径为｜b|

（3）

答案：

即

，圆心为（,）,半径为｜｜

五、小结：

1．对方程

的讨论（什么时候可以表示圆）

2．方程

表示一个圆的充要条件

3．与标准方程的互化

4．用待定系数法求圆的方程

5．圆与圆的位置关系

六、课后作业：

补充：

若实数x、y满足等式，那么的最大值为（）

A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

解：

∵实数满足，

∵（）是圆上的点，记为P，

∵是直线OP的斜率，记为

∴OP:

代入圆方程，消去，得

直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0,

∴，所以，选Ｄ

七、板书设计（略）

八、课后记：

2019-2020年高二数学上7.7《数列的极限》教案沪教版

一、教学内容分析

极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.

二、教学目标设计

1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.

2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.

3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.

三、教学重点及难点

重点：

数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.

难点：

数列极限的定义的理解.

四、教学用具准备

电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发

思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、情景引入

1、创设情境，引出课题

1.观察

教师：

在古代有人曾写道：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”哪位同学能解释一下此话意思？

学生：

一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，……，如此继续下去，永远也无法取完.

2.思考

教师：

如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？

学生：

3．讨论

教师；随着的增大，数列的项会怎样变化？

学生：

慢慢靠近0.

教师：

这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题

二、学习新课

2、观察归纳，形成概念

（1）直观认识

教师：

请同学们考察下列几个数列的变化趋势

（a）

①“项”随的增大而减小②但都大于0

③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0

（b）

①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小

②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0

（c）

①“项”随的增大而增大②但都小于1

③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1

教师：

用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：

（a）从右趋近（c）从左趋近（b）从左右

两方趋近，使学生明白不同的趋近方式

教师：

上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”

概念辨析

教师：

归纳数列极限的描述性定义

学生：

一般地，如果当项数无限增大时，数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以为极限.

教师：

是不是每个数列都有极限呢？

学生1：

（思考片刻）不是.如

学生2：

教师：

请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？

如果有，说出极限.

n是偶数

n是奇数

（a）

（b）无穷数列：

学生1：

数列（a）有极限，当是奇数时，数列的极限是0，当是偶数时，数列的极限是1.数列（b）的极限是0.4.

教师：

有不同意见吗？

学生2：

数列（b）的极限是0.34

学生3：

数列（b）的极限不存在

（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）

教师：

数列（a）有极限吗？

数列（b）的极限究竟是多少？

（学生们沉思）

学生4：

数列（a）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b）的极限是.

教师：

回答的非常正确（用动画演示数列（b）的逼近过程），同学们对（a）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b）随着的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.

（2）量化认识

教师：

用什么来体现这种无限接近的过程呢？

学生：

用和之间的距离的缩小过程，即趋近0

教师：

现在以数列为例说明这种过程观察：

距离量化：

，随着的增大，的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要充分的大，都有比给定的正数小.

教师：

请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找.

问题拓展

学生：

老师再来几个其它的数列

教师：

以上我们以提到的和

为例，大家可以再操作一下.

教师：

（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？

学生：

只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.

教师：

顺理成章的给出数列极限的定义：

一般地，设数列是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数，就有，那么就说数列以为极限，记作，或者时.

教师：

常数数列的极限如何？

学生：

是这个常数本身.

教师：

为什么？

学生：

因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.

三、巩固练习

讲授例题

已知数列

①把这个数列的前5项在数轴上表示出来.

②写出的解析式.

③中的第几项以后的所有项都满足

④指出数列的极限.

课堂练习

第41至42的练习.

四、课堂小结

①无穷数列是该数列有极限的什么条件.

②常数数列的极限就是这个常数.

③数列极限的描述性定义.

④数列极限的的定义.

五、作业布置

1．课本第42页习题2，3,4

2．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）

七、教学设计说明

对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.