二次函数与相似三角形问题含答案完美打印版.docx
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二次函数与相似三角形问题含答案完美打印版
综合题解说函数中因动点产生的相像三角形问题
例题如图1，已知抛物线的极点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的分析式；（用极点式求得抛物线的分析式为
1
2
y
x
x）
．．．
4
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点
D在抛物线上，且以
O、C、D、B四点为极点的四边形为平行四边形，
求D点的坐标；
⑶连结OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上能否存在点
P，使得△OBP与△OAB相像若存在，求出
P点
的坐标；若不存在，说明原因。
yy
AA
OBOB
xx
图1例1题图图2
．．．．．．．
O、C、D、B
剖析:
1.当给出四边形的两个极点时应以两个极点的连线
为四边形的边和对角线来考虑问题以
四点为极点的四边形为平行四边形要分类议论
:
按OB为边和对角线两种状况
2.函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题门路
①求相像三角形的第三个极点时，先要剖析已知三角形的边和角的特色，从而得出已知三角形能否为特
．．
殊三角形。
依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类议论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来
推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标从而用函数分析式来表示各边的长度，以后利用
相像来列方程求解。
例题2：
如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交
轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形并证明你的结
论；
（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的分析式．
x
练习1、已知抛物线
2
5
3
及原点
O（0，0）
．
yaxbxc
经过
P（
，，
，
33）E
2
0
（1）求抛物线的分析式．（由一般式得抛物线的分析式为
2
2
5
3
y
x
x）
．．．
3
3
（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右边且位于直线
PC下方的抛物线
上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC
及两坐标轴围成矩形OABC．能否存在点Q，使得△OPC与△PQB相像若存在，求出
Q点的坐标；若
不存在，说明原因．
（3）假如切合
（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四
y
个三角形
△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在如何的关系为何
C
P
B
Q
O
E
A
x
练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将
边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。
已知折叠CE
55，且tanEDA
3
。
4
（1）判断△OCD与△ADE能否相像请说明原因；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）能否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围
成的三角形相像假如存在，请直接写出其分析式并画出相应的直线；假如不存在，请说明原因。
y
CB
E
O
DAx
练习2图
练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数yax2
bx
c（a
0）的图象与x轴交于A，B两点（点
A在点B的左边），与y轴交于点C，其极点的横坐标为
1，且过点（2，3）和（
3，12）．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的分析式为
y
x
2
2x
3）
．．．
（2）若直线l:
ykx（k0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则能否存在这样的直线
l，使得
以B，O，D为极点的三角形与△BAC相像若存在，求出该直线的函数表达式及点
D的坐标；若不存在，
请说明原因；A（1，0），B（3，0）,C（0，3）
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与极点重合的随意一点，
试比较锐角
PCO与
ACO
y
xl
P
C
的大小（不用证明），并写出此时点P的横坐标xp的取值范围．
O
练习4、以下图，已知抛物线yx21与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上能否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为极点的三角形与PCA相像．若存在，恳求出M点的坐标；不然，请说明原因．
练习5、已知：
如图，在平面直角坐标系中，
△ABC是直角三角形，
ACB
90o，点A，C的坐标分别
为A（3，0），C（10），，tanBAC
3
．
4
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点
A（3，0），C（10），，B
（13），，y
3x
9
4
4
（2）在x轴上找一点D，连结DB，使得△ADB与△ABC相像（不包含全等），并求点D的坐标；
（3）在
（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连结PQ，设APDQm，问能否存
在这样的m使得△APQ与△ADB相像，如存在，恳求出m的值；如不存在，请说明原因．
y
B
x
AOC
练习6、如图，已知抛物线与x交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）。
（1）求抛物线的分析式；
（2）设抛物线极点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE能否相像假如相像，请给予证明；假如不相像，请说明原因。
练习7、如图，已知抛物线y＝3x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），
4
过点
C的直线
y＝
3
x－3与x轴交于点
Q，点
P是线段
BC上的一个动点，过
P作
PH⊥OB于点
H．若
PB
4t
＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：
点C的坐标是__，b＝__，c＝__；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，能否存在t的值，使以P、H、Q为极点的三角形与△值；若不存在，说明原因．
COQ相像若存在，求出全部
t的
y
QH
AO
B
x
P
C
练习8、如图，抛物线经过A（4，0），B（10），，C（0，2）三点．
（1）求出抛物线的分析式；
（2）P是抛物线上一动点，过
P作PM
x轴，垂足为
M，能否存在
P点，使得以
A，P，M为极点的三角
形与
△OAC相像若存在，恳求出切合条件的点
P的坐标；若不存在，请说明原因；
（3）在直线
AC上方的抛物线上有一点
D，使得
△DCA的面积最大，求出点
D的坐标．
练习
9、已知，如图1，过点
E0，1
作平行于
x
轴的直线l，抛物线
1
2上的两点
、
的横坐标分
y
AB
x
4
别为
1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点
C、D，连结
CF、DF．
（1）求点A、B、F的坐标；
（2）求证：
CFDF；
（3）点P是抛物线y
1x2
对称轴右边图象上的一动点，过点
P作PQ⊥PO交x轴于点Q，能否存在
4
点P使得△OPQ与△CDF相像若存在，恳求出全部切合条件的点
P的坐标；若不存在，请说明原因．
练习10、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c获得最小值－1，而且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴
交于点A、B．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两头点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线
交于点F．问：
能否存在△DEF与△AOC相像若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明原因．
y
3CE
D
F
OBAx
（第26题图）
练习11、如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标；
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右边部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，
．．
分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相像，则点P的坐标为.
