函数的极值与导数.docx

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函数的极值与导数

1.3.2　函数的极值与导数

[学习目标]　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.

知识点一　函数极值的概念

1.极小值点与极小值

如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则把点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值.

2.极大值点与极大值

如图，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则把点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

思考　

（1）可导函数f（x）在点x0处取极值的充要条件是什么？

（2）函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？

答案　

（1）可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f（x）在一点的导数值为零是函数y＝f（x）在这点取极值的必要条件，而非充分条件”.

可导函数f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧和右侧f′（x）符号不同.如果在x0的两侧f′（x）符号相同，则x0不是f（x）的极值点.

（2）不一定.

知识点二　求可导函数f（x）的极值方法与步骤

1.求函数y＝f（x）的极值的方法

解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时：

（1）如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值；

（2）如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极小值.

2.求可导函数f（x）的极值的步骤

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）.

（2）求f（x）的拐点，即求方程f′（x）＝0的根.

（3）利用f′（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.

思考　可导函数f（x）若存在极值点x0，则x0能否为相应区间的端点吗？

答案　不能.

题型一　求函数的极值

例1　求函数f（x）＝x3－4x＋4的极值.

解　由题意可知f′（x）＝x2－4.

解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.

由f′（x）＞0得x＜－2或x＞2；

由f′（x）＜0得－2＜x＜2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－2）

－2

（－2,2）

2

（2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

－

由表可知：

当x＝－2时，f（x）有极大值f（－2）＝.

当x＝2时，f（x）有极小值f

（2）＝－.

反思与感悟　求可导函数f（x）的极值的步骤：

（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

（2）求方程f′（x）＝0的根；

（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′（x）在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值.

跟踪训练1　求下列函数的极值.

（1）y＝2x3＋6x2－18x＋3；

（2）y＝2x＋.

解　

（1）函数的定义域为R.

y′＝6x2＋12x－18＝6（x＋3）（x－1），

令y′＝0，得x＝－3或x＝1.

当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

x

（－∞，－3）

－3

（－3,1）

1

（1，＋∞）

y′

＋

0

－

0

＋

y

极大值57

极小值－7

从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.

当x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.

（2）函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），

y′＝2－＝2＝2，

令y′＝0，得x＝－2或x＝2.

当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.

即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.

当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.

即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.

题型二　利用函数极值确定参数的取值范围（或值）

例2　已知函数f（x）＝6lnx－ax2－8x＋b（a，b为常数），且x＝3为f（x）的一个极值点.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若y＝f（x）的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围.

解　

（1）∵f′（x）＝－2ax－8，∴f′（3）＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.

（2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.

由

（1）知f（x）＝6lnx＋x2－8x＋b.

∴f′（x）＝＋2x－8＝.

由f′（x）＞0可得x＞3或0＜x＜1，

由f′（x）＜0可得1＜x＜3（x＜0舍去）.

∴函数f（x）的单调递增区间为（0,1）和（3，＋∞），单调递减区间为（1,3）.

（3）由

（2）可知函数f（x）在（0,1）上单调递增，在（1,3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增.

且当x＝1和x＝3时，f′（x）＝0.

∴f（x）的极大值为f

（1）＝6ln1＋1－8＋b＝b－7，

f（x）的极小值为f（3）＝6ln3＋9－24＋b＝6ln3＋b－15.

∵当x充分接近0时，f（x）＜0，当x充分大时，f（x）＞0，

∴要使f（x）的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需

∴b的取值范围是7＜b＜15－6ln3.

反思与感悟　解决参数问题时，要结合函数的图象，同时准确理解函数极值的应用.

跟踪训练2　设函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（a＞0），且方程f′（x）－9x＝0的两个根分别为1,4，若f（x）在（－∞，＋∞）内无极值点，求a的取值范围.

解　因为a＞0，所以“f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）内无极值点”等价于“f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立”.

由f′（x）－9x＝0（即ax2＋（2b－9）x＋c＝0）的两实数根分别为1,4，可得故2b＝9－5a，c＝4a.

所以对于一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，Δ＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）.不等式ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立等价于解得1≤a≤9.易验证a＝1与a＝9均满足题意，故a的取值范围是[1,9].

题型三　函数极值的综合应用

例3　已知函数f（x）＝－x3＋x2－2x（a∈R），若过点可作函数y＝f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围.

解　设点P（t，－t3＋t2－2t）是函数y＝f（x）图象上的切点，则过点P的切线的斜率k＝f′（t）＝－t2＋at－2，

所以过点P的切线方程为

y＋t3－t2＋2t＝（－t2＋at－2）（x－t），

因为点在该切线上，

所以－＋t3－t2＋2t＝（－t2＋at－2）（0－t），

即t3－at2＋＝0.

若过点可作函数y＝f（x）图象的三条不同

切线，

则方程t3－at2＋＝0有三个不同的实数根.令g（t）＝t3－at2＋，则函数y＝g（t）的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.

