小学数学13种典型例题口诀及解析汇报.docx
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小学数学13种典型例题口诀及解析汇报
小学数学13种典型例题口诀及解析
小学数学的难点在哪里?
和差、和比、差比、路程、工程、植树、盈亏……
这些题型都是小学数学的难点内容,也是考试必考的题型之一。
今儿,贴心的小编为亲们整理小学数学13种题型的例题口诀及解析,让孩子做题轻松愉快!
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已知两数的和与差,求这两个数。
例:
已知两数和是10,差是2,求这两个数。
【口诀】
和加上差,越加越大;除以2,便是大的;和减去差,越减越小;除以2,便是小的。
按口诀,则大数=(10+2)/2=6,小数=(10-2)/2=4。
例:
甲数比乙数大12,甲:
乙=7:
4,求两数。
【口诀】
我的比你多,倍数是因果。
分子实际差,分母倍数差。
商是一倍的,乘以各自的倍数,两数便可求得。
先求一倍的量,12/(7-4)=4,
所以甲数为:
4X7=28,乙数为:
4X4=16。
例1:
小军今年8岁,爸爸今年34岁,几年后,爸爸的年龄是小军的3倍?
【口诀】
岁差不会变,同时相加减。
岁数一改变,倍数也改变。
抓住这三点,一切都简单。
分析:
岁差不会变,今年的岁数差点34-8=26,到几年后仍然不会变。
已知差及倍数,转化为差比问题。
26/(3-1)=13,几年后爸爸的年龄是13X3=39岁,小军的年龄是13X1=13岁,所以应该是5年后。
例2:
姐姐今年13岁,弟弟今年9岁,当姐弟俩岁数的和是40岁时,两人各应该是多少岁?
分析:
岁差不会变,今年的岁数差13-9=4几年后也不会改变。
几年后岁数和是40,岁数差是4,转化为和差问题。
则几年后,姐姐的岁数:
(40+4)/2=22,弟弟的岁数:
(40-4)/2=18,所以答案是9年后。
已知整体,求部分。
例:
甲乙丙三数和为27,甲:
乙:
丙=2:
3:
4,求甲乙丙三数。
【口诀】
家要众人合,分家有原则。
分母比数和,分子自己的。
和乘以比例,就是该得的。
分母比数和,即分母为:
2+3+4=9;
分子自己的,则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9,3/9,4/9。
和乘以比例,则甲为27X2/9=6,乙为27X3/9=9,丙为27X4/9=12。
例:
鸡免同笼,有头36,有脚120,求鸡兔数。
【口诀】
假设全是鸡,假设全是兔。
多了几只脚,少了几只足?
除以脚的差,便是鸡兔数。
求兔时,假设全是鸡,则免子数=(120-36X2)/(4-2)=24
求鸡时,假设全是兔,则鸡数=(4X36-120)/(4-2)=12
【口诀】
相遇那一刻,路程全走过。
除以速度和,就把时间得。
(1)相遇问题
例:
甲乙两人从相距120千米的两地相向而行,甲的速度为40千米/小时,乙的速度为20千米/小时,多少时间相遇?
相遇那一刻,路程全走过,即甲乙走过的路程和恰好是两地的距离120千米。
除以速度和,就把时间得,即甲乙两人的总速度为两人的速度之和40+20=60(千米/小时),所以相遇的时间就为120/60=2(小时)
(2)追及问题
例:
姐弟二人从家里去镇上,姐姐步行速度为3千米/小时,先走2小时后,弟弟骑自行车出发速度6千米/小时,几时追上?
【口诀】
慢鸟要先飞,快的随后追。
先走的路程,除以速度差,时间就求对。
先走的路程:
3X2=6(千米)
速度的差:
6-3=3(千米/小时)
追上的时间:
6/3=2(小时)
(1)加水稀释
例:
有20千克浓度为15%的糖水,加水多少千克后,浓度变为10%?
【口诀】
加水先求糖,糖完求糖水。
糖水减糖水,便是加水量。
加水先求糖,原来含糖为:
20X15%=3(千克)
糖完求糖水,含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水,3/10%=30(千克)
糖水减糖水,后的糖水量减去原来的糖水量,30-20=10(千克)
(2)加糖浓化
例:
有20千克浓度为15%的糖水,加糖多少千克后,浓度变为20%?
【口诀】
加糖先求水,水完求糖水。
糖水减糖水,求出便解题。
加糖先求水,原来含水为:
20X(1-15%)=17(千克)
水完求糖水,含17千克水在20%浓度下应有多少糖水,17/(1-20%)=21.25(千克)
糖水减糖水,后的糖水量再减去原来的糖水量,21.25-20=1.25(千克)
例:
一项工程,甲单独做4天完成,乙单独做6天完成。
甲乙同时做2天后,由乙单独做,几天完成?
【口诀】
工程总量设为1,1除以时间就是工作效率。
单独做时工作效率是自己的,一齐做时工作效率是众人的效率和。
1减去已经做的便是没有做的,没有做的除以工作效率就是结果。
[1-(1/6+1/4)X2]/(1/6)=1(天)
【口诀】
植树多少棵,要问路如何?
直的减去1,圆的是结果。
例1:
在一条长为120米的马路上植树,间距为4米,植树多少棵?
路是直的,则植树为120/4-1=29(棵)。
例2:
在一条长为120米的圆形花坛边植树,间距为4米,植树多少棵?