D
C
O
B
练习12、如图，抛物线yax2bx1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的分析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上能否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为极点的三角形与△BCD相
似若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明原因．
练习13、已知：
函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）以下图，设二次函数y=ax2+x+1图象的极点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线
．．
段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在
（2）中，若圆与x轴另一交点对于直线PB的对称点为M，尝试究点M能否在抛物线
y=ax2+x+1上，
若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明原因．
y
A
BO
x
练习14、如图,设抛物线C:
yax1
2
5,C
:
y
ax1
2
5
C
与C的交点为A,B,点A的坐标
1
2
1
2
是（2,4）,点
B的横坐标是－
2.
（1）求
a的值及点
B的坐标；
（2）点D在线段
线为l,且l与x
AB上,过轴交于点
D作N.
x轴的垂线
垂足为点
H,在
DH的右边作正三角形
DHG.记过
C2极点Ｍ的直
①若l过△DHG的极点G,点D的坐标为（1,2），求点
②若l与△DHG的边DG订交,求点N的横坐标的取值范围
N的横坐标；
.
练习15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点
D与
点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片复原。
（1）当x=0时，折痕EF的长为
；当点E与点A重合时，折痕EF的长为
；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当
x=2时菱形的边长；
（3）令EF
2
y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。
当y取最大值时，判断VEAP
与VPBF能否相像若相像，求出x的值；若不相像，请说明原因。
练习16、如图，已知A（4,0），B（0,4），现以A点为位似中心，相像比为9:
4，将OB向右边放大，B点
的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的分析式;
（2）
一抛物线经过B、C两点，且极点落在x轴正半轴上，求该抛物线的分析式并画出函数图象;
（3）
现将直线BC绕B点旋转与抛物线订交与另一点
P，请找出抛物线上全部知足到直线
AB距离为3
2的
点P．
参照答案
例题、解:
⑴由题意可设抛物线的分析式为ya（x2）21
∵抛物线过原点，
∴0
a（02）2
1
∴a
1
.
4
抛物线的分析式为
y
1（x
2）2
1,即y
1
x2
x
4
4
⑵如图1,当OB为边即四边形
OCDB是平行四边形时,CD∥OB,
＝
由0
1（x2）2
1得x1
0,x2
4,
4
∴B（4,0）,OB＝4.
∴D点的横坐标为6
将x＝6代入y
1（x
2）2
1,得y＝－3,
4
∴D（6,－3）;
依据抛物线的对称性可知,在对称轴的左边抛物线上存在点D,使得四边形
坐标为（－2,－3）,
y
A
OB
x
CD
图1
ODCB是平行四边形,此时D点的
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时⑶如图2，由抛物线的对称性可知:
AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
若△BOP与△AOB相像,一定有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点,明显A′（2,－1）
D点的坐标为（2,1）
y
∴直线OP的分析式为y
1x
A
O
B
E
2
由
1
1
2
x,
x
x
x
A'
2
4
图2P
得x10,x26
.∴P（6,－3）
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO与△BAO不相像,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在切合条件的
所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相像.
P点.
练习1、解：
（1）由已知可得：
3a
3b
3
75a
5
3b
0解之得，a
2
5
3
，c
0．
，b
3
4
2
3
c0
因此得，抛物线的分析式为：
y
2x2
5
3x．
3
3
（2）存在．
设Q点的坐标为（m，n），则n
2m2
5
3m，
3
3
要使△OCP∽△PBQ,BQ
PB，则有
3
n
m
3
3
2m2
5
3m
m3
，即
3
3
CP
OC
3
3
3
3
解之得，m
2
3，m
2．
1
2
当m1
23时，n2，即为Q点，所以得Q（2
3，2）
BQPB
3nm3
3
2m2
53m
m3
要使
△OCP∽△QBP
3
3
，则有
，即
OC
3
3
3
CP
3
解之得，m1
33，m2
3
，当m
3时，即为
P点，
当m133时，n3，所以得Q（33，3）．
故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相像．
Q点的坐标为（23，2），（33，3）．
（3）在Rt△OCP中，由于tan
COP
CP
3
．所以COP30o．
OC
3
当Q点的坐标为（23，2）时，
BPQ
COP
30o．
所以OPQOCPB
QAO
90o．
所以，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．
又在Rt△OAQ中，由于tanQOA
QA
3
．所以QOA30o．
AO
3
即有POQQOAQPB
COP
30o．
所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，
又由于QP⊥OP，QA⊥OA
POQ
AOQ
30o，
所以△OQA≌△OQP．
练习2
解：
（1）△OCD与△ADE相像。
原因以下：
y
由折叠知，
CDE
B
90°
C
B
，
3
∴12
o
E
，Q
1
390，2
3.
90°
1
2
又
∵COD
DAE
，
O
DAx
90°
图1
∴△OCD∽△ADE。
（2）∵tan
AE
3
EDA
，∴设AE=3t，
AD
4
则AD=4t。
由勾股定理得DE=5t。
∴OCAB
AEEB
AEDE3t5t8t。
y
l
N
CM
B
由
（1）△OCD∽△ADE，得OC
CD，
AD
DE
8t
CD
∴
，
4t
5t
∴CD10t。
在△DCE中，∵CD2DE2CE2，
∴（10t）2（5t）2（55）2，解得t=1。
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），
设直线CE的分析式为y=kx+b，
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