令g′（t）＝2t2－at＝0，解得t＝0或t＝.

因为g（0）＝，g（）＝－a3＋，

所以必须有g＝－a3＋＜0，即a＞2，使函数图象与坐标轴横轴有三个不同的交点.

所以实数a的取值范围为（2，＋∞）.

反思与感悟　求出函数的所有极值，有利于我们整体把握函数图象的特征，也就为我们证明有关不等式、解决某些方程根的个数等问题提供了有力的依据，因而函数的极值在中学数学中应用广泛，是高考命题的热点.

跟踪训练3　已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋b（a，b∈R）.

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若对任意a∈[3,4]，函数f（x）在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.

解　

（1）因为f（x）＝－x3＋ax2＋b，

所以f′（x）＝－3x2＋2ax＝－3x（x－）.

当a＝0时，f′（x）＝－3x2≤0，函数f（x）没有单调递增区间；当a>0时，令f′（x）>0，即

－3x（x－）>0，解得00，即－3x（x－）>0，解得

（2）由

（1）知，a∈[3,4]时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（－∞，0）和（，＋∞）.

所以f（x）极大值＝f（）＝＋b，

f（x）极小值＝f（0）＝b.

由于对任意a∈[3,4]，

函数f（x）在R上都有三个零点，

所以即

解得－

因为对任意a∈[3,4]，b>－恒成立，

所以b>（－）max＝－＝－4.

所以实数b的取值范围为（－4,0）.

因忽视对所得参数进行检验而致误

例4　若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a，b的值.

错解　由导数公式表和求导法则得，

f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

依题意得即

解得或

错因分析　由于函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而非充分条件.因此，本题在解答时很容易忽略对得出的两组解进行检验而出错.

正解　由导数公式表和求导法则得，

f′（x）＝3x2＋2ax＋b，

依题意得即

解得或

但由于当a＝－3，b＝3时，f′（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故f（x）在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去.

而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.

防范措施　根据极值条件求参数的值的问题中，在得到参数的两组解后，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，考查每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值，从而进行取舍.

1.已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（　　）

A.（2,3）B.（3，＋∞）

C.（2，＋∞）D.（－∞，3）

答案　B

解析　∵f′（x）＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，

∴f′

（2）＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′（x）＝6x2－30x＋36＝6（x－2）（x－3），由f′（x）＞0得x＜2或x＞3.

2.下列关于函数的极值的说法正确的是（　　）

A.导数值为0的点一定是函数的极值点

B.函数的极小值一定小于它的极大值

C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D.若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内不是单调函数

答案　D

解析　由极值的概念可知只有D正确.

3.函数f（x）的定义域为R，导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　）

A.无极大值点，有四个极小值点

B.有三个极大值点，两个极小值点

C.有两个极大值点，两个极小值点

D.有四个极大值点，无极小值点

答案　C

解析　在x＝x0的两侧，f′（x）的符号由正变负，则f（x0）是极大值；f′（x）的符号由负变正，则f（x0）是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.

4.已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为（　　）

A.－1＜a＜2B.－3＜a＜6

C.a＜－1或a＞2D.a＜－3或a＞6

答案　D

解析　f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），因为f（x）既有极大值又有极小值，那么Δ＝（2a）2－4×3×（a＋6）＞0，解得a＞6或a＜－3.

5.已知a是函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（　　）

A.－4B.－2C.4D.2

答案　D

解析　∵f（x）＝x3－12x，∴f′（x）＝3x2－12，令f′（x）＝0，则x1＝－2，x2＝2.

当x∈（－∞，－2），（2，＋∞）时，f′（x）>0，则f（x）单调递增；

当x∈（－2，2）时，f′（x）<0，则f（x）单调递减，∴f（x）的极小值点为a＝2.

1.求函数极值的基本步骤：

（1）求函数定义域；

（2）求f′（x）；（3）解f′（x）＝0；（4）列表（f′（x），f（x）随x的变化情况）；（5）下结论.

2.函数的极值的应用：

（1）确定参数的值，一般用待定系数法；

（2）判断方程根的情况时，利用导数研究函数单调性、极值，画出函数大致图象，利用数形结合思想来讨论根的情况.

一、选择题

1.设函数f（x）＝xex，则（　　）

A.x＝1为f（x）的极大值点

B.x＝1为f（x）的极小值点

C.x＝－1为f（x）的极大值点

D.x＝－1为f（x）的极小值点

答案　D

解析　令y′＝ex＋x·ex＝（1＋x）ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值.

2.设a＜b，函数y＝（x－a）2（x－b）的图象可能是（　　）

答案　C

解析　y′＝（x－a）（3x－a－2b），由y′＝0得x1＝a，x2＝.根据用导数求极值的方法及选项可得，当x＝a时，y取得极大值0，当x＝时，y取得极小值且极小值为负.故选C.