路是圆的,则植树为120/4=30(棵)。
【口诀】
全盈全亏,大的减去小的;一盈一亏,盈亏加在一起。
除以分配的差,结果就是分配的东西或者是人。
例1:
小朋友分桃子,每人10个少9个;每人8个多7个。
求有多少小朋友多少桃子?
一盈一亏,则公式为:
(9+7)/(10-8)=8(人),相应桃子为8X10-9=71(个)
例2:
士兵背子弹。
每人45发则多680发;每人50发则多200发,多少士兵多少子弹?
全盈问题,则大的减去小的,即公式为:
(680-200)/(50-45)=96(人),相应的子弹为96X50+200=5000(发)。
例3:
学生发书。
每人10本则差90本;每人8本则差8本,多少学生多少书?
全亏问题,则大的减去小,即公式为:
(90-8)/(10-8)=41(人),相应书为41X10-90=320(本)
例:
时钟现在表示的时间是18点整,分针旋转1990圈后是几点钟?
【口诀】
余数有(N-1)个,最小的是1,最大的是(N-1)。
周期性变化时,不要看商,只要看余。
分析:
分针旋转一圈是1小时,旋转24圈就是时针转1圈,也就是时针回到原位。
1980/24的余数是22,所以相当于分针向前旋转22个圈,分针向前旋转22个圈相当于时针向前走22个小时,时针向前走22小时,也相当于向后24-22=2个小时,即相当于时针向后拔了2小时。
即时针相当于是18-2=16(点)。
【口诀】
每牛每天的吃草量假设是份数1,A头B天的吃草量算出是几?
M头N天的吃草量又是几?
大的减去小的,除以二者对应的天数的差值,结果就是草的生长速率。
原有的草量依此反推。
公式:
A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
未知吃草量的牛分为两个部分:
一小部分先吃新草,个数就是草的比率;有的草量除以剩余的牛数就将需要的天数求知。
例:
整个牧场上草长得一样密,一样快。
27头牛6天可以把草吃完;23头牛9天也可以把草吃完。
问21头多少天把草吃完。
每牛每天的吃草量假设是1,则27头牛6天的吃草量是27X6=162,23头牛9天的吃草量是23X9=207;
大的减去小的,207-162=45;二者对应的天数的差值,是9-6=3(天),则草的生长速率是45/3=15(牛/天);
原有的草量依此反推——
公式:
A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
原有的草量=27X6-6X15=72(牛/天)。
将未知吃草量的牛分为两个部分:
一小部分先吃新草,个数就是草的比率,这就是说将要求的21头牛分为两部分,一部分15头牛吃新生的草;剩下的21-15=6去吃原有的草,
所求的天数为:
原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12(天)
正方体有6个面,12条棱,当沿着某棱将正方体剪开,可得到正方体的展开图形,很显然,正方体的展开图形不是唯一的,但也不是无限的,事实上,正方体的展开图形有且只有11种,11种展开图形又可以分为4种类型:
141型
中间一行4个作侧面,上下两个各作为上下底面,共有6种基本图形。
2231型
中间一行3个作侧面,共3种基本图形。
3222型
中间两个面,只有1种基本图形。
433型
中间没有面,两行只能有一个正方形相连,只有1种基本图形。
小学阶段奥数知识点汇总,先收藏了!
还包括小升初中常考的题目类型等。
有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。
1.、小升初奥数知识点(年龄问题的三大特征)
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
2、小升初奥数知识点(植树问题总结):
基本类型:
在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树。
3、鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:
找出总量的差与单位量的差。
4、奥数知识点(盈亏问题)
盈亏问题
基本概念:
一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题:
确定对象总量和总的组数。
5、小升初奥数知识点(牛吃草问题)
牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题:
确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
6、小升初奥数知识点(平均数问题)
平均数
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
算出总数量以及总份数,利用基本公式①或②进行计算。
(基准数法:
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②)
7、小升初奥数知识点(周期循环数)
周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:
确定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
8、小升初奥数知识点(抽屉原理)
抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
9、奥数知识点(定义新运算)
小升初奥数知识点(数列求和)
数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an-a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量,确定使用的公式
10、加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
11、小升初奥数知识点(质数与合数)
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1……。
求约数个数的公式:
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数:
如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
12、小升初奥数知识点(约数与倍数)
约数和倍数:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6,记作(12,18)=6;
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法:
先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
13、小升初奥数知识点(数的整除)
一、基本概念和符号:
1、整除:
如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号:
整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
二、整除判断方法:
1.能被2、5整除:
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除:
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除:
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
14 、小升初奥数知识点(余数及其应用)
小升初奥数知识点(余数问题)
余数的性质:
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数
余数、同余与周期
一、同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
二、同余的性质:
①自身性:
a≡a(mod m);
②对称性:
若a≡b(mod m),则b≡a(modm);
③传递性:
若a≡b(mod m),b≡c(modm),则a≡c(mod m);
④和差性:
若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:
若a≡b(mod m),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性:
若a≡b(mod m),则an≡bn(modm);
⑦同倍性:
若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识:
①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理:
如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
15、小升初奥数知识点(分数与百分数的应用)
基本概念与性质:
分数:
把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数单位:
把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
①向思维方法:
从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
②对应思维方法:
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法:
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法:
为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
⑤量不变思维方法:
在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情况:
A、分量发生变化,总量不变。
B、总量发生变化,但其中有的分量不变。
C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法:
用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法:
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法:
一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
16、小升初奥数知识点(分数大小的比较)
基本方法:
①通分分子法:
使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法:
使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和