初中数学阿氏圆最值模型归纳docx.docx
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初中数学阿氏圆最值模型归纳docx
几何模型：
阿氏圆最值模型
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：
PB=k（k≠1），则满足条件
的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
2
本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、
5
C三点共线时，“PA+PC”值最小。
技巧总结】
计算PAkgPB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：
在圆上找一点P使得PAkgPB的值最小，解决步骤具体如下：
1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
OP
2.计算出这两条线段的长度比k
OB
OCPC
3.在OB上取一点C，使得k，即构造△POM∽△BOP，则k，PCkgPB
OPPB
4.则PAkgPB=PAPCAC，当A、P、C三点共线时可得最小值
究重点
变式练习>>>
［答案］：
①=37，②=237，③=237，④=237.，3
例题2.如图，点C坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），⊙C的半径为10,点B在⊙C上一动点，OB5AB
5
［答案］：
5.
变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（6,-1），M（4,4），以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙
M上一动点，则PO+2PA的最小值为.
［答案］：
10.
例题3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，
PC+PD
P、
D共线时，
PC+PD最小．理由：
连接PB、CO，AD与CO交于点M，
∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，
∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，
∵DM⊥CO，
∴PC+PD＝PM+PD＝DM，
此时
PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝
变式练习>>>
3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则
PC的最小值为
，∵∠PBE＝∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，∴
，使得BE＝1．
＝
＝
，∴PD+PC＝PD+PE，
∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，
∴PD+PC的最小值为5．
∵PB2＝4，BE?
BD＝
×4＝4，∴BP2＝BE?
BD，
∴＝，
∴＝，
∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，
＝
＝
＝
，∴PE＝
∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），
变式练习>>>
∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，
∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．
例题4.如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD1PC的最
2
大值为
4．
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+
PG＝
的最小值为，PD﹣
2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+
的最小值为，PD﹣的最大值为．
的最大值为．
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
图1解答】解：
图2
1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
PD﹣PG≤DG，
，∵∠PBG＝∠PBC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴PG＝PC，
∴
∴
∴△PBG∽△CBP，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
＝2，
PC的值最小，最小值为DG，
（2）如图4中，在BC上取一点G，
∵
∵
∴
∴
∴△PBG∽△CB
PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?
sin60＝°2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝
＝2，
，∵∠PBG＝∠PBC，
＝
，
＝
＝
＝
＝
，
，
＝
＝
＝
PD﹣PG≤DG，
∵PD﹣
当点P在DG的延长线上时，PD﹣
PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝
故答案为，．
例题5.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，
4）两点，直线AC：
y=﹣1x﹣6
2
交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，
（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形（3）①在y轴上存在一点H，矩形求出此时点E，H的坐标；
1求AM+CM它的最小值．
交抛物线于点G．
GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，
A，E，F，H为顶点的四边形是点M为⊙E上一动点，
4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，
，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，
解答】解：
（1）∵点A（﹣
，
，
∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由
（2）
知，直线
∵直线
AC：
y=﹣
∵以点
A，E，F，
AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），
11x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6）
22
H为顶点的四边形是矩形，
，设H（0，p），
∵直线
AB的解析式为y=2x+4，直线AC：
y=﹣
1
x﹣6，
2
∴AB⊥AC，∴EF为对角线，
11111
∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），
22222
∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
1），
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=
2连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，
11
∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），22
∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，
∵PE=5，∴5（p+2）2=5，
24
∴p=5或p=﹣3（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（5，﹣
222
∵C（0，﹣6），∴PC=
55
2
，即：
1AM+CM=55
22
变式练习>>>
5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．
2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴
，解得m＝2．
3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝
，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′O?
B＝
×3＝4，
＝
∴OE′2＝OM′O?
B，
，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴AE′
＝AE′E+′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小
两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
．
最小值＝AM′＝
领悟提升强
达标检测
化落实
1.如图，在RT△ABC中，∠
B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为2，点P
为圆B上的一动点，求AP
2
PC的最小值.
2
∠C=90°，CA=3，CB=4，eC的半径为2，点P是eC上的一动点，则AP1PB
4.如图，在Rt△ABC中，
的最小值为
［答案］：
25.
［答案］：
5.
2.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为
3.如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为
5.如图，在平面直角坐标系中，A2,0，B0,2，C4,0，D3,2，P是△AOB外部第一象限内的
6.如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
求证：
△BDC≌△AFC；
（1）
2）
当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+
AD的值；
【解答】
∵四边形
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．
∴AB＝2，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝+1．
②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，
∴BD+AD＝+．
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝
，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM?
CA，
∴＝
∴＝
∴△DCM∽△ACD，
，
，
，∵∠DCM＝∠ACD，
DM
＝
AD
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．
7.
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证
明BD＝CE：
PD的最小值；
3）如图3，
在矩形
ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，
MA＝15，当MC+MD最
解答】解：
（
1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；
小时，画出点M的位置，并求出
MC
∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．
（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．
＝
＝
，∵∠PAE＝∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，∴
∴PE＝
PD，
∴PC+PD＝PC+PE，
∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝
EC的长，
∴EC＝
，∴PC+PD的最小值为．
（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE?
AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE?
AE，
，
，
∵∠MAE＝
，
＝
，
MC+ME≥EC，
MC+
∴ME＝
的最小值为EC的长，
∠DAM，∴△MAE∽△DAM，
MD＝MC+ME，
MD，∴
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，MD的最小值为2．
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