3.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为（　　）

A.－B.－2

C.－2或－D.不存在

答案　A

解析　∵f（x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，

∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b.

又∵f（x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，

∴f′

（1）＝3＋2a＋b＝0，f

（1）＝1＋a＋b－a2－7a＝10，

∴a2＋8a＋12＝0，

∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.

当a＝－2，b＝1时，

f′（x）＝3x2－4x＋1＝（3x－1）（x－1）.

当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，

∴f（x）在x＝1处取得极小值，与题意不符.

当a＝－6，b＝9时，f′（x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1）（x－3）；

当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，

∴f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意；

∴＝－＝－.

4.若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（　　）

A.2B.3C.6D.9

答案　D

解析　f′（x）＝12x2－2ax－2b，

∵f（x）在x＝1处有极值，

∴f′

（1）＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.

又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，

∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，

∴ab的最大值为9.

5.“函数y＝f（x）在一点的导数值为0”是“函数y＝f（x）在这点取得极值”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　对于f（x）＝x3，f′（x）＝3x2，f′（0）＝0，

不能推出f（x）在x＝0处取极值，反之成立.故选B.

6.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（－1,1）内，则实数a的取值范围是（　　）

A.（0,2]B.（0,2）C.[，2）D.（，2）

答案　D

解析　由题意可知f′（x）＝0的两个不同解都在区间（－1,1）内.因为f′（x）＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a＞0，解得＜a＜2.故选D.

二、填空题

7.若函数y＝x3－3ax＋a在（1,2）内有极小值，则实数a的取值范围是________.

答案　（1,4）

解析　y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，

函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；

当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±，不难分析，

当1＜＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在（1,2）内有极小值.

8.若直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是__________.

答案　（－2,2）

解析　令f′（x）＝3x2－3＝0，得x=±1，则极大值为f（－1）＝2，极小值为f

（1）＝－2.如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点.

9.已知函数f（x）＝·ex在定义域内有极值点，则实数a的取值范围是____________.

答案　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　f′（x）＝·ex＋·ex＝·ex.因为x2＋（1－a）x＋1＝0有两个不相等且不等于－1的实数根，所以（1－a）2－4＞0且a≠－1，解得a＜－1或a＞3.

10.如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f（x）在区间内单调递增；

②函数y＝f（x）在区间内单调递减；

③函数y＝f（x）在区间（4,5）内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；

⑤当x＝－时，函数y＝f（x）有极大值.

则上述判断正确的是________.（填序号）

答案　③

解析　函数的单调性由导数的符号确定，当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－2）上为减函数，同理f（x）在（2,4）上为减函数，在（－2,2）上是增函数，在（4，＋∞）上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点.排除④和⑤.

三、解答题

11.已知f（x）＝x3＋mx2－2m2x－4（m为常数，且m＞0）有极大值－，求m的值.

解　∵f′（x）＝3x2＋mx－2m2＝（x＋m）（3x－2m），

令f′（x）＝0，则x＝－m或x＝m.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－m）

－m

m

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

∴f（x）极大值＝f（－m）＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，∴m＝1.

12.设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.

（1）求f（x）的极值；

（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？

解　

（1）f′（x）＝3x2－2x－1.

令f′（x）＝0，则x＝－或x＝1.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

－

1

（1，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

所以f（x）的极大值是f＝＋a，极小值是f

（1）＝a－1.

（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a

＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0，

x取足够小的负数时，有f（x）＜0，

所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点.

由

（1）知f（x）极大值＝f＝＋a，

f（x）极小值＝f

（1）＝a－1.

∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，

∴f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，

∴当a∈∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点.

13.已知函数f（x）＝ae2x－be－2x－cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4－c.

（1）确定a，b的值；

（2）若c＝3，判断f（x）的单调性；

（3）若f（x）有极值，求c的取值范围.

解　

（1）对f（x）求导，得f′（x）＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′（x）为偶函数，知f′（－x）＝f′（x）恒成立，即2（a－b）·（e2x－e－2x）＝0恒成立，所以a＝b.

又f′（0）＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.

（2）当c＝3时，f（x）＝e2x－e－2x－3x，那么

f′（x）＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，

故f（x）在R上为增函数.

（3）由

（1）知f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c，

而2e2x＋2e－2x≥2＝4，

当x＝0时等号成立.

下面分三种情况进行讨论.

当c<4时，对任意x∈R，f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f（x）无极值；

当c＝4时，对任意x≠0，f′（x）＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f（x）无极值；

当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1,2＝>0，即f′（x）＝0有两个根，

且x1＝lnt1，x2＝lnt2.

当x1

又当x>x2时，f′（x）>0，从而f（x）在x＝x2处取得极小值.综上，若f（x）有极值，则c的取值范围为（4，＋∞）.