数学选修21测试题含答案.docx
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数学选修21测试题含答案
数学选修2-1综合测评
时间:
90分钟 满分:
120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)
1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( )
B.(-1,-3,2)
D.(,-3,-2)
解析:
向量的共线和平行是一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b≠0,a∥b⇔a=λb,a=(1,-3,2)=-1,故选C.
答案:
C
2.若命题p:
∀x∈,x>x,则命题綈p:
( )
A.∃x0∈,x0≥x0
B.∃x0∈,x0>x0
C.∃x0∈,x0≤x0
D.∃x0∈∪,x0>x0
解析:
∀x的否定为∃x0,>的否定为≤,所以命题綈p为∃x0∈,x0≤x0.
答案:
C
3.设α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是( )
A.l⊂α,m⊂β且l∥β,m∥α
B.l⊂α,m⊂β且l∥m
C.l⊥α,m⊥β且l∥m
D.l∥α,m∥β且l∥m
解析:
由l⊥α,l∥m得m⊥α,因为m⊥β,所以α∥β,故C选项正确.
答案:
C
4.以双曲线-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
+=1+=1
+=1+=1
解析:
由-=1,得-=1.
∴双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),
顶点坐标为(0,2),(0,-2).
∴椭圆方程为+=1.
答案:
D
5.已知菱形边长为1,∠=60°,将这个菱形沿折成60°的二面角,则B,D两点间的距离为( )
解析:
菱形的对角线与交于点O,则′⊥,沿折叠后,有⊥′,⊥,所以∠为二面角B--D的平面角,即∠=60°.
因为==,所以=.
答案:
B
6.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=( )
B.2C.3D.6
解析:
双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,因为双曲线的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,故圆心(3,0)到直线y=±x的距离等于圆的半径r,则r==.
答案:
A
7.在长方体-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面1D1的距离为( )
解析:
取,,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可求得平面1D1的法向量为n=(2,-2,1).故A1到平面1D1的距离为d==.
答案:
C
8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,=4,则C的实轴长为( )
B.2
C.4D.8
解析:
抛物线y2=16x的准线方程是x=-4,所以点A(-4,2)在等轴双曲线C:
x2-y2=a2(a>0)上,将点A的坐标代入得a=2,所以C的实轴长为4.
答案:
C
9.如图,在正方体-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,1的中点,P为上一动点,记α为异面直线与D1N所成的角,则α的集合是( )
解析:
取C1D1的中点E,必在平面内,易证D1N⊥平面.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.
答案:
A
10.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,若·=0,∠1F2=,则此椭圆的离心率为( )
解析:
由·=0,得△1F2为直角三角形,由∠1F2=,设2|=s,则1|=2s,又2|2+1|2=4c2(c=),即4c2=5s2,c=s,而2|+1|=2a=3s,∴a=,∴e==,故选D.
答案:
D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
11.若命题“∃x∈R,2x2-3+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是.
解析:
原命题的否定形式为∀x∈R,2x2-3+9≥0,为真命题.即2x2-3+9≥0恒成立,∴只需Δ=(-3a)2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.
答案:
[-2,2]
12.在平面直角坐标系中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·=4,则动点P的轨迹方程是.
解析:
由·=4得x·1+y·2=4,因此所求动点P的轨迹方程为x+2y-4=0.
答案:
x+2y-4=0
13.在四棱锥P-中,⊥底面,底面为边长是1的正方形,=2,则与的夹角的余弦值为.
解析:
因为·=·(+)=·+·=1××45°=1,又|=1,|=,
∴〈,〉===.
答案:
14.过双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B.若∠=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.
解析:
由题意,如图,在△中,∠=30°,
=a,=c,
∴30°===.
∴e==2.
答案:
2
三、解答题(本大题共4小题,共50分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)已知命题p:
不等式-1|>m-1的解集为R,命题q:
f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
解:
由于不等式-1|>m-1的解集为R,
所以m-1<0,m<1;
因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,
所以5-2m>1,m<2.
即命题p:
m<1,命题q:
m<2.
因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假.
当p真q假时应有m无解.
当p假q真时应有1≤m<2.
故实数m的取值范围是1≤m<2.
16.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l:
x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,是否存在实数m,使线段的中点在圆x2+y2=5上,若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
解:
(1)由题意得解得
所以b2=a2-c2=1,
故椭圆的方程为x2+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2+m2-2=0,Δ=(2m)2-4×3×(m2-2)>0,m2<3,所以x0==-,y0=x0+m=,即.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以2+2=5,解得m=±3与m2<3矛盾.∴实数m不存在.
17.(13分)已知点P(1,3),圆C:
(x-m)2+y2=过点,点F为抛物线y2=2(p>0)的焦点,直线与圆相切.
(1)求m的值与抛物线的方程;
(2)设点B(2,5),点Q为抛物线上的一个动点,求·的取值范围.
解:
(1)把点A代入圆C的方程,得
(1-m)2+2=,∴m=1.
圆C:
(x-1)2+y2=.
当直线的斜率不存在时,不合题意.
当直线的斜率存在时,设为k,
则:
y=k(x-1)+3,即-y-k+3=0.
∵直线与圆C相切,
∴=.
解得k=1或k=-1.
当k=1时,直线与x轴的交点横坐标为-2,不合题意,舍去.
当k=-1时,直线与x轴的交点横坐标为4,
∴=4.∴抛物线方程为y2=16x.
(2)=(-1,-2),
设Q(x,y),=(x-2,y-5),则
·=-(x-2)+(-2)(y-5)
=-x-2y+12=--2y+12
=-(y+16)2+28≤28.
∴·的取值范围为(-∞,28].
18.(13分)如图,在四棱锥A-中,底面为矩形,侧面⊥底面,=2,=,=.
(1)证明:
⊥;
(2)设与平面所成的角为45°,求二面角C--E的余弦值.
解:
①
(1)证明:
作⊥,垂足为O,则⊥底面,且O为的中点.以O为坐标原点,射线为x轴正方向,建立如图①所示的直角坐标系O-.
设A(0,0,t).
由已知条件知C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0),=(-2,,0),=(1,,-t),
所以·=0,得⊥.
(2)作⊥,垂足为F,连接,如图②所示.
②设F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,,0),
·=0,故⊥.
又∩=B,
所以⊥平面,
故∠是与平面所成的角,∠=45°.
由=,得=.
又=2,所以∠=60°,
所以△为等边三角形,因此A(0,0,).
作⊥,垂足为G,连接.
在△中,求得=.
故,=,
=.
又=(1,,-),·=0,·=0,
所以与的夹角等于二面角C--E的平面角.
故二面角C--E的余弦值〈,〉==-.